Variedade afim

Na geometria algébrica, uma variedade afim ou variedade algébrica afim é um certo tipo de variedade algébrica que pode ser descrita como um subconjunto de um espaço afim.

Mais formalmente, um conjunto algébrico afim é o conjunto dos zeros comuns sobre um corpo algebricamente fechado k de alguma família de polinómios no anel de polinómios ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ Uma variedade afim é um conjunto algébrico afim que não é a união de dois conjuntos algébricos menores; algebricamente, isto significa que (o radical d)o ideal gerado pelos polinómios que a definem é primo. Variedades afins unidimensionais são chamadas de curvas algébricas afins, enquanto as bidimensionais são superfícies algébricas afins.

Alguns textos usam o termo variedade para qualquer conjunto algébrico, e variedade irredutível para um conjunto algébrico cujo ideal de definição é primo (variedade afim no sentido acima).

Em alguns contextos (veja, por exemplo, o Nullstellensatz de Hilbert), é útil distinguir o corpo k no qual os coeficientes são considerados, do corpo algebricamente fechado K (contendo k) sobre o qual os zeros comuns são considerados (isto é, os pontos do conjunto algébrico afim estão em Kⁿ). Neste caso, diz-se que a variedade é definida sobre k, e os pontos da variedade que pertencem a kⁿ são ditos k-racionais ou racionais sobre k. No caso comum em que k é o corpo dos números reais, um ponto k-racional é chamado de ponto real. Quando o corpo k não é especificado, um ponto racional é um ponto que é racional sobre os números racionais. Por exemplo, o Último Teorema de Fermat afirma que a variedade algébrica afim (que é uma curva) definida por xⁿ + yⁿ − 1 = 0 não possui pontos racionais para nenhum inteiro n maior que dois.

Introdução

Um conjunto algébrico afim é o conjunto de soluções num corpo algebricamente fechado k de um sistema de equações polinomiais com coeficientes em k. Mais precisamente, se ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ são polinómios com coeficientes em k, eles definem um conjunto algébrico afim

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Uma variedade (algébrica) afim é um conjunto algébrico afim que não é a união de dois subconjuntos algébricos afins próprios. Tal conjunto algébrico afim é frequentemente dito ser irredutível.

Se X é um conjunto algébrico afim, e ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ é o ideal de todos os polinómios que se anulam em X, então o anel quociente ${\displaystyle A(X)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\mathrm {I} (X)}$ (também denotado por ${\displaystyle \Gamma (X)}$ ou ${\displaystyle k[X]}$, embora este último possa ser confundido com o anel de polinómios numa indeterminada) é chamado de anel de coordenadas de X. O ideal ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ é radical, logo o anel de coordenadas é um anel reduzido, e, se X for uma variedade afim (irredutível), então ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ é primo, logo o anel de coordenadas é um domínio de integridade. Os elementos do anel de coordenadas ${\displaystyle A(X)}$ podem ser pensados como funções polinomiais em X e também são chamados de funções regulares ou funções polinomiais na variedade. Eles formam o anel de funções regulares da variedade, ou, simplesmente, o anel da variedade; em termos mais técnicos (veja § Feixe estrutural), é o espaço das secções globais do feixe estrutural de X.

A dimensão de uma variedade é um número inteiro associado a toda a variedade, e até mesmo a todo o conjunto algébrico, cuja importância reside no grande número das suas definições equivalentes (veja Dimensão de uma variedade algébrica).

