Hectogone

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En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés.

Hectogones réguliers

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

Les vingt hectogones réguliers.

Représentation
Symbole de Schläfli	{100}	{100/3}	{100/7}	{100/9}	{100/11}
Angle interne	176,4°	169,2°	154,8°	147,6°	140,4°

Représentation
Symbole de Schläfli	{100/13}	{100/17}	{100/19}	{100/21}	{100/23}
Angle interne	133,2°	118,8°	111,6°	104,4°	97,2°

Représentation
Symbole de Schläfli	{100/27}	{100/29}	{100/31}	{100/33}	{100/37}
Angle interne	82,8°	75,6°	68,4°	61,2°	46,8°

Représentation
Symbole de Schläfli	{100/39}	{100/41}	{100/43}	{100/47}	{100/49}
Angle interne	39,6°	32,4°	25,2°	10,8°	3,6°

Caractéristiques de l'hectogone régulier

Chacun des 100 angles au centre mesure $\frac{36 0^{\circ}}{100} = 3, 6^{\circ}$ et chaque angle interne mesure $\frac{17 64 0^{\circ}}{100} = 176, 4^{\circ}$ .

Si $a$ est la longueur d'une arête :

le périmètre vaut $P = 100 a$ ;
l'aire vaut $A = 25 a^{2} \cot (\frac{π}{100})$ ;
l'apothème vaut $H = \frac{2 A}{P} = \frac{a}{2} \cot (\frac{π}{100})$ ;
le rayon vaut $R = \frac{H}{\cos (\frac{π}{100})} = \frac{a}{2 \sin (\frac{π}{100})}$ .

L'hectogone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas : en effet, selon le théorème de Gauss-Wantzel, un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si et seulement s'il a un nombre de côtés de la forme $2^{k} \times p_{1} \times p_{2} \times \dots \times p_{m}$ où les $p_{i}$ sont des nombres premiers de Fermat distincts. Or $100 = 2^{2} \times 5^{2}$ .

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

hectogone, sur le Wiktionnaire

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