Losange

En géométrie plane, un losange est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur, ou un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur, ou encore un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Cette figure était anciennement appelée un rhombe, du grec ancien ῥόμβος / rhómbos (et porte toujours un nom tiré de cette étymologie dans de nombreuses langues, comme rhombus en anglais ou encore rombo en espagnol et en italien). L'adjectif relatif au nom « losange » est « rhombique ».

Étymologie

Des auteurs pensent que « losange » peut venir du gaulois lausa (pierre plate) et aurait la même origine que lauze. Cette explication est sémantiquement satisfaisante mais ne l’est pas tout à fait géographiquement, les représentants gaulois l’utilisant étant groupés dans les domaines provençal et franco-provençal. Le terme pourrait dériver de l’espagnol losa (« pavé de carrelage »). Une autre étymologie possible serait loxangle, du grec loxos (« biais ») et du latin angulus (« angle »). Une autre hypothèse serait une origine arabe d'un mot signifiant amande, et losange aurait la même étymologie que le mot lasagne.

Définition et caractérisations

Définition

Un losange est un quadrilatère plan (donc à sommets distincts) dont les côtés ont même longueur, autrement dit un polygone équilatéral à quatre côtés.

Losange aplati

A B C D

.

On étend parfois la définition au cas d'un losange plat :

Caractérisations comme parallélogrammes particuliers

Pour quatre points distincts du plan euclidien $A, B, C, D$ , les propositions suivantes sont équivalentes :

$A B C D$ est un losange, c'est-à-dire $A B = B C = C D = D A$ .
$A B C D$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires (soit un quadrilatère orthodiagonal).
$A B C D$ est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.

Démonstration

Montrons (1) implique (2) :

De $A B = B C$ et $C D = D A$ , on conclut que $(B D)$ est la médiatrice de $[A C]$ . Ainsi $(B D)$ est perpendiculaire à $(A C)$ et passe par le milieu $I$ de $[A C]$ .

On montre de même que $(A C)$ passe par le milieu $J$ de $[B D]$ . Comme $(A C)$ et $(B D)$ sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc $I = J$ ; $A B C D$ est bien un parallélogramme dont les diagonales $(A C)$ et $(B D)$ sont perpendiculaires.

Montrons (2) implique (3) :

On sait donc que les diagonales se coupent en leur milieu $I$ et qu'elles sont perpendiculaires.

Comme $(B D)$ est perpendiculaire à $(A C)$ et passe par $I$ , on conclut que $(B D)$ est la médiatrice de $[A C]$ et donc $A B = B C$ .

Montrons (3) implique (1) :

Dans un parallélogramme les côtés opposés ont même longueur. Si de plus deux côtés consécutifs ont même longueur, les quatre côtés ont même longueur.

Remarque : l'équivalence entre (2) et (3) se traduit vectoriellement en $(\vec{u} + \vec{v} ⊥ \vec{u} - \vec{v}) \Leftrightarrow | | \vec{u} | | = | | \vec{v} | |$ , propriété provenant de l'identité $(\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) = | | \vec{u} | |^{2} - | | \vec{v} | |^{2}$ .

Autres caractérisations

Un losange est un quadrilatère convexe dont les diagonales en sont des axes de symétrie, autrement dit un quadrilatère qui est de deux façons un cerf-volant.

Démonstration du sens direct

D'après les caractérisations ci-dessus, les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l'image de A par la symétrie d'axe $(B D)$ et $D$ est l'image de $B$ par la symétrie d'axe $(A C)$ .

Un losange est un quadrilatère convexe dont les diagonales sont les bissectrices de ses angles.

Démonstration du sens direct

Soit un losange $A B C D$ de centre $I$ . Les deux propriétés de symétrie entraînent que les triangles $A B I$ , $C B I$ , $A D I$ , et $C D I$ sont superposables. D'où :

$\hat{I A B} = \hat{I A D} = \hat{I C B} = \hat{I C D}$ et

$\hat{I B A} = \hat{I B C} = \hat{I D A} = \hat{I D C}$ .

C'est-à-dire : les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles.

Démonstration de la réciproque

On pose $\hat{A} = 2 α, \hat{B} = 2 β, \hat{=} C = 2 γ, \hat{D} = 2 δ$ ; d'après la propriété des angles opposés par le sommet, on a $π - α - β = π - γ - δ$ , donc $α + β = γ + δ$ et de même, $γ + β = δ + α$ , dont on déduit $α = γ, β = δ$ ; c'est donc un parallélogramme (côtés opposés parallèles). De plus, $π - α - β + π - β - α = π$ , d'où $α + β = π / 2$ : les diagonales sont perpendiculaires, c'est un losange.