Exemplos

• O complemento de uma hipersuperfície numa variedade afim X (isto é, X \ { f = 0 } para algum polinómio f) é afim. As suas equações de definição são obtidas saturando por f o ideal que define X. O anel de coordenadas é, portanto, a localização ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$. Por exemplo, para X = kⁿ e f ∈ k[x₁,..., x_n], kⁿ \ { f = 0 } é isomorfo à hipersuperfície V(1 − x_n+1f) em kⁿ⁺¹.
• Em particular, ${\displaystyle k-0}$ (a reta afim com a origem removida) é afim, isomorfa à curva ${\displaystyle V(1-xy)}$ em ${\displaystyle k^{2}}$ (veja Grupo algébrico § Exemplos).
• Por outro lado, ${\displaystyle k^{2}-0}$ (o plano afim com a origem removida) não é uma variedade afim (compare isto ao Teorema de extensão de Hartogs em análise complexa). Veja Espectro de um anel § Exemplos não afins.
• As subvariedades de codimensão um no espaço afim ${\displaystyle k^{n}}$ são exatamente as hipersuperfícies, ou seja, as variedades definidas por um único polinómio.
• A normalização de uma variedade afim irredutível é afim; o anel de coordenadas da normalização é o fecho integral do anel de coordenadas da variedade. (De forma análoga, a normalização de uma variedade projetiva é uma variedade projetiva.)

Pontos racionais

Para uma variedade afim ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$ sobre um corpo algebricamente fechado K, e um subcorpo k de K, um ponto racional sobre k (ou ponto k-racional) de V é um ponto ${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$ Ou seja, um ponto de V cujas coordenadas são elementos de k. A coleção de pontos k-racionais de uma variedade afim V é frequentemente denotada por ${\displaystyle V(k).}$ Muitas vezes, se o corpo base for os números complexos C, os pontos que são R-racionais (onde R são os números reais) são chamados de pontos reais da variedade, e os pontos Q-racionais (Q sendo os números racionais) são frequentemente chamados simplesmente de pontos racionais.

Por exemplo, (1, 0) é um ponto Q-racional e um ponto R-racional da variedade ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$ uma vez que está em V e todas as suas coordenadas são inteiras. O ponto (√2/2, √2/2) é um ponto real de V que não é Q-racional, e ${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$ é um ponto de V que não é R-racional. Esta variedade é chamada de círculo, porque o conjunto dos seus pontos R-racionais é a circunferência unitária. Ela possui infinitos pontos Q-racionais que são os pontos

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

onde t é um número racional.

O círculo ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$ é um exemplo de uma curva algébrica de grau dois que não tem nenhum ponto Q-racional. Isto pode ser deduzido do facto de que, módulo 4, a soma de dois quadrados não pode ser 3.

Pode provar-se que uma curva algébrica de grau dois com um ponto Q-racional tem infinitos outros pontos Q-racionais; cada um desses pontos é o segundo ponto de interseção da curva e de uma reta com inclinação racional que passa pelo ponto racional.

A variedade complexa ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$ não possui pontos R-racionais, mas possui muitos pontos complexos.

Se V for uma variedade afim em C² definida sobre os números complexos C, os pontos R-racionais de V podem ser desenhados num pedaço de papel ou por um software de gráficos. A figura à direita mostra os pontos R-racionais de ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Pontos singulares e espaço tangente

Seja ${\displaystyle V}$ uma variedade afim definida pelos polinómios ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ e seja ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ um ponto de ${\displaystyle V}$.

A Matriz jacobiana ${\displaystyle J_{V}(a)}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle a}$ é a matriz das derivadas parciais

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

O ponto ${\displaystyle a}$ é regular se a característica da matriz ${\displaystyle J_{V}(a)}$ for igual à codimensão de ${\displaystyle V}$, e singular caso contrário.

Se ${\displaystyle a}$ for regular, o espaço tangente a ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle a}$ é o subespaço afim de ${\displaystyle k^{n}}$ definido pelas equações lineares

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Se o ponto for singular, o subespaço afim definido por estas equações também é chamado de espaço tangente por alguns autores, enquanto outros autores dizem que não existe espaço tangente num ponto singular. Uma definição mais intrínseca que não usa coordenadas é dada pelo Espaço tangente de Zariski.

