Centro di un gruppo
In algebra astratta, il centro di un gruppo è quel sottoinsieme di che è costituito dagli elementi che commutano con tutti gli elementi di (compresi quelli non appartenenti a ). In formula:
Se è un gruppo abeliano, chiaramente, .
è un sottogruppo abeliano e anche un sottogruppo normale di : infatti, presi e , la commutatività implica, per il coniugato, che . Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente . In particolare, vale che il centro è un sottogruppo caratteristico, ovvero è invariante per ogni automorfismo.
Esempi
Consideriamo il gruppo delle matrici quadrate invertibili di ordine a elementi reali, munito dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità , cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici e tali che esista un reale per cui valga . I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra loro.
Altri esempi:
- Il centro del gruppo ortogonale è dato da .
- Il centro del gruppo dei quaternioni è dato da .
Note
Bibliografia
- Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
- Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic Press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
- Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
- Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
- Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
- J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.
