Força inercial de Coriolis

Direção da força de Coriolis em casos simples

Como a força de Coriolis é perpendicular ao vetor velocidade do objeto e ao vetor velocidade angular do referencial, casos simples surgem quando esses vetores são paralelos ou ortogonais.

No equador terrestre:

• se o objeto se move horizontalmente para norte ou sul, sua velocidade instantânea é paralela ou antiparalela ao eixo de rotação e a força de Coriolis é nula naquele ponto
• se o objeto cai verticalmente, aproximando-se do eixo de rotação, a força de Coriolis aponta para leste
• se é lançado verticalmente para cima, afastando-se do eixo, a força aponta para oeste
• se se move para leste, no sentido da rotação terrestre, a componente de Coriolis aponta para cima. Quando o movimento está restrito à superfície, isso participa da redução do peso aparente chamada efeito de Eötvös. O fenômeno foi discutido por Galileu Galilei em 1632 e por Riccioli em 1651.
• se se move para oeste, a componente de Coriolis aponta para baixo e aumenta, em primeira ordem, o peso aparente

Bola lançada num carrossel em rotação

As figuras mostram uma bola lançada da posição correspondente às 12 horas em direção ao centro de um carrossel que gira no sentido anti-horário. Para um observador inercial acima do carrossel, a bola segue uma linha reta ligeiramente à direita do centro porque, no instante do lançamento, possui a velocidade tangencial da borda somada à velocidade radial produzida pelo lançamento. Para o observador que gira com o carrossel, a posição do lançador permanece fixa e a trajetória da bola parece curva.

Bola com ricochete

A figura mostra uma situação em que a bola atinge a borda do carrossel, rebate e retorna ao lançador. No painel esquerdo, visto da câmera no centro de rotação, o lançador e a borda permanecem em posições fixas e a trajetória é curva. No painel direito, visto do referencial inercial, os trechos de voo livre são retilíneos. A diferença entre as duas descrições é justamente a razão para introduzir as forças fictícias no referencial em rotação.

No carrossel que gira no sentido horário, a bola parece curvar-se para a esquerda em relação à sua direção de movimento. Em trechos aproximadamente radiais, o termo de Coriolis responde pelo desvio transversal. Em trajetórias que deixam de ser aproximadamente radiais, a força centrífuga também participa da aceleração observada no referencial em rotação.

Esfera em rotação

Considere um ponto de latitude ${\displaystyle \varphi }$ numa esfera que gira em torno do eixo norte-sul. Num sistema local com eixo ${\displaystyle x}$ para leste, ${\displaystyle y}$ para norte e ${\displaystyle z}$ para cima:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\\v_{\mathrm {u} }\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {C} }=-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} =2\omega {\begin{pmatrix}v_{\mathrm {n} }\sin \varphi -v_{\mathrm {u} }\cos \varphi \\-v_{\mathrm {e} }\sin \varphi \\v_{\mathrm {e} }\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$$

Na maior parte da dinâmica atmosférica e oceânica de grande escala, a velocidade vertical é pequena e a componente vertical de Coriolis também é pequena em comparação com a gravidade. Por isso, a aproximação tradicional retém apenas as componentes horizontais:

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {a} _{\mathrm {C} }=f{\begin{pmatrix}v_{\mathrm {n} }\\-v_{\mathrm {e} }\end{pmatrix}}.}$$

Essa aproximação não implica que as componentes verticais sejam sempre irrelevantes. Elas podem ser necessárias em problemas equatoriais, movimentos verticais prolongados ou medições de alta precisão.

No equador, ${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\\v_{\mathrm {u} }\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {C} }=2\omega {\begin{pmatrix}-v_{\mathrm {u} }\\0\\v_{\mathrm {e} }\end{pmatrix}}.}$$

Um movimento para leste produz então uma aceleração de Coriolis para cima, enquanto um movimento vertical para cima produz uma aceleração para oeste.

Para outros exemplos, ver Esferas em rotação, movimento aparente de objetos estacionários e carrossel.

Meteorologia e oceanografia

Em meteorologia e oceanografia, a Terra é normalmente tratada como um referencial em rotação. A importância dos termos de Coriolis depende da escala do movimento. Tornados possuem números de Rossby altos e a força de Coriolis é desprezível na dinâmica direta de seu vórtice.

