Teorema de Ostrowski

Caso (1)

Deixe ${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {N} }$ com a, b > 1.Expresse bⁿ na base a:

${\displaystyle b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.}$

Então vemos, pelas propriedades de um valor absoluto:

${\displaystyle {\begin{aligned}|b|_{*}^{n}&=|b^{n}|_{*}\\&\leq am\max \left\{|a|_{*}^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{*}^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}}$

Sendo assim,

${\displaystyle |b|_{*}\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{\frac {1}{n}}\max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

No entanto, como ${\displaystyle n\to \infty }$, temos

${\displaystyle (a(n\log _{a}b+1))^{\frac {1}{n}}\to 1,}$

que implica

${\displaystyle |b|_{*}\leq \max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Agora escolha ${\displaystyle 1<b\in \mathbb {N} }$ de tal modo que ${\displaystyle |b|_{*}>1.}$ Usar isso a declaração acima garante que ${\displaystyle |a|_{*}>1}$ independentemente da escolha de a (por outro lado ${\displaystyle |a|_{*}^{\log _{a}b}\leq 1}$, implicando ${\displaystyle |b|_{*}\leq 1}$). Assim, para qualquer escolha de a, b > 1 acima, temos

${\displaystyle |b|_{*}\leq |a|_{*}^{\frac {\log b}{\log a}},}$

i.e.

${\displaystyle {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}.}$

Por simetria, essa desigualdade é uma igualdade.

Uma vez que a, b foram arbitrários, há uma constante ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$ para qual ${\displaystyle \log |n|_{*}=\lambda \log n}$, i.e. ${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$ para todos os naturais n > 1. De acordo com as observações acima, vemos facilmente que ${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{\infty }^{\lambda }}$ para todos os racionais, demonstrando assim a equivalência ao valor absoluto real.

Caso (2)

Como esta avaliação não é trivial, deve haver um número natural para o qual ${\displaystyle |n|_{*}<1.}$ Fatorando em números primos:

${\displaystyle n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}}$

rende que existe ${\displaystyle j}$ de tal modo que ${\displaystyle |p_{j}|<1.}$Afirmamos que, na verdade, isso é verdade apenas para um.

Suponha per contra que p, q são primos distintos com valor absoluto menor que 1. Primeiro, deixe ${\displaystyle e\in \mathbb {N} }$ be such that ${\displaystyle |p|_{*}^{e},|q|_{*}^{e}<{\tfrac {1}{2}}}$. Pelo algoritmo euclidiano, existem ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} }$ de tal modo que ${\displaystyle kp^{e}+lq^{e}=1.}$ Isso produz

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |k|_{*}|p|_{*}^{e}+|l|_{*}|q|_{*}^{e}<{\frac {|k|_{*}+|l|_{*}}{2}}\leq 1,}$

uma contradição.

Então devemos ter ${\displaystyle |p_{j}|_{*}=\alpha <1}$ para alguns j, e ${\displaystyle |p_{i}|_{*}=1}$ for i ≠ j. Deixando

${\displaystyle c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},}$

vemos que para naturais positivos gerais

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{*}^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{*}^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.}$

De acordo com as observações acima, vemos que ${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{p}^{c}}$ para todos os racionais, o que implica que o valor absoluto é equivalente ao p-ádico. ${\displaystyle \blacksquare }$

Também se pode mostrar uma conclusão mais forte, ou seja, que ${\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ é um valor absoluto não trivial se e somente se qualquer um ${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{\infty }^{c}}$ para algum ${\displaystyle c\in (0,1]}$ ou ${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{p}^{c}}$ para algum ${\displaystyle c\in (0,\infty ),\ p\in \mathbf {P} }$.