Matriz de Toeplitz

No contexto da álgebra linear, uma subárea da matemática, uma matriz de Toeplitz ou matriz de diagonais constantes, chamada assim em homenagem a Otto Toeplitz, é uma matriz em que cada diagonal descendente da esquerda para a direita tem valor constante. Por exemplo, qualquer matriz 5×5 da seguinte forma é uma matriz de Toeplitz:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\j&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}$

De modo geral, qualquer matriz n×n matrix A da forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

é uma matriz de Toeplitz. Se o elemento i,j da matriz A é denotado por A_i,j, tem-se:

${\displaystyle A_{i,j}=a_{i-1,j-1}.}$

Propriedades

• Uma matriz de Toeplitz n\times n pode ser definida como uma matriz A onde ${\displaystyle A_{i,j}=c_{i-j}}$, para constantes ${\displaystyle c_{1-n},\ldots ,c_{n-1}}$. O conjunto de matrizes de Toeplitz n\times n é um subespaço do espaço vetorial de matrizes n\times n (sob adição de matrizes e multiplicação por escalar).

• Duas matrizes de Toeplitz podem ser somadas em tempo ${\displaystyle O(n)}$ (armazenando apenas um valor de cada diagonal) e multiplicadas em tempo ${\displaystyle O(n^{2})}$.

• Matrizes de Toeplitz são persimétricas. Matrizes de Toeplitz simétricas são tanto centrossimétricas quanto bissimétricas.

• As matrizes de Toeplitz também estão intimamente ligadas às séries de Fourier, porque o operador de multiplicação por um polinômio trigonométrico, comprimido em um espaço de dimensão finita, pode ser representado por tal matriz. Da mesma forma, pode-se representar a convolução linear como a multiplicação por uma matriz de Toeplitz.

• Matrizes de Toeplitz são assintoticamente equivalentes a matrizes circulantes conforme a dimensão cresce, um resultado conhecido como teorema de Grenander–Szegő. Esta propriedade circulante assintótica é a razão pela qual a transformada discreta de Fourier diagonaliza aproximadamente matrizes de Toeplitz grandes, e fundamenta a eficácia da estimativa de densidade espectral baseada na DFT para processos estacionários.

• As matrizes de Toeplitz comutam assintoticamente. Isso significa que elas se diagonalizam na mesma base quando a dimensão das linhas e colunas tende ao infinito.

• Para matrizes de Toeplitz simétricas, existe a decomposição

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A=GG^{\operatorname {T} }-(G-I)(G-I)^{\operatorname {T} }}$

onde ${\displaystyle G}$ é a parte triangular inferior de ${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A}$.

• A inversa de uma matriz de Toeplitz simétrica não singular tem a representação

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\alpha _{0}}}(BB^{\operatorname {T} }-CC^{\operatorname {T} })}$

onde ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ são matrizes de Toeplitz triangulares inferiores e ${\displaystyle C}$ é uma matriz estritamente triangular inferior.

Ver também

• Matriz circulante
• Matriz diagonal
• Matriz tridiagonal

Notas

Referências

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, ISBN 978-0-521-38632-6, Cambridge University Press 
• Monahan, J. F. (2011), Numerical Methods of Statistics, ISBN 978-1-139-08211-2, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511977176 
• Mukherjee, Bishwa Nath; Maiti, Sadhan Samar (1988), «On some properties of positive definite Toeplitz matrices and their possible applications» (PDF), Linear Algebra and Its Applications, 102: 211–240, doi:10.1016/0024-3795(88)90326-6 

Ligações externas

• «Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray» (PDF)