As correntes superficiais oceânicas são forçadas principalmente pelos ventos, enquanto sua organização em escala de bacias também depende da rotação da Terra, dos gradientes de pressão e da configuração dos continentes. Os grandes sistemas circulatórios formados por correntes oceânicas recebem o nome de giros. A circulação dos giros subtropicais é horária no Hemisfério Norte e anti-horária no Hemisfério Sul.

Nos ciclones tropicais, a força de Coriolis é necessária para o balanço dinâmico que permite organizar uma circulação persistente longe do equador. Ela não é a fonte de energia da tempestade. A energia é obtida principalmente do calor e da umidade transferidos pelo oceano quente para a atmosfera.

Em sistemas de alta pressão, a circulação de grande escala é tal que a força de Coriolis aponta aproximadamente para o centro e se opõe ao gradiente de pressão dirigido para fora. Em sistemas de baixa pressão ocorre a configuração oposta. Em trajetórias curvas, o balanço exato também envolve a aceleração centrípeta, dando origem ao chamado balanço de vento gradiente.

Outros efeitos terrestres

A rotação terrestre participa da dinâmica das correntes de jato, das correntes de contorno oeste, das ondas de Rossby, das ondas Kelvin, da dinâmica de Ekman e do balanço de Sverdrup.

Na ressurgência costeira, ventos favoráveis combinados com a rotação terrestre produzem transporte de Ekman da água superficial para longe da costa. A água deslocada é substituída por água subsuperficial mais fria e frequentemente rica em nutrientes, o que favorece a produtividade de fitoplâncton e das cadeias alimentares marinhas.

Geodínamo

O campo magnético terrestre é gerado pelo movimento do fluido eletricamente condutor do núcleo externo. A rotação rápida da Terra e a força de Coriolis restringem fortemente a convecção do núcleo e favorecem estruturas de escoamento alongadas aproximadamente na direção do eixo de rotação. Esses movimentos integram o geodínamo que mantém o campo magnético.

Efeito de Eötvös

Além da componente horizontal, a aceleração de Coriolis possui uma componente vertical para movimentos com componente leste-oeste. Um objeto que se move para leste recebe uma aceleração de Coriolis para cima, enquanto um objeto que se move para oeste recebe uma aceleração para baixo.

Na gravimetria feita numa plataforma móvel, a correção vertical pode ser aproximada, para uma Terra esférica, por

$${\displaystyle a_{\mathrm {E} }=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}},}$$

em que ${\displaystyle u}$ é a velocidade para leste, ${\displaystyle v}$ é a velocidade norte-sul, ${\displaystyle \phi }$ é a latitude e ${\displaystyle R}$ é o raio terrestre. O primeiro termo é a componente vertical linear de Coriolis. O termo quadrático decorre da curvatura da trajetória sobre a superfície terrestre e torna-se relevante em velocidades muito altas.

A aceleração vertical de Coriolis é maior perto do equador e diminui com ${\displaystyle \cos \phi }$. Em meteorologia tropical, os chamados termos não tradicionais de Coriolis podem alterar movimentos de grande escala quando a aproximação que descarta as componentes verticais deixa de ser adequada.

Movimentos verticais também sofrem componentes horizontais de Coriolis. Perto do equador, um corpo que sobe é desviado para oeste e um corpo que desce é desviado para leste.

A vantagem de lançar foguetes para leste a partir de baixas latitudes tem a mesma origem geral, a rotação da Terra, mas não deve ser interpretada como energia fornecida pela força de Coriolis. Um veículo na superfície já possui velocidade tangencial para leste no referencial inercial. Essa velocidade é máxima no equador, e um lançamento para leste pode aproveitá-la para reduzir a variação de velocidade que o foguete precisa fornecer para certas órbitas.

Exemplo intuitivo

Considere um trem ideal que percorre sem atrito a linha do equador. Seja ${\displaystyle u}$ sua velocidade para leste em relação à superfície, ${\displaystyle R}$ o raio terrestre e ${\displaystyle \Omega R\approx 465}$ m/s a velocidade da superfície equatorial. No referencial inercial, a velocidade tangencial do trem é ${\displaystyle \Omega R+u}$. Se o trem permanece à mesma distância do centro da Terra, a força normal ${\displaystyle N}$ exercida pela via satisfaz

$${\displaystyle N=m\left[g-{\frac {(\Omega R+u)^{2}}{R}}\right].}$$

Para o trem parado em relação ao solo,

$${\displaystyle N_{0}=m(g-\Omega ^{2}R).}$$

A diferença é

$${\displaystyle N-N_{0}=-m\left(2\Omega u+{\frac {u^{2}}{R}}\right).}$$

O termo linear é a contribuição de Coriolis, enquanto o termo quadrático vem da curvatura da trajetória.

