Beckmann começou no cartismo em 2008, conquistando vitórias em categorias como o Campeonato DMV Kart de seu país natal, a European Bridgestone Cup de 2012, e o Campeonato Junior de Kart alemão, batendo o futuro piloto de F1 Mick Schumacher. Ele permaneceu no cartismo até 2014.
Em 2015, Beckmann participou de duas categorias de Fórmula 4: a alemã e a italiana.
Na alemã, Beckmann correu pela ADAC Berlin-Brandenburg, tendo entre seus companheiros o futuro campeão da F3 Robert Shwartzman e o futuro piloto da F1 Lando Norris, por algumas rodadas. Beckmann ficou de fora da primeira rodada em Oschersleben, mas conseguiu quatro pódios, incluindo uma vitória na corrida 2 de Hockenheimring e terminou o ano em quinto lugar, com 166 pontos. Seu resultado o tornou campeão dos rookies, desbancando Mick Schumacher e Zhou Guanyu.
Já na italiana, Beckmann competiu pela kfzteile24 Mücke Motorsport até a sexta rodada. Mesmo assim, ele venceu três provas, fez mais quatro pódios e encerrou o ano na quarta colocação, com 176 pontos.
Fórmula 3 Europeia
David Beckmann em 2016
Em dezembro de 2015, foi anunciado que Beckmann iria disputar o Campeonato Europeu de Fórmula 3 da FIA em 2016, repetindo a parceria com a Mücke e sendo companheiro do dinamarquês Mikkel Jensen. Mas por conta de sua idade estar abaixo do limite permitido, o alemão só pôde estrear na terceira rodada, o Grande Prêmio de Pau. Beckmann pontuou em onze das vinte e quatro provas disputadas, conquistando dois pódios. O primeiro foi o terceiro lugar na corrida 3 de Zandvoort, que também foi o primeiro pódio da Mücke no ano. E o segundo pódio de David foi o terceiro lugar na corrida 2 de Hockenheimring, com ele se beneficiando da exclusão de Callum Ilott da prova. Com isso, o alemão terminou em 15º com 67 pontos. Dentre os estreantes, Beckmann venceu duas vezes, totalizando sete pódios, e foi o sétimo colocado. No mesmo ano, disputou a tradicional Fórmula 3 Masters, ficando em décimo lugar.
Beckmann seguiu na F3 Europeia em 2017, passando para a Van Amersfoort Racing, e tendo entre seus companheiros o brasileiro Pedro Piquet. Mas após ser o único piloto da VAR a não pontuar em nenhuma das nove primeiras corridas, Beckmann se mudou para a Motopark, com quem terminou a temporada. David pontuou em sete das vinte e uma corridas disputadas com a equipe, tendo três quintos lugares em Hungaroring (corridas 2 e 3) e Zandvoort (corrida 2) como melhores resultados. Ele acumulou 45 pontos, se classificando em décimo sexto lugar.
GP3 Series
Beckmann guiando a Jenzer na etapa de Spielberg da GP3 de 2018
Em 2018, Beckmann ingressou na disputa da GP3 Series pela equipe Jenzer Motorsport, sendo companheiro de Tatiana Calderón e Juan Manuel Correa. Beckmann estreou em Barcelona com um sexto lugar, pontuando novamente no Red Bull Ring, onde foi oitavo colocado. Porém a partir da rodada de Hungaroring, ele se transferiu para a Trident, substituindo Alessio Lorandi e passando a ser companheiro de Pedro Piquet, Giuliano Alesi e Ryan Tveter. Beckmann fez sua primeira pole na rodada de Spa-Francorchamps, onde venceu pela primeira vez na GP3 e viu Tveter completar a dobradinha da Trident. O alemão voltou a dominar em Monza, onde também venceu de ponta a ponta. Triunfou novamente em Sóchi, após ultrapassar Joey Mawson na última volta. Na corrida 1 de Yas Marina, se beneficiou de uma punição de dez segundos destinada a Nikita Mazepin para terminar como segundo colocado, ficando à frente do campeão Anthoine Hubert, e obtendo seu quarto e último pódio do ano. Beckmann conquistou um total de três vitórias, duas poles e duas voltas rápidas, terminado no quinto lugar no Campeonato de Pilotos.
Em 2019, Beckmann foi contratado pela equipe ART Grand Prix para a disputa da temporada inaugural do Campeonato de Fórmula 3 da FIA. Ele correu com o carro de número 1 e teve como companheiros o britânico Max Fewtrell e o dinamarquês Christian Lundgaard. O melhor resultado de Beckmann foi um quarto lugar na corrida 1 da Catalunha, e ele faltou à rodada dupla de Sochi por conta de emergências familiares. Assim, o alemão terminou o ano em décimo quarto, com vinte pontos.
