Espectro de um anel

Em matemática, e mais especificamente em álgebra comutativa e geometria algébrica, o espectro primo (ou simplesmente espectro) de um anel comutativo $R$ é o conjunto de todos os ideais primos de $R,$ equipado com uma topologia chamada topologia de Zariski. O espectro de um anel comutativo é naturalmente dotado de um feixe de anéis comutativos, chamado feixe estrutural, que o torna um espaço anelado; isto é, anéis comutativos são associados a cada ponto e a cada conjunto aberto, que satisfazem algumas condições de compatibilidade. A estrutura formada pelo espectro de um anel comutativo e o espaço anelado associado é chamada de esquema afim. O espectro de um anel $R$ e o esquema afim associado são ambos denotados por $\operatorname {Spec} {R}$ ou ⁠ $\operatorname {Spec} (R)$ ⁠.

Os esquemas afins são uma ferramenta básica da geometria algébrica moderna e, especificamente, da teoria dos esquemas. De fato, os esquemas são construídos "colando" esquemas afins de uma maneira muito semelhante à construção de variedades pela colagem de subconjuntos abertos de um espaço euclidiano equipado com o anel das funções contínuas sobre eles. O adjetivo "afim" na expressão "esquema afim" vem do fato de que uma variedade algébrica afim pode ser identificada com o esquema afim construído sobre seu anel de funções regulares.

Motivação histórica

A ideia do espectro de um anel foi introduzida com esse nome por Alexander Grothendieck. Ela reuniu várias vertentes históricas paralelas. Uma delas, que motiva o uso da palavra "espectro", vem da álgebra linear e da análise funcional mais geral, nas quais o espectro é usado para denotar os autovalores de uma transformação linear. A outra veio da álgebra comutativa, na qual um espaço topológico (a topologia de Zariski) já era usado para descrever a estrutura dos ideais primos. A síntese final foi a adição de um feixe estrutural, que codifica informações geométricas locais próximas a cada ideal primo.

A primeira motivação vem da álgebra linear. Um endomorfismo ⁠ $T$ ⁠ de um espaço vetorial complexo de dimensão finita $V$ gera o subanel $\mathbb {C} [T]$ do anel dos endomorfismos de ⁠ $V$ ⁠. Este anel é comutativo, e existe um homomorfismo de anéis canônico sobrejetor ⁠ $\mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [T]$ ⁠ que mapeia ⁠ $x$ ⁠ para ⁠ $T$ ⁠, onde ⁠ $\mathbb {C} [x]$ ⁠ é o anel de polinômios em uma variável. O núcleo deste homomorfismo é o ideal principal gerado pelo polinômio mínimo $m_{T}(x)$ de $T.$ O polinômio $m_{T}(x)$ se fatora em fatores primos da forma $(x-\lambda _{i})$ onde os $\lambda _{i}$ são os autovalores de $T.$ Isso estabelece uma correspondência bijetiva entre os autovalores de ⁠ $T$ ⁠ e os ideais primos de $\mathbb {C} [T].$ Isso permite identificar o espectro de um endomorfismo com o espectro de um anel específico.

Um ingrediente que faltava na noção de espectro é que ele não distingue a multiplicidade dos vários autovalores. Assim, a definição de um espectro de anel inclui não apenas o conjunto simples de ideais primos, mas também informações estruturais, carregadas pelo anel ⁠ $\mathbb {C} [T]$ ⁠, que permitem a determinação da multiplicidade (e outros tipos de propriedades geométricas). Por exemplo, um operador nilpotente não nulo tem apenas zero como autovalor, e o polinômio mínimo $m_{T}(x)=x^{k}$ onde $k>1$ , mas o espectro como um conjunto de pontos é o singleton $\{(x)\}$ , o ideal primo contendo $x$ , independentemente do grau nilpotente $k$ .

A noção moderna de espectro inclui, portanto, um feixe estrutural, que consiste em uma prescrição das funções que estão sobre cada um dos ideais primos. No caso de $\mathbb {C} [x]/(x^{k})$ , o conjunto de pontos do espectro é o singleton $\{(x)\}$ , mas o grau nilpotente é codificado pelo anel estrutural ${\mathcal {O}}_{(x)}=\mathbb {C} [x]/(x^{k})$ .

Essa noção de espectro da álgebra linear já era amplamente utilizada no tópico mais amplo da teoria espectral. Em uma álgebra de Banach complexa com unidade ⁠ $A$ ⁠, a ideia é estendida definindo o espectro de um elemento ⁠ $a$ ⁠ como o conjunto de números complexos ⁠ $\lambda$ ⁠ tais que ⁠ $a-\lambda 1$ ⁠ não é invertível. No caso comutativo, a teoria de anéis normados e álgebras de Banach de Israel Gelfand tornou o espaço dos ideais maximais, ou equivalentemente funcionais lineares multiplicativos, um objeto central de estudo.

O espectro primo de um anel comutativo também tem uma origem separada na álgebra comutativa e na geometria algébrica. Para uma variedade algébrica afim sobre um corpo algebricamente fechado, o Nullstellensatz identifica os pontos comuns com os ideais maximais em seu anel de coordenadas. Mais geralmente, as subvariedades irredutíveis correspondem a ideais primos. Passar de ideais maximais para todos os ideais primos equivale, portanto, a adjungir um ponto genérico para cada subvariedade irredutível.