1. O trem viaja para oeste a cerca de 465 m/s. Nesse caso, ${\displaystyle u=-\Omega R}$ e sua velocidade em relação ao referencial inercial é aproximadamente zero. Não é necessária aceleração centrípeta. A força normal da via torna-se aproximadamente igual ao peso gravitacional ${\displaystyle mg}$, cerca de 0,34% maior que a força normal experimentada quando o trem está parado em relação à superfície.
2. O trem está parado em relação à Terra. Nesse caso, ${\displaystyle u=0}$. A força de Coriolis é nula, mas o trem possui velocidade para leste no referencial inercial e precisa de aceleração centrípeta. Por isso, a força normal é ligeiramente menor que ${\displaystyle mg}$.
3. O trem viaja para leste. Nesse caso, ${\displaystyle u>0}$. A velocidade inercial aumenta, cresce a aceleração centrípeta necessária e a força normal diminui. O passageiro parece mais leve.

Quando ${\displaystyle u=-2\Omega R}$, aproximadamente 930 m/s para oeste, o trem possui no referencial inercial a mesma velocidade escalar de rotação que um objeto parado no solo, mas em sentido oposto. Nesse ponto, a variação total da força normal em relação ao repouso volta a zero. Para velocidades ainda maiores para oeste, a força normal passa a ser menor que no repouso. Isso não significa que a força de Coriolis tenha mudado de direção. Para todo movimento para oeste no equador, o termo de Coriolis continua apontando para baixo. A mudança de sinal da variação total é produzida pelo termo quadrático ${\displaystyle u^{2}/R}$.

Escoamento em banheiras e vasos sanitários

Em banheiras, pias e vasos sanitários comuns, a força de Coriolis é pequena demais para determinar de forma confiável o sentido do escoamento. A geometria do recipiente, o modo como ele foi enchido, pequenas correntes de convecção e a rotação residual da água costumam produzir efeitos muito maiores.

Se a água permanece em repouso por tempo suficiente, o recipiente é simétrico e perturbações externas são reduzidas a níveis muito baixos, a rotação terrestre pode determinar o sentido do vórtice.

Trajetórias balísticas

A força de Coriolis é incluída na balística externa quando o tempo de voo e o alcance tornam seu efeito comparável à precisão exigida. Um exemplo extremo é o Canhão de Paris, usado pelo Exército Alemão em 1918 para bombardear Paris a distâncias próximas de 120 km. Para trajetórias desse porte, o desvio de Coriolis atingia magnitudes que precisavam ser incluídas no cálculo de tiro.

Em tiros de armas menores, o efeito é muito menor, mas pode entrar em cálculos de grande alcance. A deflexão não depende apenas da distância. Latitude, azimute, velocidade e tempo de voo também são necessários para determiná-la.

Os efeitos da rotação terrestre não devem ser confundidos com a curvatura aparente de trajetórias quando um caminho tridimensional sobre a Terra é desenhado numa projeção cartográfica bidimensional, como a projeção de Mercator. Essa curvatura cartográfica existiria mesmo que a Terra não girasse.

Num sistema balístico com eixos de alcance, vertical e transversal, as componentes da aceleração de Coriolis podem ser escritas como:

$${\displaystyle A_{\mathrm {X} }=-2\omega \left(V_{\mathrm {Y} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\sin \phi _{\mathrm {az} }+V_{\mathrm {Z} }\sin \theta _{\mathrm {lat} }\right)}$$

$${\displaystyle A_{\mathrm {Y} }=2\omega \left(V_{\mathrm {X} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\sin \phi _{\mathrm {az} }+V_{\mathrm {Z} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\cos \phi _{\mathrm {az} }\right)}$$

$${\displaystyle A_{\mathrm {Z} }=2\omega \left(V_{\mathrm {X} }\sin \theta _{\mathrm {lat} }-V_{\mathrm {Y} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\cos \phi _{\mathrm {az} }\right)}$$

em que:

• ${\displaystyle A_{\mathrm {X} }}$ é a aceleração na direção do alcance
• ${\displaystyle A_{\mathrm {Y} }}$ é a aceleração vertical, positiva para cima
• ${\displaystyle A_{\mathrm {Z} }}$ é a aceleração transversal, positiva para a direita
• ${\displaystyle V_{\mathrm {X} }}$ é a velocidade na direção do alcance
• ${\displaystyle V_{\mathrm {Y} }}$ é a velocidade vertical, positiva para cima
• ${\displaystyle V_{\mathrm {Z} }}$ é a velocidade transversal, positiva para a direita
• ${\displaystyle \omega =0{,}00007292}$ rad/s é a velocidade angular da Terra
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {lat} }}$ é a latitude, positiva no Hemisfério Norte
• ${\displaystyle \phi _{\mathrm {az} }}$ é o azimute medido no sentido horário a partir do norte

Giroscópios vibratórios

Alguns giroscópios medem a velocidade angular por meio de forças de Coriolis produzidas numa estrutura vibratória. Nos giroscópios MEMS, uma massa ou ressonador é mantido em oscilação. Quando o dispositivo gira, surge uma resposta transversal de Coriolis cuja amplitude, fase ou frequência pode ser usada para estimar a rotação. Esses sensores são usados em unidades de medição inercial, estabilização de câmeras, sistemas automotivos e aparelhos eletrônicos.

Medidor de vazão Coriolis

Um medidor de vazão mássica de Coriolis faz um ou mais tubos vibrarem enquanto o fluido os atravessa. O fluido em movimento dentro do tubo oscilante sofre forças de Coriolis que produzem uma pequena torção e uma diferença de fase entre as oscilações medidas na entrada e na saída. Essa diferença é proporcional à vazão mássica. A frequência de ressonância também pode ser usada para determinar a densidade do fluido.

Física molecular

Em moléculas poliatômicas, o movimento pode ser separado aproximadamente em rotação global e vibrações internas. Os átomos em vibração possuem velocidade em relação ao sistema de coordenadas que gira com a molécula, e os termos de Coriolis acoplam movimentos rotacionais e vibracionais. Esse acoplamento produz efeitos observáveis nos espectros moleculares e permite determinar constantes de acoplamento de Coriolis.

Voo de insetos

Moscas da ordem Diptera usam os halteres, pequenos órgãos que oscilam junto com as asas, para detectar rotações do corpo. Quando o corpo gira, o movimento dos halteres produz forças de Coriolis detectadas por mecanorreceptores em sua base.

Em algumas mariposas da ordem Lepidoptera, as antenas desempenham função mecanossensorial semelhante durante o voo. Nas moscas, mecanorreceptores dos halteres respondem a componentes relacionadas aos movimentos de arfagem e rolamento e de guinada.

Estabilidade dos pontos de Lagrange

No problema circular restrito de três corpos, os pontos de Lagrange são cinco posições de equilíbrio no referencial que gira com os dois corpos de grande massa. L₁, L₂ e L₃ ficam sobre a linha que une os corpos maiores. L₄ e L₅ formam triângulos equiláteros com eles.

Os pontos L₄ e L₅ não são incondicionalmente estáveis. No modelo circular restrito clássico, a estabilidade linear ocorre apenas quando a razão entre a massa maior e a menor ultrapassa cerca de 24,96, condição satisfeita pelos sistemas Sol-Terra, Terra-Lua e Sol-Júpiter. O termo de Coriolis nas equações do referencial em rotação é essencial para essa estabilidade dinâmica.

Objetos podem executar órbitas girino em torno de L₄ ou L₅, como ocorre com muitos troianos, ou órbitas ferradura que abrangem uma região maior em torno dos pontos de equilíbrio.

Física e meteorologia

• Riccioli, G. B., 1651. Almagestum Novum. Bolonha, pp. 425–427. Livro original, em latim.
• Coriolis, G. G., 1832. "Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines". Journal de l'école Polytechnique, vol. 13, pp. 268–302. Artigo original, em francês.
• Coriolis, G. G., 1835. "Mémoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps". Journal de l'école Polytechnique, vol. 15, pp. 142–154. Artigo original, em francês.
• Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, 1982.
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História

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