Inicialmente, Beckmann havia ficado sem equipe para a disputa da temporada de 2020, mas devido ao atraso do início da temporada provocado pelo impacto da pandemia de Covid-19, ele foi contratado pela Trident para substituir Devlin DeFrancesco antes da disputa da primeira etapa do campeonato no Red Bull Ring em julho.
Em 19 de fevereiro de 2021, foi anunciado que Beckmann havia sido contratado pela equipe Charouz Racing System para a disputar do Campeonato de Fórmula 2 da FIA de 2021 ao lado do brasileiro Guilherme Samaia. O alemão estreou no Barém com um pódio na corrida 1, pontuando novamente ao ser sexto na corrida 2, embora seu melhor resultado tenha sido na corrida 2 do Azerbaijão, em que ele chegou a liderar, mas foi ultrapassado por Jüri Vips e terminou em segundo. Porém, no início de setembro, foi anunciado que Enzo Fittipaldi substituiria Beckmann a partir da rodada seguinte em Monza. Mas poucos dias antes do início daquele fim de semana, Beckmann se inscreveu para correr pela equipe Campos Racing no lugar de Matteo Nannini. Na nova casa, Beckmann chegou a largar na ponta durante a corrida 2 em Monza, mas errou e perdeu posições, acabando em quinto. Ele retornou para a rodada de Sochi, sendo décimo na corrida 3. No entanto, ele foi substituído novamente, dessa vez por Olli Caldwell, que passou a disputar o campeonato a partir da sétima rodada, que foi realizada em Gidá.
Beckmann voltou à F2 em 2022, fazendo duas rodadas pela Charouz no lugar de Cem Bölükbaşı, e depois assumindo o carro da Van Amersfoort por mais seis rodadas, substituindo Jake Hughes. Seu melhor resultado foi um quinto lugar na corrida 2 de Monza, sua última prova na categoria. Para a rodada final, Beckmann foi substituído por Juan Manuel Correa, e o alemão encerrou o ano em 18º, com 25 pontos.
Para a temporada de 2022–23, Beckmann continuou com suas funções na Andretti, ao mesmo tempo em que ingressou na TAG Heuer Porsche como piloto reserva.
Em março de 2023, foi divulgado que André Lotterer iria perder a rodada dupla da Fórmula E em Jacarta no mês de junho e que ele seria substituído na equipe por Beckmann. A mudança foi desencadeada por Lotterer ter que comparecer ao dia de teste das 24 Horas de Le Mans, realizado no mesmo fim de semana do ePrix de Jacarta. Em duas corridas, Beckmann não pontuou: em uma, terminou em décimo sétimo, na outra, Beckmann bateu e não completou a prova.
Kiro
Graças às suas conexões com a Porsche, a fornecedora de motores da Kiro Race Co, Beckmann foi chamado para pilotar o carro da equipe americana durante os testes de pré-temporada em Valência. Mas com as enchentes na cidade e a destruição de parte da pista, os testes foram mudados para Madri, utilizando o Circuito de Jarama, e Beckmann liderou o terceiro dia de treinos. Em 2 de dezembro de 2024, a equipe Kiro confirmou Beckmann para a disputa da temporada de 2024–25, pilotando o carro número 3 no lugar do brasileiro Sérgio Sette Câmara e sendo o mais novo companheiro do britânico Dan Ticktum.
Na sua estreia com a equipe, no ePrix de São Paulo, Beckmann chegou a fazer a melhor volta, mas não levou o ponto extra por não ter terminado entre os dez primeiros. O alemão nem completou a prova, por problemas mecânicos. O primeiro abandono de Beckmann foi na Cidade do México, onde ele colidiu com o também estreante Zane Maloney, da Lola. Em Berlim, sua corrida em casa, Beckmann sofreu uma colisão com Sette Câmara durante a corrida 1, provocando seu segundo abandono na temporada. Na corrida 2, ele liderou por quatro voltas, após ser o primeiro a acionar o Modo Ataque, mas perdeu rendimento e encerrou a prova em décimo sexto. Seu primeiro e único ponto da temporada viria apenas na corrida final, em Londres, onde Beckmann se beneficiou da punição de dez segundos sofrida por seu companheiro para ser promovido ao décimo lugar. Com isso, o alemão da Kiro se classificou em vigésimo terceiro e penúltimo lugar, ficando à frente apenas de Maloney, que não pontuou. No duelo interno da sua equipe, Beckmann foi superado por Ticktum por ampla margem, já que o britânico somou 85 pontos e ficou doze posições acima do alemão.
Em 17 de outubro de 2025, a Kiro anunciou a saída de Beckmann da equipe. Ele permaneceu ocupando o posto de reserva da Porsche e da Kiro para 2025–26.
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