Formelsammlung Analysis

Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge: $a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n$; $a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})$; $\,a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
Geometrische Folge: ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$; $a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$; $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

Grenzwerte: Definition (Folgen)

Die Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine Nummer $n_{0}$ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also $n>n_{0}$ gilt:

\,|a_{n}|<\epsilon

Eine Folge $(a_{n})$ hat den Grenzwert a, wenn die Folge $(a_{n}-a)$ den Grenzwert 0 hat.
Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl $K>0$ gibt, sodass $|f_{n}|<K$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge $(a_{n})$ den Grenzwert a, die Folge $(b_{n})$ den Grenzwert b, so gilt:

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0$

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

[Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital

Sei $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.$

Voraussetzungen:

Es gibt eine Stelle $a$ , sodass $u(a)$ und $v(a)$ entweder Null sind oder bestimmt divergieren
$u$ und $v$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar
Der Grenzwert $\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}$ existiert.

Dann gilt:

\lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion $f\colon X\to \mathbb {R} \;$ hat für $x\to p+$ den Limes $L\;$ , wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0\;$ ein $\delta >0\;$ gibt, sodass für alle $x\;$ -Werte aus dem Definitionsbereich $X\;$ von $f\;$ , die der Bedingung $0<x-p<\delta \;$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon \;$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert

\lim _{x\to p+}f(x):=L

konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt an einer Stelle $x_{0}$ stetig, wenn der Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $x_{0}$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt

f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)

Epsilon-Delta-Kriterium: $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$ , wenn
zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_{0}|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ .
Folgenkriterium: $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$ , wenn für jede Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in D$ , die gegen $x_{0}$ konvergiert, auch $f(x_{k})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz: Eine im Intervall $[a,b]$ ( $a<b$ ) stetige Funktion $f$ nimmt jeden Funktionswert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in

I

stetige Funktion, bei der

f(a)

und

f(b)

verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei

f:[a,b]\to \mathbb {R}

auf dem abgeschlossenen Intervall

[a,b]

(

a<b

) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein

x_{0}\in (a,b)

, so dass

f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an einer Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$ .

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu $f$ im Punkt $P(x_{0}|f(x_{0}))$: $y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})$
Normale (Senkrechte): $y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})$

Ableitungsregeln

Konstante Funktion: $\left(a\right)'=0$
Faktorregel: $(a\cdot f)'=a\cdot f'$
Summenregel: $\left(g\pm h\right)'=g'\pm h'$
Produktregel: $(g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'$
Quotientenregel: $\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}$
Potenzregel: $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
Kettenregel: $(g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$
Ableitung der Potenzfunktion $f(x)=g(x)^{h(x)}$: $f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}$ .
Leibnizsche Regel: Die Ableitung $n$ -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$ -fach differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ ergibt sich aus; $(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ .; Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${\tbinom {n}{k}}$ sind Binomialkoeffizienten.
Formel von Faà di Bruno: Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der $n$ -ten Ableitung der Komposition zweier $n$ -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird $f\colon x\mapsto f(x)$

Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	$f(x_{N})=0\,$
Extremwert	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})\neq 0$
Minimum	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})>0$
Maximum	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})<0$
Wendepunkt	$f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$
Sattelpunkt	$f'(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$
Verhalten im Unendlichen	$\lim _{x\to \infty }f(x)\quad {\text{und}}\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)$
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)	$f(x)=f(-x)\,$
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)	$-f(x)=f(-x)\,$
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend	$f'(x)\geq 0\quad {\text{bzw.}}\quad f'(x)>0\,$
monoton fallend bzw. streng monoton fallend	$f'(x)\leq 0\quad {\text{und}}\quad f'(x)<0$
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	$f''(x)\geq 0\,$
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	$f''(x)\leq 0\,$
Periodizität	$f(x+p)=f(x)\,$

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}

Einteilung
- Ist das Nennerpolynom $Q_{n}$ vom Grad 0 (also n = 0 und b₀ ≠ 0) und ist $P_{z}$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
- Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
Definitionsbereich
- $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace$
Asymptotisches Verhalten: Für $x\to \infty$ $x\to \infty$ strebt $f(x)$ $f(x)$
- [falls $z>n$ ] gegen $\operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty$ , wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
- [falls $z=n$ ] gegen ${\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}$
- [falls $z<n$ ] gegen 0 (die x-Achse)
Symmetrie
- Sind $P_{z}$ und $Q_{n}$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f$ gerade (symmetrisch zur y-Achse).
- Ist $P_{z}$ gerade und $Q_{n}$ ungerade, so ist $f$ ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn $P_{z}$ ungerade und $Q_{n}$ gerade ist.
Polstellen: $x_{p}$ $x_{p}$ heißt Polstelle von $f$ $f$ , wenn
- $Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.$
Asymptoten: Mittels Polynomdivision von $p$ $p$ durch $q$ $q$ erhält man $p=g\cdot q+r$ $p=g\cdot q+r$ mit Polynomen $g$ $g$ und $r$ $r$ , wobei der Grad von $r$ $r$ kleiner als der von $q$ $q$ ist. Das asymptotische Verhalten von $f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}$ $f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}$ ist damit durch die ganzrationale Funktion $g$ $g$ bestimmt:
- $[z<n]\,$ x-Achse ist Asymptote: $g(x)=0$
- $[z=n]\,$ waagerechte Asymptote: $g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}$
- $[z=n+1]\,$ schräge Asymptote: $g(x)=mx+c\,;m\neq 0$
- $[z>n+1]\,$ ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]$
$-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]$
Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x

\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0

\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c

\int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x

\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

F_{a}(x)'=f(x)\,

Stammfunktion

Jede Funktion

F

heißt Stammfunktion von

f

, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

F'(x)=f(x)\,

Dies bezeichnet der Ausdruck

\int f(x)\mathrm {d} x

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von $f(x)=x^{n}$ sind

F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1

Alles Weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

unbestimmt
$\int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$

$\int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x$
bestimmt
$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$

Integration durch Substitution

unbestimmt
$\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t$
bestimmt
$\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x$
Spezialfall: lineare Substitution
$\int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0$

$\int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0$
Spezialfall: logarithmische Integration
$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0$

Angewandtes

Volumenbestimmung

Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
$\pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x$
Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
$\pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y$
Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, entsteht
$2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x$

Guldinsche Regeln

$M$ Oberflächeninhalt; $V$ Volumen; $L$ Länge der erzeugenden Linie (Profillinie); $A$ Flächeninhalt der erzeugenden Fläche; $R$ Radius des Schwerpunktkreises
Erste Regel: $M=L\cdot 2\pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

bei Rotation um die x-Achse
$M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.$
bei Rotation um die y-Achse
$M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.$

Zweite Regel

V=A\cdot 2\pi R.

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen $f(x)$ , der x-Achse und den Grenzen $x=a$ und $x=b$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch $f(x)$ mit $R$ als Flächenschwerpunkt zu

V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x

mit $y={\tfrac {f(x)}{2}}$ und $\mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.$

Weiteres

Ist f auf [a,b] stetig, so heißt ${\bar {m}}$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf $[a,b]$
${\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:
$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x$

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

Zerlegungssummen
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}$
Keplersche Fassregel
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$
Trapezregel
- Sehnentrapez
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)$

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)$
- Tangententrapez
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}$
Simpsonregel
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)$

Quellen

Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.