Platt è nato a Los Angeles, in California, quarto dei cinque figli di Julie Beren e Marc Platt, produttore cinematografico, televisivo e teatrale. La sua famiglia è ebrea-statunitense. Ha studiato all'Harvard-Westlake School di Los Angeles, diplomandosi nel 2011. Nel 2012 è stato accettato alla Columbia University di New York. Dopo aver inizialmente messo da parte gli studi per i suoi impegni teatrali, ha iniziato a frequentare l'università. Nel corso di questo periodo è entrato a far parte del Nonsequitur, gruppo vocale a cappella del campus universitario.
È dichiaratamente gay e sposato con l'attore Noah Galvin dal 2024.
Carriera
Dopo aver già avuto esperienze in campo teatrale a livello regionale, a 11 anni Platt ha partecipato ad un breve tour nazionale con lo spettacolo Caroline, or Change. Nel 2012 ha avuto un ruolo di primo piano nel musicalThe Book of Mormon al Bank of America Theatre di Chicago. Nel mese di gennaio 2014 ha ripreso tale ruolo nella produzione a Broadway dello stesso spettacolo.
Nel 2012 ha fatto il suo debutto cinematografico nella commedia musicale Voices, vestendo i panni di Benji Applebaum. Per questa interpretazione è stato candidato al Teen Choice Award nella categoria "Miglior ruba-scena in un film" nel 2013. Ha anche collaborato al workshop teatrale Alice by Heart, ispirato ad Alice nel Paese delle Meraviglie, e alla produzione teatrale Hair della Columbia Musical Theatre Society.
Nel 2015 ha ripreso il ruolo di Benji Applebaum nel film Pitch Perfect 2, sequel di Voices. Nello stesso anno ha preso parte al film Dove eravamo rimasti, in cui ha recitato al fianco di attori del calibro di Meryl Streep e Kevin Kline. Sempre nel 2015 ha interpretato il ruolo del protagonista nel musical Dear Evan Hansen, prima all'Arena Stage di Washington, poi al Second Stage Theatre di New York (Off Broadway) e infine al Music Box di Broadway nel 2016. Per la sua performance nel ruolo di Evan Hansen ha vinto nel 2017 il Tony Award al migliore attore protagonista in un musical e il Drama League Award per la Miglior Performance dell'anno, premio prestigioso che si può ricevere una sola volta nella vita. Vincendo il premio ha stabilito un nuovo record, essendo, a soli 23 anni, l'attore più giovane ad averlo mai ricevuto.