Autres propriétés

Comme dans tout parallélogramme les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

Un losange a deux angles aigus et deux angles obtus (sauf dans le cas particulier où le losange est aussi un carré, auquel cas tous les angles sont droits). Un de ses angles aigus + un de ses angles obtus = 180° ; exemple : 110°(obtus) + 70°(aigu) = 180°.
Le groupe des isométries du losange non carré est le groupe de Klein.
Comme pour tout quadrilatère non croisé, tout losange pave le plan.

Propriétés métriques

Formules
Angles	$α = 2 \arctan \frac{l}{L}$ , $β = 2 \arctan \frac{L}{l}$ , $α + β = 2 π = 18 0^{\circ}$
Longueur des côtés	$a = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + l^{2}}$
Périmètre	$p = 4 a$
Longueurs des diagonales, soit longueur et largeur du rectangle circonscrit	$L = 2 a \cos \frac{α}{2} = 2 a \sin \frac{β}{2}$ , $l = 2 a \sin \frac{α}{2} = 2 a \cos \frac{β}{2}$
Aire	$S = \frac{L \cdot l}{2}$
	$S = a^{2} \sin α = a^{2} \sin β$
	$S = 2 a h$
	$S = \frac{4 h^{2}}{\sin α} = \frac{4 h^{2}}{\sin β}$
Rayon du cercle inscrit, ou apothème	$h = \frac{l}{2} \cos \frac{α}{2} = \frac{a}{2} \sin α$ , $h = \frac{l}{2} \sin \frac{β}{2} = \frac{a}{2} \sin β$
Rayon du cercle inscrit, ou apothème	$h = \frac{L \cdot l}{p}$
Rapport de l'aire du losange à l'aire du disque inscrit	$\frac{S}{π h^{2}} = \frac{4}{π \sin α}$

Équation cartésienne

La courbe formée des côtés du losange de sommets $(\pm a, 0)$ et $(0, \pm b)$ a pour équation cartésienne : $| \frac{x}{a} | + | \frac{y}{b} | = 1.$

Il s'agit d'un cas particulier de courbe de Lamé, avec un exposant égal à 1.

Losanges remarquables


Nom du losange	Construction	Angle aigu	Angle obtus	Rapport longueur/largeur (format du rectangle circonscrit)	Figure
Carré	Quatre triangles isocèles rectangles	$\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}$	$\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}$	1
Grand losange du pavage de Penrose	Deux triangles d'argent accolés par la base	$\frac{2 π}{5} = 7 2^{\circ}$	$\frac{3 π}{5} = 10 8^{\circ}$	$\cot \frac{π}{5} = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}} \approx 1, 38$	Losanges jaunes
Face du dodécaèdre rhombique	Deux triangles joignant le centre d'un cube à une arête accolés par la base	$2 arccot \sqrt{2} = \arccos (\frac{1}{3}) \approx 7 0^{\circ} 32^{'}$	$2 \arctan \sqrt{2} \approx 10 9^{\circ} 28^{'}$ , angle tétraédrique	$\sqrt{2} \approx 1, 41$
Losange d'or, face du triacontaèdre rhombique et du dodécaèdre de Bilinski	Losange inscrit dans un rectangle d'or	$2 \arctan \frac{1}{φ} = \arctan 2 \approx 63, 4^{\circ}$	$2 \arctan φ = π - \arctan 2 \approx 116, 6^{\circ}$	$φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1, 62$
Losange 60-120	Deux triangles équilatéraux accolés	$\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}$	$\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}$	$\sqrt{3} \approx 1, 73$
	Losange inscrit dans un double carré	$2 \arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{4}{3} \approx 53, 1^{\circ}$	$2 \arctan 2 = π - \arctan \frac{4}{3} \approx 126, 9^{\circ}$	2
Petit losange du pavage de Penrose	Deux triangles d'or accolés par la base	$\frac{π}{5} = 3 6^{\circ}$	$\frac{4 π}{5} = 14 4^{\circ}$	$\cot \frac{π}{10} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} \approx 3, 08$	Losanges bleus

Dans l'espace

La caractérisation du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange soit une figure plane, mais il existe des quadrilatères dans l'espace ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. On obtient de telles figures en faisant subir à deux côtés consécutifs d'un « vrai losange » une rotation autour de la diagonale correspondante.

Polyèdres à faces losanges

Un polyèdre à faces losanges est dit "rhombique". Un polyèdre dont les six faces sont des losanges est appelé un rhomboèdre, mais il existe d'autres polyèdres rhombiques comme le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique.