O trabalho de Wolfgang Krull antecipou o uso de pontos geométricos para descrever ideais primos. Seu artigo de 1928 sobre cadeias de ideais primos fez parte do desenvolvimento da teoria da dimensão em anéis gerais. Um uso topológico relacionado de ideais primos apareceu no trabalho de Marshall Stone sobre álgebras booleanas e reticulados distributivos: Stone introduziu uma topologia sobre ideais primos de um reticulado distributivo, produzindo o que agora é chamado de espectro do reticulado e levando à noção de espaço espectral.

A construção moderna de $\operatorname {Spec} (R)$ como um espaço localmente anelado foi introduzida sistematicamente por Alexander Grothendieck na teoria dos esquemas. Nesta forma, o espectro não é apenas um espaço topológico de ideais primos, mas é equipado com um feixe estrutural, permitindo que esquemas afins sejam colados para formar esquemas gerais.

Topologia de Zariski

Como um conjunto, o espectro $\operatorname {Spec} (R)$ de um anel comutativo é o conjunto dos ideais primos de ⁠ $R$ ⁠. Ele se torna um espaço topológico, com cada ideal primo ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)$ sendo um ponto neste espaço, equipando-o com a topologia de Zariski, a topologia para a qual um conjunto fechado é o conjunto de todos os ideais primos contendo um dado subconjunto de ⁠ $R$ ⁠. Em outras palavras, para cada subconjunto ⁠ $S$ ⁠ de ⁠ $R$ ⁠, seja $V_{S}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\supseteq S\}.$ O conjunto de todos os ⁠ $V_{S}$ ⁠ forma os conjuntos fechados da topologia de Zariski em $\operatorname {Spec} (R).$ Obtém-se exatamente os mesmos conjuntos fechados se restringirmos a definição a subconjuntos ⁠ $I$ ⁠ que são ideais, pois ⁠ $V_{I}=V_{S}$ ⁠ se ⁠ $I=(S)$ ⁠, o ideal gerado por ⁠ $S$ ⁠. Na verdade, apenas ideais radicais precisam ser considerados, pois $V_{I}=V_{\sqrt {I}}$ para qualquer ideal $I$ e seu radical ${\sqrt {I}}.$

Dado um conjunto fechado ⁠ $V\subseteq \mathrm {Spec} (R)$ ⁠, o ideal $J=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in V}{\mathfrak {p}}$ é um ideal radical tal que ⁠ $V_{J}=V$ ⁠. Isso estabelece uma correspondência biunívoca entre conjuntos fechados e ideais radicais. Isso corresponde, na geometria algébrica, à correspondência entre um conjunto algébrico e o conjunto de todas as equações polinomiais que são satisfeitas nele (veja o Nullstellensatz de Hilbert para detalhes).

Entre os conjuntos abertos, ou seja, os conjuntos da forma $\operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I},$ alguns são especialmente importantes: aqueles da forma $D_{f}=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{(f)}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):f\not \in {\mathfrak {p}}\},$ de modo que $I$ é tomado como um ideal principal gerado por algum $f\in R;$ eles são às vezes chamados de conjuntos abertos distinguidos ou conjuntos abertos principais. Tem-se sempre $D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}.$ Como todo conjunto aberto é da forma ${\textstyle U=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{I}=\bigcup _{f\in I}D_{f},}$ os conjuntos abertos principais formam uma base para a topologia de Zariski. Segue-se que, em geral, não há mal em considerar apenas conjuntos abertos da forma ⁠ $D_{f}$ ⁠. A importância dos ⁠ $D_{f}$ ⁠ reside principalmente no fato de que, quando um ideal ⁠ $I$ ⁠ não é principal, o conjunto aberto ⁠ $\operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I}$ ⁠ não é fácil de definir em termos dos geradores do ideal.

$\operatorname {Spec} (R)$ é um espaço compacto, mas quase nunca Hausdorff: De fato, os ideais maximais em $R$ são precisamente os pontos fechados nesta topologia. Pelo mesmo raciocínio, $\operatorname {Spec} (R)$ não é, em geral, um espaço T₁. No entanto, $\operatorname {Spec} (R)$ é sempre um espaço de Kolmogorov (satisfaz o axioma T₀); é também um espaço espectral.

Esquemas afins

Construção do feixe estrutural

Para cada anel comutativo ⁠ $R$ ⁠, o espaço topológico ⁠ $X=\operatorname {Spec} (R)$ ⁠ é naturalmente dotado de um feixe de anéis comutativos, chamado seu feixe estrutural e comumente denotado ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}$ ⁠. Isso torna ⁠ $\operatorname {Spec} (R)$ ⁠ um espaço anelado, chamado de esquema afim e também denotado ⁠ $\operatorname {Spec} (R)$ ⁠.

Um feixe de anéis ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}$ ⁠ sobre um espaço topológico ⁠ $X$ ⁠ consiste em uma família de anéis ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ (notação alternativa: $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ) indexada pelos conjuntos abertos ⁠ $U$ ⁠ de ⁠ $X$ ⁠. Para cada inclusão ⁠ $U\subset V$ ⁠ de conjuntos abertos, há um canônico homomorfismo de anéis ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠. Esses homomorfismos canônicos devem satisfazer algumas condições de compatibilidade.

