Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ (spesso denotato anche con ${\displaystyle V^{*}}$ o ${\displaystyle V'}$).

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

allora ogni funzionale lineare ${\displaystyle f}$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga ${\displaystyle [a_{1}\dots a_{n}]}$ e il vettore colonna ${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

che è definito sullo spazio vettoriale ${\displaystyle C[a,b]}$ delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e mappa nel campo dei reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

${\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}$

${\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)}$

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$. Un funzionale lineare ${\displaystyle f}$ è una funzione lineare da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle K}$. Valgono quindi le seguenti relazioni:

${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\qquad \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$

${\displaystyle f(a\mathbf {v} )=af(\mathbf {v} )\qquad \forall \mathbf {v} \in V,\forall a\in K}$

Date due funzioni misurabili a valori positivi ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ e ${\displaystyle g\in L^{p'}(\mathbb {R} )}$, con ${\displaystyle p^{-1}+p'^{-1}=1}$, per la disuguaglianza di Hölder si ha che ${\displaystyle fg\in L^{1}(\mathbb {R} )}$. Considerando la funzione ${\displaystyle g}$, è quindi possibile definire:

${\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}gdx}$

per ogni ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$. L'operatore ${\displaystyle G}$ è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di ${\displaystyle g}$. Ogni funzionale limitato di ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ può essere scritto in tal modo per un qualche ${\displaystyle g\in L^{p'}(\mathbb {R} )}$.

L'insieme di tutti i funzionali lineari da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle K}$, essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale ${\displaystyle {\tilde {V}}}$, lo spazio duale di ${\displaystyle V}$. Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione ${\displaystyle n}$, allora anche ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ ha dimensione ${\displaystyle n}$. La mappa che associa ad ogni ${\displaystyle g\in L^{p'}}$ il corrispondente funzionale lineare ${\displaystyle G}$ definito su ${\displaystyle L^{p}}$ è un isomorfismo isometrico di ${\displaystyle L^{p'}}$ nel duale di ${\displaystyle L^{p}}$.

Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con ${\displaystyle V^{*}}$ il duale algebrico e con ${\displaystyle V'}$ il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale ${\displaystyle G\ }$ tale che ${\displaystyle G(f)\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle f}$ puntualmente positiva. Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

Esempi

• La funzione ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ data da:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto x_{1}}$

è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.

• Il funzionale:

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

associa ad una funzione integrabile ${\displaystyle f}$, definita sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di ${\displaystyle f}$ tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi ${\displaystyle V}$ ha dimensione infinita.

• Sia ${\displaystyle P_{n}}$ lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su ${\displaystyle [a,b]}$. Se ${\displaystyle c\in [a,b]}$, sia ${\displaystyle ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$ il funzionale di valutazione:

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c)}$

La mappa ${\displaystyle f\to f(c)}$ è lineare dal momento che:

${\displaystyle (f+g)(c)=f(c)+g(c)}$

${\displaystyle (\alpha f)(c)=\alpha f(c)}$

Se ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ sono n+1 punti distinti di ${\displaystyle [a,b]}$ allora l'insieme dei funzionali ${\displaystyle ev_{x_{i}}}$ forma una base dello spazio duale di ${\displaystyle P_{n}}$.

• Nella teoria delle distribuzioni, le distribuzioni sono definite come funzionali lineari che agiscono su spazi di funzioni di test. In tale contesto, un analogo al funzionale nell'esempio precedente è la delta di Dirac.

Basi in dimensione finita

Sia ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale ${\displaystyle V}$. Lo spazio duale ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ possiede allora una base ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$, detta base duale, definita dalla proprietà:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{se }}i=j,\\0&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}}$

In modo più compatto si può scrivere anche:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}$

dove ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare ${\displaystyle {\tilde {u}}\in {\tilde {V}}}$ può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti ${\displaystyle u_{i}}$:

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}}$

Allora, applicando il funzionale ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ al vettore di base ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ si ottiene:

${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i})\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}{}_{j}=u_{j}}$

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se ${\displaystyle V}$ possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ è una base di ${\displaystyle V}$, la base duale è:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}) \over \mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}},\mathbf {v} \right\rangle \qquad i=1,2,3}$

dove ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$ è il simbolo di Levi-Civita e ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ il prodotto interno su ${\displaystyle V}$.

In dimensione maggiore:

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle }$

dove ${\displaystyle \star }$ è l'operatore star di Hodge.

Note

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4", Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
• (EN) Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
• (EN) Lax, Peter (1996), Linear algebra, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
• (EN) Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• (EN) Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
• (EN) Schutz, Bernard (1985), "Chapter 3", A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5

Voci correlate

• Distribuzione (matematica)
• Forma bilineare
• Forma multilineare
• Funzionale
• Operatore (matematica)
• Spazio di Hilbert
• Spazio duale
• Teorema di rappresentazione di Riesz

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Linear Functional, su MathWorld, Wolfram Research.
• Fausto Sacerdote - Operatori lineari (PDF), su people.dicea.unifi.it. URL consultato il 22 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 28 febbraio 2014).

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