Matriz de Cauchy

Em matemática, uma matriz de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin-Louis Cauchy, é uma matriz ${\displaystyle m\times n}$ com elementos ${\displaystyle a_{ij}}$ na forma

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

onde ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle y_{j}}$ são elementos de um campo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, e ${\displaystyle (x_{i})}$ e ${\displaystyle (y_{j})}$ são sequências injetivas (contêm elementos distintos).

A matriz de Hilbert é um caso especial da matriz de Cauchy, onde

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

Cada submatriz de uma matriz de Cauchy é ela própria uma matriz de Cauchy.

Determinantes de Cauchy

O determinante de uma matriz de Cauchy é claramente uma fração racional nos parâmetros ${\displaystyle (x_{i})}$ e ${\displaystyle (y_{j})}$. Se as sequências não fossem injetivas, o determinante desapareceria, e tende ao infinito se algum ${\displaystyle x_{i}}$ tende a ${\displaystyle y_{j}}$. Um subconjunto de seus zeros e pólos é assim conhecido. O fato é que não há mais zeros e pólos:

O determinante de uma matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de Cauchy quadrada é conhecido como um determinante de Cauchy e pode ser fornecido explicitamente como

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$     (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

É sempre diferente de zero e, portanto, todas as matrizes quadradas de Cauchy são invertíveis. O inverso ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {B} =[b_{ij}]}$ é dado por

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$     (Schechter 1959, Teorema 1)

onde ${\displaystyle A_{i}(x)}$ e ${\displaystyle B_{i}(x)}$ são os polinômios de Lagrange para ${\displaystyle (x_{i})}$ e ${\displaystyle (y_{j})}$, respectivamente. Isso é,

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{e}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

com

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{e}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

Generalização

Uma matriz ${\displaystyle \mathbf {C} }$ é chamada de tipo Cauchy se tiver a forma

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

Definindo ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {X} }}=\mathrm {diag} (x_{i})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {Y} }}=\mathrm {diag} (y_{i})}$, vê-se que ambas as matrizes de Cauchy e do tipo Cauchy satisfazem a equação de deslocamento

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(com ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$ para a de Cauchy). Portanto, as matrizes do tipo Cauchy têm uma estrutura de deslocamento comum, que pode ser explorada durante o trabalho com a matriz. Por exemplo, existem algoritmos conhecidos na literatura para

• multiplicação aproximada do vetor-matriz de Cauchy com ${\displaystyle O(n\log n)}$ ops (e.g. o método multipolar rápido),
• (pivotado) Fatoração LU com ${\displaystyle O(n^{2})}$ ops (algoritmo GKO) e, portanto, solução de sistema linear,
• algoritmos aproximados ou instáveis para solução de sistema linear em ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$.

Aqui ${\displaystyle n}$ denota o tamanho da matriz (geralmente se trata de matrizes quadradas, embora todos os algoritmos possam ser facilmente generalizados para matrizes retangulares).

Referências

• Cauchy, Augustin Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (em francês). [S.l.]: Bachelier 
• A. Gerasoulis (1988). «A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors» (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. JSTOR 2007921. doi:10.2307/2007921 
• I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). «Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure» (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x 
• P. G. Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). «An ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices» (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50 (5–6): 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011 
• S. Schechter (1959). «On the inversion of certain matrices» (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. JSTOR 2001955. doi:10.2307/2001955 

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