Spin

Massa carregada em rotação

Os primeiros modelos para o spin do elétron imaginavam uma massa carregada em rotação, mas esse modelo falha quando examinado em detalhe. A distribuição espacial necessária não corresponde aos limites do raio do elétron, e a velocidade de rotação necessária excede a velocidade da luz. No Modelo Padrão, as partículas fundamentais são todas consideradas "pontuais", e têm seus efeitos através do campo que as cerca. Qualquer modelo para o spin baseado em rotação de massa precisaria ser consistente com esse modelo.

A "dualidade não descritível classicamente" de Pauli

Wolfgang Pauli, uma figura central na história do spin quântico, inicialmente rejeitou qualquer ideia de que o "grau de liberdade" que ele introduziu para explicar observações experimentais estivesse relacionado à rotação. Ele o chamou de "dualidade não descritível classicamente". Mais tarde, ele admitiu que está relacionado ao momento angular, mas insistiu em considerar o spin uma propriedade abstrata. Essa abordagem permitiu a Pauli desenvolver uma prova de seu princípio fundamental de exclusão de Pauli, uma prova hoje chamada de teorema spin–estatística. Em retrospecto, essa insistência e o estilo de sua prova iniciaram a era moderna da física de partículas, onde propriedades quânticas abstratas derivadas de propriedades de simetria dominam. A interpretação concreta tornou-se secundária e opcional.

Circulação de campos clássicos

O primeiro modelo clássico para o spin propôs uma pequena partícula rígida girando em torno de um eixo, como o uso comum da palavra pode sugerir. O momento angular também pode ser calculado a partir de um campo clássico.^:63 Aplicando a abordagem de Frederik Belinfante para calcular o momento angular de um campo, Hans C. Ohanian mostrou que "o spin é essencialmente uma propriedade de onda... gerada por um fluxo circulante de carga no campo de onda do elétron". Esse mesmo conceito de spin pode ser aplicado às ondas de gravidade na água: "o spin é gerado por movimento circular subcomprimento de onda de partículas de água".

Diferentemente da circulação clássica de campo de onda, que permite valores contínuos de momento angular, os campos de onda quânticos permitem apenas valores discretos. Consequentemente, a transferência de energia de ou para estados de spin sempre ocorre em passos quânticos fixos. Apenas alguns passos são permitidos: para muitos propósitos qualitativos, a complexidade dos campos de onda quânticos de spin pode ser ignorada e as propriedades do sistema podem ser discutidas em termos de modelos de spin "inteiro" ou "semi-inteiro", como discutido em números quânticos abaixo.

Na mecânica bohmiana

O spin pode ser entendido de forma diferente dependendo das interpretações da mecânica quântica. Na interpretação de de Broglie–Bohm, as partículas têm trajetórias definitivas, mas seu movimento é dirigido pela função de onda ou onda piloto. Nessa interpretação, o spin é uma propriedade da onda piloto e não da própria partícula.

O elétron relativístico de Dirac

Cálculos relativísticos das propriedades de spin para elétrons requerem a equação de Dirac.

Férmions e bósons

Aquelas partículas com spins semi-inteiros, como ⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠, ⁠5/2⁠, são conhecidas como férmions, enquanto aquelas partículas com spins inteiros, como 0, 1, 2, são conhecidas como bósons. As duas famílias de partículas obedecem a regras diferentes e amplamente têm papéis diferentes no mundo ao nosso redor. Uma distinção fundamental entre as duas famílias é que os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: isto é, não pode haver dois férmions idênticos tendo simultaneamente os mesmos números quânticos (significando, grosso modo, ter a mesma posição, velocidade e direção de spin). Os férmions obedecem às regras da estatística de Fermi–Dirac. Em contraste, os bósons obedecem às regras da estatística de Bose–Einstein e não têm tal restrição, então podem se "agrupar" em estados idênticos. Além disso, partículas compostas podem ter spins diferentes de suas partículas componentes. Por exemplo, um átomo de hélio-4 no estado fundamental tem spin 0 e se comporta como um bóson, embora os quarks e elétrons que o compõem sejam todos férmions.