A primeira condição de compatibilidade é que os homomorfismos canônicos se comportem conforme o esperado em relação à composição de inclusões. Isso significa que se ⁠ ${\mathcal {U}}$ ⁠ é a categoria dos conjuntos abertos com inclusões como morfismos, ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}$ ⁠ é um functor contravariante de ⁠ ${\mathcal {U}}$ ⁠ para a categoria dos anéis.

A segunda condição de compatibilidade é que ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ pode ser recuperado unicamente a partir dos ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U_{i})$ ⁠ se ⁠ $\textstyle U=\bigcup _{i\in C}U_{i}$ ⁠ é uma cobertura aberta de ⁠ $U$ ⁠. Tecnicamente, isso pode ser expresso como ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\varprojlim _{i\in C}U_{i},$ onde ⁠ $\varprojlim$ ⁠ denota um limite inverso.

No caso de um esquema afim ⁠ $X=\operatorname {Spec} (R)$ ⁠, o anel ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ é primeiramente definido para conjuntos abertos principais da forma ⁠ $D_{f}$ ⁠ como a localização ${\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}=S^{-1}R,$ onde $S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}$ é o conjunto das potências inteiras de ⁠ $f$ ⁠. Observa-se que $D_{g}\subseteq D_{f}\iff g\in {\sqrt {(f)}},$ de modo que $g^{n}=rf$ para algum inteiro positivo $n$ e ⁠ $r\in R$ ⁠, e ⁠ $f$ ⁠ é invertível em ⁠ $R_{g}$ ⁠. Isso permite que o homomorfismo canônico ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\to {\mathcal {O}}_{X}(D_{g})$ ⁠ seja definido como a localização ⁠ $R_{f}\to R_{g}$ ⁠ mapeando $a/f^{m}\mapsto ar^{m}/g^{nm}.$

Para os outros conjuntos abertos, ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ é definido como ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\textstyle \varprojlim _{D_{f}\subseteq U}R_{f},$ e os homomorfismos de anéis canônicos são definidos correspondentemente. Essas definições, para conjuntos abertos que possivelmente não são principais, raramente são usadas na prática, exceto para provar que essas definições definem efetivamente um feixe de anéis.

Para um espaço anelado ⁠ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ⁠, o fibra em um ponto ⁠ $x$ ⁠ é o limite direto ${\mathcal {O}}_{X,x}=\textstyle \varinjlim _{x\in U}{\mathcal {O}}_{X}(U),$ onde ⁠ $U$ ⁠ percorre os conjuntos abertos de ⁠ $X$ ⁠ contendo ⁠ $x$ ⁠. No caso de um esquema afim ⁠ $X=\operatorname {Spec} (R)$ ⁠, o fibra ${\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}$ em um ponto ⁠ ${\mathfrak {p}}\in X$ ⁠ é o anel local ⁠ $R_{\mathfrak {p}}$ ⁠. Portanto, um esquema afim é um espaço localmente anelado. Os elementos de um fibra são chamados de germes. Um germe em ⁠ $x$ ⁠ captura o comportamento local infinitesimal de um elemento de ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ em torno de ⁠ $x$ ⁠.

Seções do feixe estrutural

Os elementos de ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ são conhecidos como seções do feixe estrutural sobre ⁠ $U$ ⁠. O anel de seções ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ para um esquema afim ⁠ $X$ ⁠ pode ser pensado como uma generalização do anel de funções regulares sobre um subconjunto aberto ⁠ $T\subseteq V$ ⁠ de uma variedade afim ⁠ $V\subseteq k^{N}$ ⁠ ( $k={\overline {k}}$ um corpo algebricamente fechado), e as seções $s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)$ podem ser pensadas como generalizações de funções regulares; ou seja, funções $f:T\to k$ tais que para cada ⁠ $p\in T$ ⁠, existe um subconjunto aberto $W\subseteq T$ contendo ⁠ $p$ ⁠ tal que $f(w)=g(w)/h(w)$ para alguns $g,h\in k[V],\ h(w)\neq 0,$ para todos $w\in W.$ Aqui, $k[V]$ é o anel das funções polinomiais em ⁠ $V$ ⁠, conhecido como seu anel de coordenadas; se $\operatorname {I} (V)$ é o ideal de todos os polinômios que se anulam em ⁠ $V$ ⁠, então $k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{N}]/\operatorname {I} (V).$ Os anéis de funções regulares sobre subconjuntos abertos de uma variedade afim, de fato, formam um feixe de $k$ -álgebras, que é chamado de feixe estrutural da variedade. O feixe estrutural de esquemas afins generaliza essa construção; para detalhes, veja variedade afim#feixe estrutural.