A topologia de Zariski

Os conjuntos algébricos afins de kⁿ formam os conjuntos fechados de uma topologia em kⁿ, chamada topologia de Zariski. Isto decorre do facto de que ${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$ e ${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$ (na verdade, uma interseção numerável de conjuntos algébricos afins é um conjunto algébrico afim).

A topologia de Zariski também pode ser descrita por meio de conjuntos abertos básicos, onde os conjuntos abertos de Zariski são uniões numeráveis de conjuntos da forma ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$ para ${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ Estes conjuntos abertos básicos são os complementares em kⁿ dos conjuntos fechados ${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$ o lugar geométrico dos zeros de um único polinómio. Se k for um anel noetheriano (por exemplo, se k for um corpo ou um domínio de ideais principais), então todo o ideal de k é finitamente gerado, de modo que todo o conjunto aberto é uma união finita de conjuntos abertos básicos.

Se V for uma subvariedade afim de kⁿ, a topologia de Zariski em V é simplesmente a topologia de subespaço herdada da topologia de Zariski em kⁿ.

Correspondência Geometria–Álgebra

A estrutura geométrica de uma variedade afim está ligada de forma profunda à estrutura algébrica do seu anel de coordenadas. Sejam I e J ideais de k[V], o anel de coordenadas de uma variedade afim V. Seja I(V) o conjunto de todos os polinómios em ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ que se anulam em V, e seja ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ o radical do ideal I, o conjunto de polinómios f para os quais alguma potência de f está em I. A razão pela qual se exige que o corpo base seja algebricamente fechado é que as variedades afins satisfaçam automaticamente o Nullstellensatz de Hilbert: para um ideal J em ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ onde k é um corpo algebricamente fechado, ${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}.}$

Ideais radicais (ideais que são o seu próprio radical) de k[V] correspondem a subconjuntos algébricos de V. De facto, para ideais radicais I e J, ${\displaystyle I\subseteq J}$ se e só se ${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I).}$ Portanto V(I) = V(J) se e só se I = J. Além disso, a função que toma um conjunto algébrico afim W e devolve I(W), o conjunto de todas as funções que também se anulam em todos os pontos de W, é a inversa da função que associa um conjunto algébrico a um ideal radical, pelo Nullstellensatz. Logo, a correspondência entre conjuntos algébricos afins e ideais radicais é uma bijeção. O anel de coordenadas de um conjunto algébrico afim é reduzido (livre de elementos nilpotentes), uma vez que um ideal I num anel R é radical se e só se o anel quociente R/I for reduzido.

Ideais primos do anel de coordenadas correspondem a subvariedades afins. Um conjunto algébrico afim V(I) pode ser escrito como a união de dois outros conjuntos algébricos se e só se I = JK para ideais próprios J e K não iguais a I (nesse caso ${\displaystyle \mathrm {V} (I)=\mathrm {V} (J)\cup \mathrm {V} (K)}$). Isto acontece se e só se I não for primo. As subvariedades afins são precisamente aquelas cujo anel de coordenadas é um domínio de integridade. Isto porque um ideal é primo se e só se o quociente do anel pelo ideal for um domínio de integridade.

Ideais maximais de k[V] correspondem a pontos de V. Se I e J são ideais radicais, então ${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I)}$ se e só se ${\displaystyle I\subseteq J.}$ Como os ideais maximais são radicais, os ideais maximais correspondem a conjuntos algébricos minimais (aqueles que não contêm subconjuntos algébricos próprios), que são os pontos em V. Se V for uma variedade afim com anel de coordenadas ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$ esta correspondência torna-se explícita através da aplicação ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$ onde ${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$ denota a imagem na álgebra quociente R do polinómio ${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$ Um conjunto algébrico é um ponto se e só se o anel de coordenadas do subconjunto for um corpo, visto que o quociente de um anel por um ideal maximal é um corpo.

