Ellissoide

In geometria l'ellissoide è una quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale dell'ellisse nelle due dimensioni. Un sottotipo di ellissoide è l'ellissoide di rotazione.

La sola superficie dell'ellissoide è nota come superficie ellissoidale. Svariate di queste superfici, nel caso degli ellissoidi di rotazione, sono superfici di rotazione.

Definizione

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

,

dove $a$ , $b$ e $c$ sono numeri reali fissati tali che $a \geq b \geq c > 0$ . Essi rappresentano i semiassi dell'ellissoide.

Questa definizione permette di individuare la seguente casistica:

$a > b > c$ , si ha un ellissoide scaleno;
Se due di questi parametri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione
- $a > b = c$ , si ha uno sferoide prolato
- $a = b > c$ , si ha uno sferoide oblato
$a = b = c$ , si ha una sfera

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

Parametrizzazione

Utilizzando le coordinate comuni, dove $β$ è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e $λ$ è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

{\begin{matrix} x = a \cos (β) \cos (λ) \\ y = b \cos (β) \sin (λ) \\ z = c \sin (β); \end{matrix}

\begin{matrix} - 9 0^{\circ} \leq β \leq + 9 0^{\circ}; - 18 0^{\circ} \leq λ \leq + 18 0^{\circ}; | \end{matrix}

(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove $β = \pm 90^{\circ}$ )

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove $θ$ è la colatitudine, detta anche zenit, e $φ$ è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

{\begin{matrix} x = a \sin (θ) \cos (φ) \\ y = b \sin (θ) \sin (φ) \\ z = c \cos (θ) \end{matrix}

\begin{matrix} 0 \leq θ \leq 180^{\circ}; 0 \leq φ \leq 360^{\circ}; | \end{matrix}

Volume

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie: $\frac{4}{3} π a b c .$

Area superficiale

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Un'espressione esatta è:

2 π (c^{2} + b \sqrt{a^{2} - c^{2}} E (o ε, m) + \frac{b c^{2}}{\sqrt{a^{2} - c^{2}}} F (o ε, m)),

dove:

o ε = \arccos (\frac{c}{a})

m := \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} \sin (o ε)^{2}};

mentre $E (o ε, m)$ , $F (o ε, m)$ denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

ellissoide piatto: $= 2 π (a b)$
sferoide prolato: $\approx 2 π (c^{2} + a c \frac{o ε}{\sin (o ε)})$
sferoide oblato: $\approx 2 π (a^{2} + c^{2} \frac{arctanh (\sin (o ε))}{\sin (o ε)})$
ellissoide scaleno: $\approx 4 π {(\frac{a^{p} b^{p} + a^{p} c^{p} + b^{p} c^{p}}{3})}^{1 / p}$

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Manipolazioni lineari

Se si applica una trasformazione lineare invertibile a una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o un'ellisse.

Dimensioni superiori

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta a una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere un'equazione standard della forma

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} + \frac{t^{2}}{d^{2}} = 1

.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Robert Osserman, ellipsoid, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Ellipsoid, su MathWorld, Wolfram Research.

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