Exemples dans la vie courante

Calissons

Les calissons ont une forme de losange arrondi, et sont présentés dans des boites en losange.

Par analogie avec la forme de ces friandises, on a appelé "théorème des calissons" la propriété de mathématiques récréatives suivante : les pavages d'un hexagone régulier de côté $n$ par des calissons (losanges de côté 1 d'angles 60°-120°) comportent le même nombre $n^{2}$ de calissons dans chacune des trois orientations possibles^,^,.

Il y a une preuve sans mots frappante de ce théorème. Il faut imaginer qu'on voit un cube vide de côté $n$ en perspective et qu'on le remplit de caisses cubiques de côté 1.

Logo de Renault

« La marque au losange » est une expression régulièrement utilisée pour désigner la marque automobile Renault, en référence à la forme de son logo.

Drapeaux

Plusieurs drapeaux arborent des losanges, notamment celui du Brésil, qui présente un losange jaune en son centre. Le drapeau officiel de la Bavière est entièrement composé de losanges bleus et blancs.

Galerie de photos

Mosaïque de sol à Pella, capitale de l'ancien royaume de Macédoine.
Décoration en losanges sur le pignon du transept sud de l'église Saint-Julien de Chauriat, en Auvergne.
Vitrail de la métropole Saint-Pierre de Rennes
Toit rhomboïdal, église de l'Assomption à Andernach.
Marienkirche à Dortmund.
Sculpture de Victor Vasarely près de la gare de Budapest-Déli.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Raute » (voir la liste des auteurs).

↑ « RHOMBE : Définition de RHOMBE », sur www.cnrtl.fr (consulté le 10 août 2022)
↑ Alain Rey, Dictionnaire historique de la langue française, t. 2, Paris, Le Robert, 1998, p. 2056
↑ A. Bouvier, M. George, F. Le Lionnais, Dictionnaire de mathématiques, PUF, 2005, p. 517
↑ Jean-Paul Delahaye, « Les pavages pentagonaux : une classification qui s’améliore », Pour la Science, n^o 432,‎ octobre 2013, p. 78 (lire en ligne)
↑ (en) G.David, C.Tomei, « The problem of calissons », American mathematical monthly, vol. 96, n^o 5,‎ 1989, p. 429-431 (lire en ligne)
↑ Olivier Longuet, « Le jeu du calisson », Au fil des maths, bulletin de l'APMEP, n^o 541,‎ novembre 2021, p. 82-85 (lire en ligne)
↑ Jean Lefort, « L'espace au secours du plan », Dossier Pour La Science, n^o 59,‎ 1^er avril 2008, p. 60-62 (lire en ligne)
↑ Mael Pilven, « Mais d’où vient le Losange de Renault ? », sur autoplus.fr, 24 août 2015 (consulté le 12 septembre 2025)

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Losange, sur Wikimedia Commons
losange, sur le Wiktionnaire

Bibliographie

(en) Jacques Hadamard, Lessons in geometry, Education Development Center, Inc, 2008 (ISBN 978-0-8218-4367-3 et 978-1-4704-1203-6)

Articles connexes

Liens externes

Robert Ferréol, « Rosace rhombique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

Ressource relative aux beaux-arts :
- Biblissima
Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
Notices d'autorité :
- GND

Portail de la géométrie

[1] « RHOMBE : Définition de RHOMBE », sur www.cnrtl.fr (consulté le 10 août 2022)

[2] Alain Rey, Dictionnaire historique de la langue française, t. 2, Paris, Le Robert, 1998, p. 2056

[3] A. Bouvier, M. George, F. Le Lionnais, Dictionnaire de mathématiques, PUF, 2005, p. 517

[4] Jean-Paul Delahaye, « Les pavages pentagonaux : une classification qui s’améliore », Pour la Science, n^o 432,‎ octobre 2013, p. 78 (lire en ligne)

[5] (en) G.David, C.Tomei, « The problem of calissons », American mathematical monthly, vol. 96, n^o 5,‎ 1989, p. 429-431 (lire en ligne)

[6] Olivier Longuet, « Le jeu du calisson », Au fil des maths, bulletin de l'APMEP, n^o 541,‎ novembre 2021, p. 82-85 (lire en ligne)

[7] Jean Lefort, « L'espace au secours du plan », Dossier Pour La Science, n^o 59,‎ 1^er avril 2008, p. 60-62 (lire en ligne)

[8] Mael Pilven, « Mais d’où vient le Losange de Renault ? », sur autoplus.fr, 24 août 2015 (consulté le 12 septembre 2025)