A tabela seguinte resume esta correspondência, para subconjuntos algébricos de uma variedade afim e os ideais do anel de coordenadas correspondente:

Produtos de variedades afins

Um produto de variedades afins pode ser definido usando o isomorfismo Aⁿ × A^m = A^n+m, e depois mergulhando o produto neste novo espaço afim. Sejam Aⁿ e A^m os espaços com anéis de coordenadas k[x₁,..., x_n] e k[y₁,..., y_m] respetivamente, de modo a que o seu produto A^n+m tenha o anel de coordenadas k[x₁,..., x_n, y₁,..., y_m]. Seja V = V(f₁,..., f_N) um subconjunto algébrico de Aⁿ, e W = V(g₁,..., g_M) um subconjunto algébrico de A^m. Então cada f_i é um polinómio em k[x₁,..., x_n], e cada g_j está em k[y₁,..., y_m]. O produto de V e W é definido como o conjunto algébrico V × W = V(f₁,..., f_N, g₁,..., g_M) em A^n+m. O produto será irredutível se cada V, W for irredutível.

A topologia de Zariski em Aⁿ × A^m não é a topologia produto das topologias de Zariski nos dois espaços. De facto, a topologia produto é gerada por produtos dos conjuntos abertos básicos U_f = Aⁿ − V(f ) e T_g = A^m − V(g ). Consequentemente, polinómios que estão em k[x₁,..., x_n, y₁,..., y_m] mas não podem ser obtidos como um produto de um polinómio em k[x₁,..., x_n] com um polinómio em k[y₁,..., y_m] definirão conjuntos algébricos que são fechados na topologia de Zariski em Aⁿ × A^m , mas não na topologia produto.

Morfismos de variedades afins

Um morfismo, ou aplicação regular, de variedades afins é uma função entre variedades afins que é polinomial em cada coordenada: mais precisamente, para variedades afins V ⊆ kⁿ e W ⊆ k^m, um morfismo de V para W é uma aplicação φ : V → W da forma φ(a₁, ..., a_n) = (f₁(a₁, ..., a_n), ..., f_m(a₁, ..., a_n)), onde f_i ∈ k[X₁, ..., X_n] para cada i = 1, ..., m. Estes são os morfismos na categoria das variedades afins.

Existe uma correspondência biunívoca entre morfismos de variedades afins sobre um corpo algebricamente fechado k, e os homomorfismos de anéis de coordenadas de variedades afins sobre k na direção oposta. Por causa disto, e juntamente com o facto de haver uma correspondência biunívoca entre as variedades afins sobre k e os seus anéis de coordenadas, a categoria das variedades afins sobre k é dual à categoria dos anéis de coordenadas de variedades afins sobre k. A categoria dos anéis de coordenadas de variedades afins sobre k é precisamente a categoria das álgebras finitamente geradas e livres de elementos nilpotentes sobre k.

Mais precisamente, para cada morfismo φ : V → W de variedades afins, existe um homomorfismo φ^# : k[W] → k[V] entre os anéis de coordenadas (indo na direção oposta), e para cada homomorfismo deste tipo, existe um morfismo das variedades associado aos anéis de coordenadas. Isto pode ser mostrado de forma explícita: sejam V ⊆ kⁿ e W ⊆ k^m variedades afins com anéis de coordenadas k[V] = k[X₁, ..., X_n] / I e k[W] = k[Y₁, ..., Y_m] / J respetivamente. Seja φ : V → W um morfismo. De facto, um homomorfismo entre anéis de polinómios θ : k[Y₁, ..., Y_m] / J → k[X₁, ..., X_n] / I fatora de modo único através do anel k[X₁, ..., X_n], e um homomorfismo ψ : k[Y₁, ..., Y_m] / J → k[X₁, ..., X_n] é determinado de forma única pelas imagens de Y₁, ..., Y_m. Assim, cada homomorfismo φ^# : k[W] → k[V] corresponde univocamente a uma escolha de imagem para cada Y_i. Portanto, dado qualquer morfismo φ = (f₁, ..., f_m) de V para W, pode construir-se um homomorfismo φ^# : k[W] → k[V] que envia Y_i para ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$ onde ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$ é a classe de equivalência de f_i em k[V].