Dois fatos fundamentais da teoria das variedades afins informam o que o anel de seções globais de um esquema afim deve ser: 1) o anel das funções regulares globais $f:V\to k$ de uma variedade afim ⁠ $V$ ⁠ é simplesmente o anel de coordenadas ⁠ $k[V]$ ⁠; 2) o Nullstellensatz estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos da variedade afim ⁠ $V$ ⁠ e os ideais maximais de seu anel de coordenadas ⁠ $k[V]$ ⁠. Assim, o anel de coordenadas ⁠ $k[V]$ ⁠ nos dá todas as funções globais permitidas em ⁠ $V$ ⁠, enquanto seu conjunto de ideais maximais ⁠ $\operatorname {MaxSpec} (k[V])$ ⁠ pode ser identificado com ⁠ $V$ ⁠ propriamente dito. Considerando anéis comutativos arbitrários em vez de apenas anéis de coordenadas (ou seja, $k$ -álgebras reduzidas finitamente geradas) e tomando todos os ideais primos de um anel, não apenas os maximais, esses fatos motivam a definição do anel de seções globais do esquema afim $X=\operatorname {Spec} (R)$ simplesmente como ⁠ $R$ ⁠: ${\mathcal {O}}_{X}(X)=R.$

No caso geral, as seções de um feixe estrutural de um esquema afim não podem ser consideradas como "funções" verdadeiras. No entanto, é útil pensar em um elemento $f\in {\mathcal {O}}_{X}(X)=R$ como um objeto que se comporta analogamente a uma "função" em ⁠ $X$ ⁠ definindo seu valor em ${\mathfrak {p}}$ no corpo de frações $\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})$ como

f({\mathfrak {p}})={\frac {f\operatorname {mod} {\mathfrak {p}}}{1}}.

Para o caso especial $R=\mathbb {C} [x]$ com espectro $\operatorname {Spec} (R)=\{{\mathfrak {m}}_{a}:a\in \mathbb {C} \}\cup \{(0)\},$ a avaliação de $f\in R$ no ideal maximal ${\mathfrak {m}}_{a}=(x-a)$ sob esta definição corresponde à avaliação polinomial em ⁠ $a$ ⁠, ⁠ $f\mapsto f(a)$ ⁠, como seria de se esperar.

Esta definição nos permite reescrever a definição de conjuntos abertos principais como

D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):f({\mathfrak {p}})\neq 0\},

estreitamente análoga à sua definição na teoria das variedades afins. Por analogia com funções regulares em subconjuntos abertos principais de variedades afins, elementos da forma $a/f^{n}$ em $R_{f}$ podem ser considerados como "funções" permitidas em $D_{f},$ motivando ${\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}$ como o ponto de partida para a definição abstrata do feixe estrutural dada na seção anterior.

Os valores de $f({\mathfrak {p}})$ podem estar em diferentes corpos $\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})$ que variam dependendo do ponto ${\mathfrak {p}}.$ Além disso, um ⁠ $f\in R$ ⁠ não nulo poderia ter um valor zero em todo ${\mathfrak {p}}\in X;$ mais geralmente, ⁠ $f$ ⁠ não é determinado por seus valores. Assim, $f\in R$ (e mais geralmente, seções $s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)$ ) não podem ser interpretadas como "funções" verdadeiras, exceto em casos especiais. Em vez disso, os elementos de ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ podem ser definidos como certas coleções permitidas de objetos, comportando-se como "lascas de funções", que capturam o comportamento local da seção em torno de cada ponto. Especificamente, uma seção de ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ será uma coleção de germes localmente compatíveis, consistindo de um germe $s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}$ para cada ${\mathfrak {p}}\in U$ . Aqui, localmente compatível significa que, em torno de cada ${\mathfrak {p}}\in U,$ os germes de uma seção $s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)$ coincidem com todos os germes de alguma seção local $t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}$ sobre um subconjunto aberto principal $D_{f_{\alpha }}$ contido em $U$ e contendo ${\mathfrak {p}}.$ Para construir uma seção $(s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U},$ escolhem-se subconjuntos abertos principais $\{D_{f_{\alpha }}\}$ e seções locais $\{t_{\alpha }\}$ de modo que os $D_{f_{\alpha }}$ cubram $U$ e os $t_{\alpha }$ induzam uma escolha única consistente para o germe $s_{\mathfrak {p}}$ em cada ${\mathfrak {p}}\in U.$ Formalmente, coloca-se

{\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{X}(U)={\Big \{}s=(s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\ \ \ {\Big |}\ \ \ &\forall {\mathfrak {p}}\in U,\ \exists (D_{f_{\alpha }}\ni {\mathfrak {p}})\subseteq U\ \mathrm {e} \ t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}\\&\mathrm {t.q.} \ \ \ \forall {\mathfrak {q}}\in D_{f_{\alpha }},\ s_{\mathfrak {q}}=(t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}{\Big \}},\end{aligned}}

onde $(t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}\in R_{\mathfrak {q}}$ é a imagem de $t_{\alpha }$ sob o mapa natural $R_{f_{\alpha }}\to R_{\mathfrak {q}}.$ Pode-se mostrar que esta definição dá ${\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\cong R_{f},$ concordando com a construção anterior. Se $U'\subseteq U$ , o homomorfismo canônico ${\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U')$ é simplesmente dado por $s\mapsto s|_{U'}$ onde $(s|_{U'})_{\mathfrak {p}}=s_{\mathfrak {p}}$ para todos ${\mathfrak {p}}\in U'.$

O valor $s({\mathfrak {p}})$ é definido como a imagem de $s_{\mathfrak {p}}$ sob o mapa natural $R_{\mathfrak {p}}\to R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}},$ onde ${\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ é o ideal maximal do anel local $R_{\mathfrak {p}}.$

Se $R$ é um domínio de integridade, com corpo de frações $K=\operatorname {Frac} (R),$ então podemos descrever o anel ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ mais concretamente da seguinte forma. Dizemos que um elemento $f$ em $K$ é regular em um ponto ${\mathfrak {p}}$ em $X=\operatorname {Spec} {R}$ se ele pode ser representado como uma fração $f=a/b$ com $b\notin {\mathfrak {p}}.$ Note que isso concorda com a noção de função regular em geometria algébrica. Usando esta definição, podemos descrever ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ precisamente como o conjunto de elementos de $K$ que são regulares em todos os pontos ${\mathfrak {p}}$ em $U,$ ou, mais explicitamente,

{\mathcal {O}}_{X}(U)=\{a/b\in K\ |\ \forall {\mathfrak {p}}\in U,\ b\notin {\mathfrak {p}}\}.

