Matrice unitaire

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Ne doit pas être confondu avec Unité matricielle ou Matrice unité.

En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :

${\displaystyle \mathrm {U} ^{*}\times \mathrm {U} =\mathrm {U} \times \mathrm {U} ^{*}=\mathrm {I} }$

où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U^† en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité.

L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).

Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.

Propriétés

Toute matrice unitaire U vérifie les propriétés suivantes :

• son déterminant est de module 1 ;
• ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
• U est diagonalisable :${\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {V} \mathrm {D} \mathrm {V} ^{*}}$ où V est une matrice unitaire et D est une matrice diagonale et unitaire ;
• U peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice :${\displaystyle \mathrm {U} =\exp(\mathrm {i} \mathrm {H} )}$ où i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne.
• U est normale.

Propositions équivalentes

Soit U une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :

• U est unitaire ;
• U* est unitaire ;
• U est inversible et son inverse est U* ;
• les colonnes de U forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur ℂⁿ ;
• U est normale et ses valeurs propres sont de module 1.

Cas particuliers

Les matrices unités sont des matrices unitaires.

Notes et références

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Voir aussi