De forma semelhante, para cada homomorfismo dos anéis de coordenadas, um morfismo das variedades afins pode ser construído na direção oposta. Refletindo o parágrafo acima, um homomorfismo φ^# : k[W] → k[V] envia Y_i para um polinómio ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ em k[V]. Isto corresponde ao morfismo de variedades φ : V → W definido por φ(a₁, ... , a_n) = (f₁(a₁, ..., a_n), ..., f_m(a₁, ..., a_n)).

Feixe estrutural

Equipada com o feixe estrutural descrito abaixo, uma variedade afim é um espaço localmente anelado.

Dada uma variedade afim ${\displaystyle X}$ com anel de coordenadas ${\displaystyle A}$, o feixe de ${\displaystyle k}$-álgebras ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ é definido fazendo com que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ seja o anel das funções regulares em ${\displaystyle U}$.

Seja ${\displaystyle D(f)=\{x\mid f(x)\neq 0\}}$ para cada ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle A}$. Eles formam uma base para a topologia de ${\displaystyle X}$ e assim ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ é determinado pelos seus valores nos conjuntos abertos ${\displaystyle D(f)}$. (Veja também: Feixe de módulos#Feixe associado a um módulo.)

O facto chave, que depende do Nullstellensatz de Hilbert de maneira essencial, é o seguinte:

Afirmação: ${\displaystyle \Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]}$ para qualquer ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle A}$.

Demonstração: A inclusão ${\displaystyle \supset }$ é clara. Para a oposta, seja ${\displaystyle g}$ do lado esquerdo e ${\displaystyle J=\{h\in A\mid hg\in A\}}$, que é um ideal. Se ${\displaystyle x}$ está em ${\displaystyle D(f)}$, então, uma vez que ${\displaystyle g}$ é regular na vizinhança de ${\displaystyle x}$, existe alguma vizinhança afim aberta ${\displaystyle D(h)}$ de ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$; isto é, ${\displaystyle h^{m}g}$ está em ${\displaystyle A}$ e portanto ${\displaystyle x}$ não está em ${\displaystyle V(J)}$. Por outras palavras, ${\displaystyle V(J)\subset \{x\mid f(x)=0\}}$ e assim o Nullstellensatz de Hilbert implica que ${\displaystyle f}$ está no radical de ${\displaystyle J}$; isto é, ${\displaystyle f^{n}g\in A}$. ${\displaystyle \square }$

A afirmação, antes de mais, implica que ${\displaystyle X}$ é um espaço "localmente anelado" uma vez que

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

onde ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A\mid f(x)=0\}}$. Em segundo lugar, a afirmação implica que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ é um feixe; de facto, ela diz que se uma função for regular (ponto a ponto) em ${\displaystyle D(f)}$, então ela deve estar no anel de coordenadas de ${\displaystyle D(f)}$; ou seja, a "regularidade" pode ser remendada localmente.

Portanto, ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ é um espaço localmente anelado.

Teorema de Serre sobre a afinidade

Um teorema de Serre fornece uma caracterização cohomológica de uma variedade afim; ele afirma que uma variedade algébrica é afim se e só se ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$ para qualquer ${\displaystyle i>0}$ e qualquer feixe quase-coerente ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle X}$. (cf. Teorema B de Cartan.) Isto faz com que o estudo cohomológico de uma variedade afim seja inexistente, num forte contraste com o caso projetivo no qual os grupos de coomologia de fibrados em retas são de interesse central.