Isso é equivalente a descrever ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ⁠ como a interseção de anéis locais ${\textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}}$ com cada anel local $R_{\mathfrak {p}}$ embutido em ⁠ $K$ ⁠.

Equivalência de categorias entre anéis e esquemas afins

Os esquemas afins formam uma categoria cujos morfismos são morfismos de espaços anelados. Neste contexto, ⁠ $\operatorname {Spec}$ ⁠ é um functor contravariante da categoria dos anéis comutativos para a dos esquemas afins. Reciprocamente, dado um esquema afim, o anel definidor pode ser recuperado como ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ⁠. Isso define um functor na direção oposta, e esses dois functores tornam as duas categorias dualmente equivalentes.

Morfismos de esquemas afins

Um morfismo de espaços anelados de ⁠ $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ⁠ é formado por um mapa contínuo ⁠ $f$ ⁠ de ⁠ $X$ ⁠ para ⁠ $Y$ ⁠, e, para cada subconjunto aberto ⁠ $V$ ⁠ de ⁠ $Y$ ⁠, um homomorfismo de anéis ⁠ ${\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$ ⁠; além disso, esses homomorfismos devem comutar com os homomorfismos definidos por inclusões de conjuntos abertos.

Para tornar ⁠ $\operatorname {Spec}$ ⁠ um functor, deve-se defini-lo em homomorfismos de anéis.

Então, seja ⁠ $f:R\to S$ ⁠ um homomorfismo de anéis comutativos e denote respectivamente por ⁠ $X=\operatorname {Spec} (R)$ ⁠ e ⁠ $Y=\operatorname {Spec} (S)$ ⁠ os espaços topológicos associados. Como os pontos desses espaços são ideais primos, pode-se definir um mapa ⁠ $f^{*}:Y\to X$ ⁠ por ⁠ $f^{*}({\mathfrak {q}})=f^{-1}({\mathfrak {q}})$ ⁠ para cada ideal primo ⁠ ${\mathfrak {q}}$ ⁠ de ⁠ $S$ ⁠, uma vez que a imagem inversa de um ideal primo por um homomorfismo de anéis é sempre um ideal primo. Este mapa é contínuo: para provar isso, deve-se mostrar que a imagem inversa de um subconjunto fechado ⁠ $V(I)$ ⁠ de ⁠ $X$ ⁠ (onde ⁠ $I$ ⁠ é qualquer ideal de ⁠ $R$ ⁠) é o conjunto fechado ⁠ $V(f(I))$ ⁠ (isso resulta imediatamente da monotonicidade das funções em relação à inclusão de conjuntos). Uma consequência importante deste fato é que $\operatorname {Spec} (R_{t})$ é homeomorfo ao conjunto aberto principal ⁠ $D_{t}$ ⁠; esta é outra motivação para definir ${\mathcal {O}}_{X}(D_{t})$ como ⁠ $R_{t}$ ⁠.

Para ter um morfismo de espaços anelados, deve-se definir para cada subconjunto aberto ⁠ $U$ ⁠ de ⁠ $X$ ⁠ um homomorfismo de anéis ⁠ ${\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{Y}(f^{*-1}(U))$ ⁠. De fato, basta definir este homomorfismo em conjuntos abertos principais, quando ⁠ $U=D_{t}$ ⁠. Neste caso, este homomorfismo é o homomorfismo de anéis canônico ⁠ $R_{t}\to S_{f(t)}$ ⁠. É direto, embora bastante longo, verificar todas as condições de compatibilidade exigidas para um morfismo de espaços anelados.

Variedades algébricas afins

As variedades algébricas afins fornecem exemplos fundamentais de esquemas afins no sentido de que Alexandre Grothendieck introduziu a teoria dos esquemas para fornecer um cenário para reformular e resolver de forma clara e precisa problemas que eram mal ou inadequadamente tratados pela teoria clássica das variedades. Algumas das questões abordadas incluem lidar com multiplicidades, desenvolver uma abordagem livre de coordenadas, estudar os pontos racionais sobre um corpo que não é algebricamente fechado e estabelecer uma estrutura única para variedades algébricas afins, projetivas e abstratas.

Um conjunto algébrico afim ⁠ $V$ ⁠ sobre o corpo dos números complexos ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ é o conjunto dos zeros comuns em ⁠ $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ de um conjunto de polinômios em ⁠ $n$ ⁠ indeterminadas, ou seja, polinômios em ⁠ $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ⁠. O conjunto dos zeros comuns permanece o mesmo se os polinômios forem substituídos pelo ideal ⁠ $I$ ⁠ que eles geram. O anel quociente ⁠ $R=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ ⁠, chamado de anel de funções regulares em ⁠ $V$ ⁠, é isomorfo ao anel das funções polinomiais com valores em ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠, definidas a menos de igualdade em ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠. De fato, o Nullstellensatz de Hilbert estabelece um homeomorfismo para as topologias de Zariski entre os pontos de ⁠ $V$ ⁠ e os ideais maximais de ⁠ $R$ ⁠, ou seja, os pontos fechados de ⁠ $\operatorname {Spec} (R)$ ⁠. Assim, os pontos de ⁠ $V$ ⁠ podem ser identificados com os ideais maximais de ⁠ $R$ ⁠, e uma função regular consiste na avaliação de um elemento de ⁠ $R$ ⁠ nos pontos fechados do espectro.