Isso tem algumas consequências profundas:

• Quarks e léptons (incluindo elétrons e neutrinos), que compõem o que é classicamente conhecido como matéria, são todos férmions com spin ⁠1/2⁠. A ideia comum de que "a matéria ocupa espaço" na verdade vem do princípio de exclusão de Pauli agindo sobre essas partículas para impedir que os férmions estejam no mesmo estado quântico. Uma compactação adicional exigiria que os elétrons ocupassem os mesmos estados de energia e, portanto, uma espécie de pressão (às vezes conhecida como pressão de degenerescência de elétrons) atua para resistir a que os férmions fiquem excessivamente próximos.
  Férmions elementares com outros spins (⁠3/2⁠, ⁠5/2⁠, etc.) não são conhecidos por existir.
• Partículas elementares que são pensadas como transportadoras de forças são todas bósons com spin 1. Elas incluem o fóton, que transporta a força eletromagnética, o glúon (força forte) e os bósons W e Z (força fraca). A capacidade dos bósons de ocupar o mesmo estado quântico é usada no laser, que alinha muitos fótons tendo o mesmo número quântico (a mesma direção e frequência), no hélio líquido superfluido resultante dos átomos de hélio-4 serem bósons, e na supercondutividade, onde pares de elétrons (que individualmente são férmions) atuam como bósons compostos únicos.
  Bósons elementares com outros spins (0, 2, 3, etc.) não eram historicamente conhecidos por existir, embora tenham recebido considerável tratamento teórico e estejam bem estabelecidos dentro de suas respectivas teorias mainstream. Em particular, teóricos propuseram o gráviton (previsto existir por algumas teorias de gravidade quântica) com spin 2, e o bóson de Higgs (explicando a quebra de simetria eletrofraca) com spin 0. Desde 2013, o bóson de Higgs com spin 0 tem sido considerado provado existir. É a primeira partícula elementar escalar (spin 0) conhecida por existir na natureza.
• Núcleos atômicos têm spin nuclear que pode ser semi-inteiro ou inteiro, de modo que os núcleos podem ser férmions ou bósons.

Teorema spin–estatística

O teorema spin–estatística divide as partículas em dois grupos: bósons e férmions, onde os bósons obedecem à estatística de Bose–Einstein e os férmions obedecem à estatística de Fermi–Dirac (e, portanto, ao princípio de exclusão de Pauli). Especificamente, o teorema exige que partículas com spins semi-inteiros obedeçam ao princípio de exclusão de Pauli, enquanto partículas com spin inteiro não. Como exemplo, os elétrons têm spin semi-inteiro e são férmions que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, enquanto os fótons têm spin inteiro e não obedecem. O teorema foi derivado por Wolfgang Pauli em 1940; ele depende tanto da mecânica quântica quanto da teoria da relatividade especial. Pauli descreveu essa conexão entre spin e estatística como "uma das aplicações mais importantes da teoria da relatividade especial".

Número quântico de projeção de spin e multiplicidade

Na mecânica clássica, o momento angular de uma partícula possui não apenas uma magnitude (quão rápido o corpo está girando), mas também uma direção (para cima ou para baixo no eixo de rotação da partícula). O spin quântico-mecânico também contém informação sobre a direção, mas de uma forma mais sutil. A mecânica quântica afirma que a componente do momento angular para uma partícula de spin-s medida ao longo de qualquer direção só pode assumir os valores

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

onde S_i é a componente do spin ao longo do i-ésimo eixo (seja x, y ou z), s_i é o número quântico de projeção de spin ao longo do i-ésimo eixo, e s é o número quântico de spin principal (discutido na seção anterior). Convencionalmente, a direção escolhida é o eixo z:

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

onde S_z é a componente do spin ao longo do eixo z, s_z é o número quântico de projeção de spin ao longo do eixo z.

Pode-se ver que há 2s + 1 valores possíveis de s_z. O número "2s + 1" é a multiplicidade do sistema de spin. Por exemplo, há apenas dois valores possíveis para uma partícula de spin-⁠1/2⁠: s_z = +⁠1/2⁠ e s_z = −⁠1/2⁠. Estes correspondem a estados quânticos nos quais a componente do spin aponta nas direções +z ou −z, respectivamente, e são frequentemente referidos como "spin para cima" e "spin para baixo". Para uma partícula de spin-⁠3/2⁠, como um bárion delta, os valores possíveis são +⁠3/2⁠, +⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠, −⁠3/2⁠.