Grupos algébricos afins

Uma variedade afim G sobre um corpo algebricamente fechado k é chamada de grupo algébrico afim se possuir:

• Uma multiplicação μ: G × G → G, que é um morfismo regular que segue o axioma da associatividade — ou seja, de modo que μ(μ(f, g), h) = μ(f, μ(g, h)) para todos os pontos f, g e h em G;
• Um elemento identidade e tal que μ(e, g) = μ(g, e) = g para todo o g em G;
• Um morfismo inverso, uma bijeção regular ι: G → G tal que μ(ι(g), g) = μ(g, ι(g)) = e para todo o g em G.

Juntos, estes definem uma estrutura de grupo na variedade. Os morfismos acima são frequentemente escritos utilizando a notação de grupo ordinária: μ(f, g) pode ser escrito como f + g, f⋅g, ou fg; o inverso ι(g) pode ser escrito como −g ou g⁻¹. Usando a notação multiplicativa, a associatividade, as leis de identidade e do inverso podem ser reescritas como: f(gh) = (fg)h, ge = eg = g e gg⁻¹ = g⁻¹g = e.

O exemplo mais proeminente de um grupo algébrico afim é o GL_n(k), o grupo linear geral de grau n. Este é o grupo das transformações lineares do espaço vetorial kⁿ; se for fixada uma base de kⁿ, isto é equivalente ao grupo das matrizes invertíveis n×n com entradas em k. Pode ser mostrado que qualquer grupo algébrico afim é isomorfo a um subgrupo de GL_n(k). Por esta razão, os grupos algébricos afins são frequentemente chamados de grupos algébricos lineares.

Os grupos algébricos afins desempenham um papel importante na classificação dos grupos simples finitos, uma vez que os grupos de tipo Lie são todos os conjuntos de pontos F_q-racionais de um grupo algébrico afim, onde F_q é um corpo finito.

Generalizações

• Se um autor exige que o corpo base de uma variedade afim seja algebricamente fechado (como este artigo faz), então conjuntos algébricos afins irredutíveis sobre corpos não-algebricamente fechados são uma generalização das variedades afins. Esta generalização inclui notavelmente as variedades afins sobre os números reais.
• Um subconjunto aberto de uma variedade afim é chamado de variedade quase-afim, de modo que toda a variedade afim é quase-afim. Qualquer variedade quase-afim é por sua vez uma variedade quase-projetiva.
• Variedades afins desempenham o papel de cartas locais para variedades algébricas; o que quer dizer que variedades algébricas em geral, tais como variedades projetivas, são obtidas colando variedades afins. Estruturas lineares que estão anexadas a variedades são também (trivialmente) variedades afins; e.g., espaços tangentes, fibras de fibrados vetoriais algébricos.
• A construção dada na § Feixe estrutural permite uma generalização que é usada na teoria de esquemas, a abordagem moderna para a geometria algébrica. Uma variedade afim é (até uma equivalência de categorias) um caso especial de um esquema afim, um espaço localmente anelado que é isomorfo ao espectro de um anel comutativo. Cada variedade afim tem um esquema afim associado a ela: se V(I) for uma variedade afim em kⁿ com anel de coordenadas R = k[x₁, ..., x_n] / I, então o esquema correspondente a V(I) é Spec(R), o conjunto de ideais primos de R. O esquema afim tem "pontos clássicos", os quais correspondem aos pontos da variedade (e portanto ideais maximais do anel de coordenadas da variedade), e também um ponto para cada subvariedade fechada da variedade (estes pontos correspondem a ideais primos não maximais do anel de coordenadas). Isto cria uma noção mais bem definida do "ponto genérico" de uma variedade afim, através da atribuição a cada subvariedade fechada de um ponto aberto que é denso na subvariedade. Em termos mais gerais, um esquema afim é uma variedade afim se for reduzido, irredutível e de tipo finito sobre um corpo algebricamente fechado k.

Ver também

• Representações em anéis de coordenadas

Referências

Bibliografia

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