Em suma, toda afirmação sobre conjuntos algébricos afins e variedades algébricas afins pode ser traduzida para a linguagem dos esquemas afins. Isso tem muitas vantagens; em particular:

Não há necessidade de supor que o corpo base seja algebricamente fechado, e mesmo de supor a existência de um corpo base (ao lidar com ⁠ $\operatorname {Spec} (R)$ ⁠, não há necessidade de supor que ⁠ $R$ ⁠ contenha um corpo).
Não há necessidade de supor que ⁠ $R$ ⁠ seja um domínio de integridade, como geralmente é o caso na geometria algébrica clássica. Em particular, a interseção de duas variedades afins não é, em geral, uma variedade; é um conjunto algébrico com multiplicidades. Por exemplo, a interseção do círculo ⁠ $x^{2}+y^{2}-1=0$ ⁠ e da reta ⁠ $x=1$ ⁠ é ⁠ $\operatorname {Spec} ([x,y]/\langle y^{2}\rangle )$ ⁠, e a interseção é codificada no esquema afim, enquanto não está na definição conjuntista de conjuntos algébricos.

Motivação da geometria algébrica

Continuando com o exemplo, em geometria algébrica estuda-se conjuntos algébricos, ou seja, subconjuntos de $K^{n}$ (onde $K$ é um corpo algebricamente fechado) que são definidos como os zeros comuns de um conjunto de polinômios em $n$ variáveis. Se $A$ é tal conjunto algébrico, considera-se o anel comutativo $R$ de todas as funções polinomiais $A\to K$ . Os ideais maximais de $R$ correspondem aos pontos de $A$ (porque $K$ é algebricamente fechado), e os ideais primos de $R$ correspondem às subvariedades irredutíveis de $A$ (um conjunto algébrico é chamado de irredutível se não puder ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios).

O espectro de $R$ consiste, portanto, dos pontos de $A$ juntamente com elementos para todas as subvariedades irredutíveis de $A$ . Os pontos de $A$ são fechados no espectro, enquanto os elementos correspondentes a subvariedades têm um fecho consistindo em todos os seus pontos e subvariedades. Se considerarmos apenas os pontos de $A$ , ou seja, os ideais maximais em $R$ , então a topologia de Zariski definida acima coincide com a topologia de Zariski definida em conjuntos algébricos (que tem precisamente os subconjuntos algébricos como conjuntos fechados). Especificamente, os ideais maximais em $R$ , ou seja, $\operatorname {MaxSpec} (R)$ , juntamente com a topologia de Zariski, são homeomorfos a $A$ também com a topologia de Zariski.

Pode-se, portanto, ver o espaço topológico $\operatorname {Spec} (R)$ como um "enriquecimento" do espaço topológico $A$ (com a topologia de Zariski): para cada subvariedade irredutível de $A$ , um ponto não fechado adicional foi introduzido, e este ponto "mantém o controle" da subvariedade irredutível correspondente. Pensa-se neste ponto como o ponto genérico para a subvariedade irredutível. Além disso, o feixe estrutural em $\operatorname {Spec} (R)$ e o feixe de funções polinomiais em $A$ são essencialmente idênticos. Ao estudar espectros de anéis de polinômios em vez de conjuntos algébricos com a topologia de Zariski, pode-se generalizar os conceitos da geometria algébrica para corpos não algebricamente fechados e além, eventualmente chegando à linguagem dos esquemas.

Exemplos

O espectro dos inteiros: O esquema afim $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ é o objeto final na categoria dos esquemas afins, pois $\mathbb {Z}$ é o objeto inicial na categoria dos anéis comutativos. Como um conjunto, $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ consiste nos pontos $(0)$ e $(p)$ para números primos ⁠ $p$ ⁠. Os conjuntos abertos de $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ são $\emptyset$ e subconjuntos da forma $U=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )\setminus \{(p_{1}),\dots ,(p_{n})\}$ para um número finito de números primos $p_{1},\dots ,p_{n}.$ As seções de ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}(U)$ são os números racionais $a/b\in \mathbb {Q}$ onde $b=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}$ para expoentes inteiros não negativos $e_{1},\dots ,e_{n}.$ Os fibras em $(p)$ são os anéis locais $\mathbb {Z} _{(p)};$ o fibra em $(0)$ é $\mathbb {Q} .$
O espectro de polinômios sobre $\mathbb {Z$ O esquema afim $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])$ consiste em quatro tipos de pontos: 1) o ideal zero $(0);$ 2) os ideais principais $(p)$ gerados por números primos $p;$ 3) os ideais principais $(f)$ gerados por polinômios irredutíveis $f;$ e 4) os ideais maximais $(p,f)$ gerados por números primos $p$ e polinômios $f$ cuja redução mod $p$ em $\mathbb {F} _{p}[x]$ é irredutível. Algumas características topológicas e geométricas de $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])$ foram ilustradas em um esboço famoso de David Mumford, agora conhecido como 'mapa do tesouro de Mumford', encontrado em seu livro introdutório The Red Book of Varieties and Schemes.
O análogo teórico dos esquemas de $\mathbb {C} ^{n}$ : O esquema afim $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])$ . Da perspectiva do functor de pontos, um ponto $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ pode ser identificado com o morfismo de avaliação $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C}$ . Esta observação fundamental permite dar significado a outros esquemas afins.
A cruz: $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))$ parece topologicamente como a interseção transversal de dois planos complexos em um ponto (em particular, este esquema não é irredutível), embora tipicamente isso seja representado como um $+$ , já que os únicos morfismos bem definidos para $\mathbb {C}$ são os morfismos de avaliação associados aos pontos $\{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}$ .
O espectro primo de um anel booleano (por exemplo, um anel de conjuntos potência) é um espaço de Hausdorff compacto totalmente desconexo (ou seja, um espaço de Stone).
(M. Hochster) Um espaço topológico é homeomorfo ao espectro primo de um anel comutativo (ou seja, um espaço espectral) se e somente se for compacto, quase-separado e sóbrio.