Vetor

Para um dado estado quântico, pode-se pensar em um vetor de spin ${\textstyle \langle S\rangle }$ cujas componentes são os valores esperados das componentes do spin ao longo de cada eixo, isto é, ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$. Esse vetor então descreveria a "direção" na qual o spin está apontando, correspondendo ao conceito clássico de eixo de rotação. Acontece que o vetor de spin não é muito útil em cálculos quântico-mecânicos reais, porque não pode ser medido diretamente: s_x, s_y e s_z não podem possuir valores definidos simultaneamente, por causa de uma relação de incerteza quântica entre eles. No entanto, para coleções estatisticamente grandes de partículas que foram colocadas no mesmo estado quântico puro, como através do uso de um aparelho de Stern–Gerlach, o vetor de spin tem um significado experimental bem definido: ele especifica a direção no espaço ordinário na qual um detector subsequente deve ser orientado para alcançar a máxima probabilidade possível (100%) de detectar cada partícula da coleção. Para partículas de spin-⁠1/2⁠, essa probabilidade diminui suavemente à medida que o ângulo entre o vetor de spin e o detector aumenta, até que, em um ângulo de 180° — isto é, para detectores orientados na direção oposta ao vetor de spin — a expectativa de detectar partículas da coleção atinge um mínimo de 0%.

Como conceito qualitativo, o vetor de spin é frequentemente útil porque é fácil de visualizar classicamente. Por exemplo, o spin quântico-mecânico pode exibir fenômenos análogos aos efeitos giroscópicos clássicos. Por exemplo, pode-se exercer uma espécie de "torque" sobre um elétron colocando-o em um campo magnético (o campo atua sobre o momento de dipolo magnético intrínseco do elétron — ver a seção seguinte). O resultado é que o vetor de spin sofre precessão, assim como um giroscópio clássico. Esse fenômeno é conhecido como ressonância de spin eletrônico (ESR). O comportamento equivalente de prótons em núcleos atômicos é usado na espectroscopia e imagem por ressonância magnética nuclear (RMN).

Matematicamente, os estados de spin quântico-mecânicos são descritos por objetos semelhantes a vetores conhecidos como spinores. Há diferenças sutis entre o comportamento de spinores e vetores sob rotações de coordenadas. Por exemplo, girar uma partícula de spin-⁠1/2⁠ em 360° não a traz de volta ao mesmo estado quântico, mas ao estado com a fase quântica oposta; isso é detectável, em princípio, com experimentos de interferência. Para retornar a partícula ao seu estado original exato, é necessária uma rotação de 720°. (O truque da placa e a fita de Möbius fornecem analogias não quânticas.) Uma partícula de spin zero pode ter apenas um único estado quântico, mesmo após a aplicação de torque. Girar uma partícula de spin 2 em 180° pode trazê-la de volta ao mesmo estado quântico, e uma partícula de spin 4 deve ser girada 90° para trazê-la de volta ao mesmo estado quântico. A partícula de spin 2 pode ser análoga a um bastão reto que parece o mesmo mesmo após ser girado 180°, e uma partícula de spin 0 pode ser imaginada como uma esfera, que parece a mesma após qualquer ângulo pelo qual seja girada.

Definições

Operador

O spin obedece a relações de comutação análogas às do momento angular orbital: $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ onde ε_jkl é o símbolo de Levi-Civita. Segue-se (como no momento angular) que os autovetores de ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ e ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ (expressos como kets na base total S) são^(p166) $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Os operadores de subida e descida de spin agindo sobre esses autovetores dão $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ onde ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$.^(p166)

Mas, diferentemente do momento angular orbital, os autovetores não são harmônicos esféricos. Eles não são funções de θ e φ. Também não há razão para excluir valores semi-inteiros de s e m_s.

Todas as partículas quântico-mecânicas possuem um spin intrínseco ${\displaystyle s}$ (embora esse valor possa ser igual a zero). A projeção do spin ${\displaystyle s}$ em qualquer eixo é quantizada em unidades da constante de Planck reduzida, de modo que a função de estado da partícula é, digamos, não ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$, mas ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$, onde ${\displaystyle s_{z}}$ pode assumir apenas os valores do seguinte conjunto discreto: $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Distingue-se bósons (spin inteiro) e férmions (spin semi-inteiro). O momento angular total conservado em processos de interação é então a soma do momento angular orbital e do spin.

