Speciális unitér csoport

Struktúrája

Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ komplexifikációja az ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$, mely az ${\displaystyle n\times n}$-es nyommentes komplex mátrixok algebrája. Ennek Cartan-részalgebrái tehát nyommentes diagonális mátrixokat tartalmaznak, melyek bármelyike megegyeztethető egy olyan vektorral ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$-ben, amelyek komponenseinek összege nulla. A gyökrendszerében ezáltal a ${\displaystyle (1;-1;0;\dots ;0)}$ számok ${\displaystyle n(n-1)}$ lehetséges permutációja található meg. Az egyszerű gyököket választhatjuk következőféleképpen:

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Következtetésképpen, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ csoport rangja ${\displaystyle n-1}$, Dynkin-diagrammja pedig ${\displaystyle A_{n-1}}$, melyet grafikusan egy ${\displaystyle n-1}$ taggal rendelkező lánccal jelölünk. Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Lie-algebra Cartan-mátrixa a következő:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Weyl-csoportja (vagy Coxeter-csoportja) az ${\displaystyle \operatorname {S} _{n}}$ szimmetrikus csoport, amely az ${\displaystyle (n-1)}$-szimplex szimmetriacsoportja.

Ábrázoláselmélete

Mivel az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ egy egyszeresen összefüggő Lie-csoport, bármelyik ábrázolása (vagy reprezentációja) levezethető a csoporthoz tartozó ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Lie-algebra (vagy pedig annak komplexifikációjának) ábrázolásaiból. Mivel a csoport kompakt, így a Peter–Weyl-tétel kimondja, hogy az ábrázolásai felbonthatóak irreducibilis ábrázolások direkt összegeként. Továbbá, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ csoport nem kommutatív, így léteznek olyan irreducibilis ábrázolásai, melyeknek egynél nagyobb a dimenziója.

Kapcsolata a 3-gömbbel

Ha a definícióban szereplő ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát ${\displaystyle \alpha =a+bi,\ \beta =c+di}$, akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb (${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$) egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ a ${\displaystyle 2\times 2}$-es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, ${\displaystyle \varphi }$-nek a ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$-ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ egy kompakt részsokaságába, pontosabban ${\displaystyle \varphi (\mathbb {S} ^{3})=\operatorname {SU} (2)}$.

Ennek következtében, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ diffeomorf ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-vel, mely bizonyítja, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ egyszeresen összefüggő, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.

Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal

Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ csoportot generálják. Az általánosan megadott ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ mátrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

leképezhető a következő formájú kvaternióba:

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}.}$

Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ izomorf az egységkvaterniók csoportjához.

Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ és ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ között. Ennek következtében, ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ izomorf az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)/\{\pm I\}}$ faktorcsoporthoz, ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ univerzális fedése, továbbá az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-at definiáló sokaság létrehozható, ha ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.

Lie-algebrája

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ csoport Lie-algebrájába azon ${\displaystyle 2\times 2}$-es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla. Pontosabban:

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}\right|\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ és ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$ Ennek következtében az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.

Továbbá, a Lie-algebra ábrázolásainak segítségével levezethetőek az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ábrázolásai.

Topológiai tulajdonságai

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoport egyszeresen összefüggő és kompakt. A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ egységgömbre a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$ térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ egy fibrált nyaláb, melynek bázistere ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$, fibruma (vagy rostja) pedig ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$. Mivel a fibrum és a bázistér is egyszeresen összefüggő, ebből következik, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ is egyszeresen összefüggő.

Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoport egy nemtriviális (csavart) ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-nyaláb ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ bázistér felett.

Lie-algebrája

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ Lie-algebrája ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$, amely a ${\displaystyle 3\times 3}$-as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

mátrixok, ahol ${\displaystyle \lambda _{a}}$ a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle f}$ a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ esetén a következők:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

ahol olyan ${\displaystyle f_{abc}}$, melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus ${\displaystyle d}$ tényezők a következők:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Egy általános ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoportelem, melyet egy ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 3\times 3}$-as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

ahol

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

SU(1,1)

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$ egy fontos példája az általánosított speciális unitér csoportoknak. Definíció szerint a következő:

${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\{\bar {v}}&{\bar {u}}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):u{\bar {u}}-v{\bar {v}}=1\right\}.}$

Ez a csoport izomorf az ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ és a ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)}$ csoportokkal, ahol a vesszővel elválasztott két szám annak a kvadratikus alaknak a szignatúrájára utal, melyet a csoport változatlanul hagy. A definícióban található ${\displaystyle u{\bar {u}}-v{\bar {v}}}$ kifejezés egy hermitikus forma, melyből egy izotropikus másodfokú forma lesz, ha a ${\displaystyle u}$-t és ${\displaystyle v}$-t a valós komponenseire felbontjuk.

A csoport egy korai formája a kokvaterniók egységgömbjeként mutatkozott meg. Legyen

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

A három mátrix szorzata a kétdimenziós egységmátrix, továbbá mind a három mátrix antikommutál, mint a kvaterniók esetében. Továbbá, ${\displaystyle i}$ ugyanúgy az egységmátrix ${\displaystyle (-1)}$-szeresének négyzetgyöke, azonban ${\displaystyle j^{2}=k^{2}=I_{2}}$. Mind a kvaterniók, mind a kokvaterniók esetén a skalármennyiségek ${\displaystyle I_{2}}$ többszöröseinek tekinthetők, így a továbbiakban a szakaszban az ${\displaystyle I_{2}=1}$ jelölés lesz alkalmazva.

A ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ kokvaternió (ahol ${\displaystyle w}$ egy skalár) konjugáltja ${\displaystyle ~q^{*}=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$, hasonlóan a kvaterniókhoz. Az általuk definiálható másodfokú forma ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$ A kokvaterniók egységgömbjében ez a mennyiség 1, mely így pontosan megfeleltethető az ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$ csoportnak, ha a definícióban használt ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részükre.