Exemplos não afins

Aqui estão alguns exemplos de esquemas que não são esquemas afins. Eles são construídos colando esquemas afins.

O espaço projetivo $n$ -dimensional $\mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ sobre um corpo $k$ . Isso pode ser facilmente generalizado para qualquer anel base, veja Construção Proj (na verdade, podemos definir espaço projetivo para qualquer esquema base). O espaço projetivo $n$ -dimensional para $n\geq 1$ não é afim, pois o anel das seções globais de $\mathbb {P} _{k}^{n}$ é $k$ .
Plano afim menos a origem. Dentro de $\mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]$ estão os subesquemas abertos afins distinguidos $D_{x},D_{y}$ . Sua união $D_{x}\cup D_{y}=U$ é o plano afim com a origem removida. As seções globais de $U$ são pares de polinômios em $D_{x},D_{y}$ que se restringem ao mesmo polinômio em $D_{xy}$ , o que pode ser mostrado ser $k[x,y]$ , as seções globais de $\mathbb {A} _{k}^{2}$ . $U$ não é afim, pois $V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing$ em $U$ .

Topologias não Zariski em um espectro primo

Alguns autores (notadamente M. Hochster) consideram topologias em espectros primos diferentes da topologia de Zariski.

Primeiro, há a noção de topologia construtível: dado um anel A, os subconjuntos de $\operatorname {Spec} (A)$ da forma $\varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B$ satisfazem os axiomas para conjuntos fechados em um espaço topológico. Esta topologia em $\operatorname {Spec} (A)$ é chamada de topologia construtível.

Em (Hochster 1969), Hochster considera o que ele chama de topologia de patch em um espectro primo. Por definição, a topologia de patch é a menor topologia na qual os conjuntos das formas $V(I)$ e $\operatorname {Spec} (A)-V(f)$ são fechados.

Spec global ou relativo

Existe uma versão relativa do functor $\operatorname {Spec}$ chamada $\operatorname {Spec}$ global, ou $\operatorname {Spec}$ relativo. Se $S$ é um esquema, então o $\operatorname {Spec}$ relativo é denotado por ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}$ ou $\mathbf {Spec} _{S}$ . Se $S$ está claro pelo contexto, então o Spec relativo pode ser denotado por ${\underline {\operatorname {Spec} }}$ ou $\mathbf {Spec}$ . Para um esquema $S$ e um feixe quase-coerente de ${\mathcal {O}}_{S}$ -álgebras ${\mathcal {A}}$ , existe um esquema ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})$ e um morfismo $f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S$ tal que para cada aberto afim $U\subseteq S$ , existe um isomorfismo $f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))$ , e tal que para abertos afins $V\subseteq U$ , a inclusão $f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)$ é induzida pelo mapa de restrição ${\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)$ . Ou seja, como os homomorfismos de anéis induzem mapas opostos de espectros, os mapas de restrição de um feixe de álgebras induzem os mapas de inclusão dos espectros que compõem o Spec do feixe.

O Spec global tem uma propriedade universal semelhante à propriedade universal do Spec ordinário. Mais precisamente, assim como Spec e o functor de seção global são adjuntos contravariantes à direita entre a categoria dos anéis comutativos e esquemas, o Spec global e o functor imagem direta para o mapa estrutural são adjuntos contravariantes à direita entre a categoria de ${\mathcal {O}}_{S}$ -álgebras comutativas e esquemas sobre $S$ . Em fórmulas,

\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),

onde $\pi \colon X\to S$ é um morfismo de esquemas.

