Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale $V$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale $\tilde{V}$ (spesso denotato anche con $V^{*}$ o $V^{'}$ ).

In $ℝ^{n}$ , se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

𝐱 = [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \in ℝ^{n},

allora ogni funzionale lineare $f$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

f (𝐱) = a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} .

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga $[a_{1} \dots a_{n}]$ e il vettore colonna $𝐱$ :

f (𝐱) = [a_{1} \dots a_{n}] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] .

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x

che è definito sullo spazio vettoriale $C [a, b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a, b]$ e mappa nel campo dei reali $ℝ$ . La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

I (f + g) = \int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x = I (f) + I (g);

I (α f) = \int_{a}^{b} α f (x) d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x = α I (f) .

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ . Un funzionale lineare $f$ è una funzione lineare da $V$ a $K$ . Valgono quindi le seguenti relazioni:

f (𝐯 + 𝐰) = f (𝐯) + f (𝐰), \forall 𝐯, 𝐰 \in V;

f (a 𝐯) = a f (𝐯), \forall 𝐯 \in V, \forall a \in K .

Date due funzioni misurabili a valori positivi $f \in L^{p} (ℝ)$ e $g \in L^{p^{'}} (ℝ)$ , con $p^{- 1} + p'^{- 1} = 1$ , per la disuguaglianza di Hölder si ha che $f g \in L^{1} (ℝ)$ . Considerando la funzione $g$ , è quindi possibile definire:

G (f) = \int_{- \infty}^{\infty} \bar{f} g d x

per ogni $f \in L^{p} (ℝ)$ . L'operatore $G$ è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di $g$ . Ogni funzionale limitato di $L^{p} (ℝ)$ può essere scritto in tal modo per un qualche $g \in L^{p^{'}} (ℝ)$ .

L'insieme di tutti i funzionali lineari da $V$ in $K$ , essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale $\tilde{V}$ , lo spazio duale di $V$ . Se $V$ ha dimensione $n$ , allora anche $\tilde{V}$ ha dimensione $n$ . La mappa che associa ad ogni $g \in L^{p^{'}}$ il corrispondente funzionale lineare $G$ definito su $L^{p}$ è un isomorfismo isometrico di $L^{p^{'}}$ nel duale di $L^{p}$ .

Se $V$ è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con $V^{*}$ il duale algebrico e con $V^{'}$ il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale $G$ tale che $G (f) \geq 0$ per ogni $f$ puntualmente positiva. Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

Esempi

La funzione $f : ℝ^{n} \to ℝ$ data da:

(x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto x_{1}

è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.

Il funzionale:

f \mapsto \int_{a}^{b} f (x) d x

associa ad una funzione integrabile

f

, definita sull'intervallo

[a, b]

ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di

f

tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale

V

può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi

V

ha dimensione infinita.

Sia $P_{n}$ lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su $[a, b]$ . Se $c \in [a, b]$ , sia $e v_{c} : P_{n} \to ℝ$ il funzionale di valutazione:

{ev}_{c} f = f (c) .

La mappa

f \to f (c)

è lineare dal momento che:

(f + g) (c) = f (c) + g (c);

(α f) (c) = α f (c) .

Se

x_{0}, \dots, x_{n}

sono n+1 punti distinti di

[a, b]

allora l'insieme dei funzionali

e v_{x_{i}}

forma una base dello spazio duale di

P_{n}

.

Nella teoria delle distribuzioni, le distribuzioni sono definite come funzionali lineari che agiscono su spazi di funzioni di test. In tale contesto, un analogo al funzionale nell'esempio precedente è la delta di Dirac.

Basi in dimensione finita

Sia $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale $V$ . Lo spazio duale $\tilde{V}$ possiede allora una base ${\tilde{ω}}^{1}, {\tilde{ω}}^{2}, \dots, {\tilde{ω}}^{n}$ , detta base duale, definita dalla proprietà:

{\tilde{ω}}^{i} (𝐞_{j}) = {\begin{matrix} 1 & se i = j, \\ 0 & se i \neq j . \end{matrix}

In modo più compatto si può scrivere anche:

{\tilde{ω}}^{i} (𝐞_{j}) = δ_{j}^{i}

dove $δ_{j}^{i}$ è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare $\tilde{u} \in \tilde{V}$ può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti $u_{i}$ :

\tilde{u} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} {\tilde{ω}}^{i} .

Allora, applicando il funzionale $\tilde{u}$ al vettore di base $𝐞_{j}$ si ottiene:

\tilde{u} (𝐞_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} (u_{i} {\tilde{ω}}^{i}) 𝐞_{j} = \sum_{i} u_{i} ({\tilde{ω}}^{i} (𝐞_{j})) = \sum_{i} u_{i} δ^{i}_{j} = u_{j} .

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se $V$ possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}$ è una base di $V$ , la base duale è:

{\tilde{ω}}^{i} (𝐯) = \frac{1}{2} ⟨ \frac{\sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε^{i j k} (𝐞_{j} \times 𝐞_{k})}{𝐞_{1} \cdot 𝐞_{2} \times 𝐞_{3}}, 𝐯 ⟩, i = 1, 2, 3,

dove $ε^{i j k}$ è il simbolo di Levi-Civita e $⟨, ⟩$ il prodotto interno su $V$ .

In dimensione maggiore:

{\tilde{ω}}^{i} (𝐯) = ⟨ \frac{\sum_{^{1 \leq i_{2} < i_{3} < \dots < i_{n} \leq n}} ε^{i i_{2} \dots i_{n}} (⋆ 𝐞_{i_{2}} \land \dots \land 𝐞_{i_{n}})}{⋆ (𝐞_{1} \land \dots \land 𝐞_{n})}, 𝐯 ⟩

dove $⋆$ è l'operatore star di Hodge.

Note

1 2 Reed, Simon, Pag. 72.
↑ Reed, Simon, Pag. 73.
↑ Reed, Simon, Pag. 196.

Bibliografia

(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
(EN) Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4", Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
(EN) Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
(EN) Lax, Peter (1996), Linear algebra, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
(EN) Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
(EN) Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
(EN) Schutz, Bernard (1985), "Chapter 3", A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Linear Functional, su MathWorld, Wolfram Research.
Fausto Sacerdote - Operatori lineari (PDF), su people.dicea.unifi.it. URL consultato il 22 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 28 febbraio 2014).

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] 1 2 Reed, Simon, Pag. 72.

[2] Reed, Simon, Pag. 73.

[3] Reed, Simon, Pag. 196.