Diagonalisation

Premier exemple

On considère la matrice :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}.}$

Cette matrice admet comme valeurs propres :

${\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.}$

Ainsi A qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable.

Si on veut diagonaliser A, il faut déterminer les vecteurs propres correspondants. Il y a par exemple :

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}.}$

On vérifie facilement que ${\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}}$.

Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\-2&1&-2\end{pmatrix}}.}$

Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul :

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}0&1&0\\2&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\-2&1&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

On peut remarquer que les valeurs propres λ_k apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que celui dans lequel les colonnes propres ont été placées pour former P.

Deuxième exemple

Soit ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&-1&1\\0&0&2\end{pmatrix}}\in M_{3}(\mathbb {R} )}$ Le polynôme caractéristique est :

${\displaystyle \chi _{A}(T)=\operatorname {det} (TI_{3}-A)={\begin{vmatrix}T&-3&1\\-2&T+1&-1\\0&0&T-2\end{vmatrix}}=(T-2)^{2}(T+3)}$ (voir le calcul d'un déterminant)

Donc les valeurs propres sont :

• 2 de multiplicité 2,
• –3 de multiplicité 1.

Calcul des sous-espaces propres

On calcule d'abord E₂, ce qui revient à chercher les vecteurs ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$ tels que : ${\textstyle (A-2I_{3})X=0}$

Or :

${\displaystyle (A-2I_{3})X=0\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}-2&3&-1\\2&-3&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0}$

Donc ${\displaystyle E_{2}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right\}}$

On procède de même pour E_–3 et l'on obtient :

${\displaystyle E_{-3}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\right\}}$

On a bien : ${\displaystyle \operatorname {dim} (E_{2})=2\,}$ et ${\displaystyle \operatorname {dim} (E_{-3})=1\,}$, donc cette matrice est diagonalisable.

Une diagonalisation possible est :

${\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}}$, avec ${\displaystyle U={\begin{pmatrix}3&1&1\\2&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}}.}$

Projecteur

Soit (en dimension quelconque) p un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme idempotent : p² = p. Il est annulé par le polynôme X² – X = (X – 1)X, qui est scindé et à racines simples. Il est donc diagonalisable, de valeurs propres 1 et 0. Les projecteurs sur les deux sous-espaces propres correspondants (supplémentaires l'un de l'autre) sont p et id – p. Si l'espace est normé (ou plus généralement si c'est un espace vectoriel topologique) et si p est continu, ces deux sous-espaces sont donc même supplémentaires topologiques.

Symétrie

Toujours en dimension quelconque, soit s une symétrie, c'est-à-dire un endomorphisme involutif : s² = id. Il est annulé par le polynôme X² – 1 = (X – 1)(X + 1) qui est scindé, et à racines simples dès que le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2. Il est donc dans ce cas diagonalisable, ses deux sous-espaces propres (pour les valeurs propres 1 et –1) étant d'ailleurs ceux (pour les valeurs propres 1 et 0) du projecteur p = (s + id)/2.

Par exemple sur l'espace ℒ(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H sur K = ℝ ou ℂ, la symétrie qui à chaque opérateur associe son adjoint est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable en tant que telle : les opérateurs hermitiens et antihermitiens forment deux sous-espaces vectoriels réels supplémentaires (topologiques). (Lorsque H est de dimension finie n sur K, une écriture matricielle montre que leurs dimensions sont égales respectivement à n(n + 1)/2 et n(n – 1)/2 si H est euclidien, et toutes deux égales à n² si H est hermitien.)