Exemplo de um Spec relativo

O spec relativo é a ferramenta correta para parametrizar a família de retas através da origem de $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}$ sobre $X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.$ Considere o feixe de álgebras ${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],$ e seja ${\mathcal {I}}=(ay-bx)$ um feixe de ideais de ${\mathcal {A}}.$ Então o spec relativo ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}$ parametriza a família desejada. De fato, a fibra sobre ${\displaystyle [\alpha$ é a reta através da origem de $\mathbb {A} ^{2}$ contendo o ponto $(\alpha ,\beta ).$ Supondo $\alpha \neq 0,$ a fibra pode ser calculada observando a composição de diagramas de recuo

{\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}

onde a composição das setas inferiores

{\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha

dá a reta contendo o ponto $(\alpha ,\beta )$ e a origem. Este exemplo pode ser generalizado para parametrizar a família de retas através da origem de $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}$ sobre $X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}$ fazendo ${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]$ e ${\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ menores de }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).$

Perspectiva da teoria da representação

Da perspectiva da teoria da representação, um ideal primo I corresponde a um módulo R/I, e o espectro de um anel corresponde a representações cíclicas irredutíveis de R, enquanto subvariedades mais gerais correspondem a representações possivelmente redutíveis que não precisam ser cíclicas. Lembre-se de que, abstratamente, a teoria da representação de um grupo é o estudo de módulos sobre sua álgebra de grupo.

A conexão com a teoria da representação é mais clara se considerarmos o anel de polinômios $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ou, sem uma base, $R=K[V].$ Como a última formulação deixa claro, um anel de polinômios é a álgebra de monoide sobre um espaço vetorial, e escrever em termos de $x_{i}$ corresponde a escolher uma base para o espaço vetorial. Então um ideal I, ou equivalentemente um módulo $R/I,$ é uma representação cíclica de R (cíclico significando gerado por 1 elemento como um R-módulo; isso generaliza representações 1-dimensionais).

No caso em que o corpo é algebricamente fechado (digamos, os números complexos), todo ideal maximal corresponde a um ponto no espaço n-dimensional, pelo Nullstellensatz (o ideal maximal gerado por $(x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})$ corresponde ao ponto $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ). Essas representações de $K[V]$ são então parametrizadas pelo espaço dual $V^{*},$ sendo o covetor dado enviando cada $x_{i}$ para o $a_{i}$ correspondente. Assim, uma representação de $K^{n}$ (aplicações K-lineares $K^{n}\to K$ ) é dada por um conjunto de n números, ou equivalentemente um covetor $K^{n}\to K.$

Assim, pontos no espaço n-dimensional, pensados como o max spec de $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],$ correspondem precisamente a representações 1-dimensionais de R, enquanto conjuntos finitos de pontos correspondem a representações de dimensão finita (que são redutíveis, correspondendo geometricamente a uma união, e algebricamente a não ser um ideal primo). Os ideais não maximais correspondem então a representações infinitas-dimensionais.

Perspectiva da análise funcional

O termo "espectro" vem do uso na teoria dos operadores. Dado um operador linear T em um espaço vetorial de dimensão finita V, pode-se considerar o espaço vetorial com operador como um módulo sobre o anel de polinômios em uma variável R = K[T], como no teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais. Então o espectro de K[T] (como anel) é igual ao espectro de T (como operador).

Além disso, a estrutura geométrica do espectro do anel (equivalentemente, a estrutura algébrica do módulo) captura o comportamento do espectro do operador, como multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Por exemplo, para a matriz identidade 2×2, o módulo correspondente é:

K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)

a matriz zero 2×2 tem módulo

K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),

mostrando multiplicidade geométrica 2 para o autovalor zero, enquanto uma matriz nilpotente 2×2 não trivial tem módulo

K[T]/T^{2},

mostrando multiplicidade algébrica 2, mas multiplicidade geométrica 1.

Em mais detalhes:

os autovalores (com multiplicidade geométrica) do operador correspondem aos pontos (reduzidos) da variedade, com multiplicidade;
a decomposição primária do módulo corresponde aos pontos não reduzidos da variedade;
um operador diagonalizável (semissimples) corresponde a uma variedade reduzida;
um módulo cíclico (um gerador) corresponde ao operador ter um vetor cíclico (um vetor cuja órbita sob T gera o espaço);
o último fator invariante do módulo é igual ao polinômio mínimo do operador, e o produto dos fatores invariantes é igual ao polinômio característico.

Conceitos semelhantes

O espectro também pode ser considerado para C*-álgebras na teoria dos operadores, dando origem à noção de espectro de uma C*-álgebra. Notavelmente, para um espaço de Hausdorff compacto $X$ , o anel das funções contínuas (com valores complexos) $C(X)$ é uma C*-álgebra comutativa com unidade, sendo o espaço recuperado como um espaço topológico a partir de $\operatorname {MaxSpec} C(X)$ , de fato de forma functorial; este é o conteúdo do teorema de Banach-Stone. De fato, qualquer C*-álgebra comutativa com unidade pode ser realizada como o anel das funções contínuas de um espaço de Hausdorff compacto dessa forma, produzindo a mesma correspondência que entre um anel e seu espectro. Generalizando para C*-álgebras não comutativas obtém-se a topologia não comutativa.

Ver também

Notas

↑ A literatura de geometria algébrica geralmente se refere a um espaço que é compacto (no sentido da topologia geral de toda cobertura aberta ter uma subcobertura finita) sem ser necessariamente Hausdorff (por exemplo, $\operatorname {Spec} (R)$ na maioria dos casos) como sendo quase-compacto, enquanto chama um espaço de compacto apenas quando é tanto quase-compacto quanto Hausdorff.
↑ Tudo o que é dito aqui permanece válido se ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ for substituído por qualquer outro corpo algebricamente fechado.

Referências

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Bibliografia

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