Matrizes de Pauli

Os operadores quântico-mecânicos associados a observáveis de spin-⁠1/2⁠ são $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ onde, em componentes cartesianas, $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Para o caso especial de partículas de spin-⁠1/2⁠, σ_x, σ_y e σ_z são as três matrizes de Pauli: $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Princípio de exclusão de Pauli

O princípio de exclusão de Pauli afirma que a função de onda ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$ para um sistema de N partículas idênticas com spin s deve mudar sob trocas de quaisquer duas das N partículas como $${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Assim, para bósons o prefator (−1)^2s se reduz a +1, para férmions a −1. Este postulado de permutação para funções de estado de N partículas tem consequências mais importantes na vida cotidiana, por exemplo, a tabela periódica dos elementos químicos.

Rotações

Como descrito acima, a mecânica quântica afirma que componentes do momento angular medidas ao longo de qualquer direção só podem assumir um número de valores discretos. A descrição quântico-mecânica mais conveniente do spin de uma partícula é, portanto, com um conjunto de números complexos correspondentes a amplitudes de encontrar um dado valor de projeção de seu momento angular intrínseco em um dado eixo. Por exemplo, para uma partícula de spin-⁠1/2⁠, precisaríamos de dois números a_±1/2, dando amplitudes de encontrá-la com projeção de momento angular igual a +⁠ħ/2⁠ e −⁠ħ/2⁠, satisfazendo o requisito $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Para uma partícula genérica com spin s, precisaríamos de 2s + 1 tais parâmetros. Como esses números dependem da escolha do eixo, eles se transformam uns nos outros de forma não trivial quando esse eixo é girado. É claro que a lei de transformação deve ser linear, então podemos representá-la associando uma matriz a cada rotação, e o produto de duas matrizes de transformação correspondentes às rotações A e B deve ser igual (a menos de fase) à matriz que representa a rotação AB. Além disso, as rotações preservam o produto interno quântico-mecânico, e assim devem nossas matrizes de transformação: $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Matematicamente falando, essas matrizes fornecem uma representação projetiva unitária do grupo de rotação SO(3). Cada tal representação corresponde a uma representação do grupo de recobrimento de SO(3), que é SU(2). Há uma representação irredutível n-dimensional de SU(2) para cada dimensão, embora essa representação seja n-dimensional real para n ímpar e n-dimensional complexa para n par (portanto, de dimensão real 2n). Para uma rotação por ângulo θ no plano com vetor normal ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ onde ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, e S é o vetor de operadores de spin.

Uma rotação genérica no espaço tridimensional pode ser construída compondo operadores desse tipo usando ângulos de Euler: $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

Uma representação irredutível desse grupo de operadores é fornecida pela matriz D de Wigner: $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ onde $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ é a pequena matriz d de Wigner. Observe que para γ = 2π e α = β = 0; isto é, uma rotação completa em torno do eixo z, os elementos da matriz D de Wigner se tornam $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Recordando que um estado de spin genérico pode ser escrito como uma superposição de estados com m definido, vemos que se s é um inteiro, os valores de m são todos inteiros, e essa matriz corresponde ao operador identidade. No entanto, se s é um semi-inteiro, os valores de m também são todos semi-inteiros, dando (−1)^2m = −1 para todo m, e, portanto, após rotação de 2π o estado adquire um sinal de menos. Esse fato é um elemento crucial da prova do teorema spin–estatística.

Transformações de Lorentz

Poderíamos tentar a mesma abordagem para determinar o comportamento do spin sob transformações de Lorentz gerais, mas descobriríamos imediatamente um grande obstáculo. Diferentemente de SO(3), o grupo de transformações de Lorentz SO(3,1) é não compacto e, portanto, não tem representações fiéis, unitárias e de dimensão finita.

No caso de partículas de spin-⁠1/2⁠, é possível encontrar uma construção que inclui tanto uma representação de dimensão finita quanto um produto escalar preservado por essa representação. Associamos um espinor de Dirac de 4 componentes ψ a cada partícula. Esses espinores se transformam sob transformações de Lorentz de acordo com a lei $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ onde γ_ν são matrizes gama e ω_μν é uma matriz antissimétrica 4 × 4 que parametriza a transformação. Pode-se mostrar que o produto escalar $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$ é preservado. Ele não é, no entanto, positivo-definido, então a representação não é unitária.

Medição do spin ao longo dos eixos x, y ou z

Cada uma das (Hermitianas) matrizes de Pauli das partículas de spin-⁠1/2⁠ tem dois autovalores, +1 e −1. Os autovetores normalizados correspondentes são $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Como qualquer autovetor multiplicado por uma constante ainda é um autovetor, há ambiguidade sobre o sinal geral. Neste artigo, a convenção é escolhida para tornar o primeiro elemento imaginário e negativo se houver ambiguidade de sinal. A convenção atual é usada por softwares como SymPy; enquanto muitos livros didáticos de física, como Sakurai e Griffiths, preferem torná-lo real e positivo.)

Pelos postulados da mecânica quântica, um experimento projetado para medir o spin do elétron nos eixos x, y ou z só pode produzir um autovalor do operador de spin correspondente (S_x, S_y ou S_z) naquele eixo, isto é, ⁠ħ/2⁠ ou −⁠ħ/2⁠. O estado quântico de uma partícula (com respeito ao spin) pode ser representado por um spinor de duas componentes: $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Quando o spin dessa partícula é medido em relação a um dado eixo (neste exemplo, o eixo x), a probabilidade de que seu spin seja medido como ⁠ħ/2⁠ é apenas ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$. Correspondentemente, a probabilidade de que seu spin seja medido como −⁠ħ/2⁠ é apenas ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$. Após a medição, o estado de spin da partícula colapsa no autoestado correspondente. Como resultado, se o spin da partícula ao longo de um dado eixo foi medido como tendo um dado autovalor, todas as medições produzirão o mesmo autovalor (uma vez que ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$, etc.), desde que nenhuma medição do spin seja feita ao longo de outros eixos.

Medição do spin ao longo de um eixo arbitrário

O operador para medir o spin ao longo de uma direção de eixo arbitrária é facilmente obtido a partir das matrizes de spin de Pauli. Seja u = (u_x, u_y, u_z) um vetor unitário arbitrário. Então o operador para o spin nessa direção é simplesmente $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

O operador S_u tem autovalores de ±⁠ħ/2⁠, assim como as matrizes de spin usuais. Esse método de encontrar o operador para o spin em uma direção arbitrária se generaliza para estados de spin mais altos: toma-se o produto escalar da direção com um vetor dos três operadores para as três direções x-, y-, z.

Um spinor normalizado para spin-⁠1/2⁠ na direção (u_x, u_y, u_z) (que funciona para todos os estados de spin, exceto spin para baixo, onde dará ⁠0/0⁠) é $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

O spinor acima é obtido da maneira usual, diagonalizando a matriz σ_u e encontrando os autoestados correspondentes aos autovalores. Na mecânica quântica, vetores são chamados de "normalizados" quando multiplicados por um fator de normalização, o que resulta no vetor tendo comprimento unitário.

Compatibilidade das medições de spin

Como as matrizes de Pauli não comutam, medições de spin ao longo de eixos diferentes são incompatíveis. Isto é, uma medição ao longo de um eixo pode mudar o resultado de uma medição subsequente ao longo de um eixo diferente. Por exemplo, se medirmos ao longo do eixo x, nosso estado se tornará ${\displaystyle |\psi _{x\pm }\rangle }$, cada um dos quais é uma mistura par de ${\displaystyle |\psi _{z+}\rangle }$ e ${\displaystyle |\psi _{z-}\rangle }$. Isso significa que, após a medição ao longo do eixo x, uma medição ao longo do eixo z tem uma chance igual de ser ${\displaystyle |\psi _{z+}\rangle }$ ou ${\displaystyle |\psi _{z-}\rangle }$, independentemente do estado anterior.

Spins mais altos

O operador de spin-⁠1/2⁠ S = ⁠ħ/2⁠σ forma a representação fundamental de SU(2). Tomando produtos de Kronecker dessa representação consigo mesma repetidamente, pode-se construir todas as representações irredutíveis de dimensão superior. Isto é, os operadores de spin resultantes para sistemas de spin mais alto em três dimensões espaciais podem ser calculados para s arbitrariamente grande usando esse operador de spin e operadores escada. Por exemplo, tomar o produto de Kronecker de dois spin-⁠1/2⁠ produz uma representação quadridimensional, que é separável em uma representação tridimensional de spin 1 (estados tripleto) e uma representação unidimensional de spin 0 (estado singleto).

As representações irredutíveis resultantes fornecem as seguintes matrizes de spin e autovalores na base z:

Também útil na mecânica quântica de sistemas multipartículas, o grupo de Pauli geral G_n é definido como consistindo de todos os produtos tensoriais n-fold de matrizes de Pauli.

A fórmula análoga da fórmula de Euler em termos das matrizes de Pauli $${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$ para spins mais altos é tratável, mas menos simples.