Funzione integrabile

Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di Lebesgue

Dato uno spazio di misura $(X, 𝒜, μ)$ , una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.

s : X \to ℝ, s (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} 𝟏_{A_{k}} (x)

si definisce l'integrale di Lebesgue come

\int_{X} s (x) d μ := \sum_{k = 1}^{n} a_{k} μ (A_{k}) .

Una funzione $f : X \to ℝ$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:

sup_{s} \int_{X} s (x) d μ = : \int_{X} f (x) d μ,

dove $s$ è una arbitraria funzione semplice tale che $s \leq f$ . L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su $X$ secondo Lebesgue rispetto alla misura $μ$ , o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^{1} (μ)$ .

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

f^{+} (x) = {\begin{matrix} f (x) & se f (x) \geq 0, \\ 0 & altrimenti, \end{matrix}

f^{-} (x) = {\begin{matrix} - f (x) & se f (x) < 0, \\ 0 & altrimenti, \end{matrix}

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di $f$ .

Si definisce in tal caso:

\int_{X} f (x) d μ := \int_{X} f^{+} (x) d μ - \int_{X} f^{-} (x) d μ .

Integrale di Riemann

Una funzione $f : [a, b] \to ℝ$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite

lim_{δ \to 0} S (f, P, {t_{i}}) = : \int_{a}^{b} f (x) d x

dove $P = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo $[a, b]$ con calibro minore di $δ$ (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), $t_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ e

S (f, P, {t_{i}}) = \sum_{i = 1}^{n} f (t_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) .

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni $ε > 0$ esiste un $δ > 0$ tale che per ogni partizione di $[a, b]$ con calibro minore di $δ$ e per ogni scelta dei relativi punti $t_{i}$ vale:

| \int_{a}^{b} f (x) d x - S (f, P, {t_{i}}) | < ε .

Altri operatori di integrazione

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

Note

↑ W. Rudin, Pag. 15.
↑ W. Rudin, Pag. 19.
↑ W. Rudin, Pag. 24.

Bibliografia

(EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Integrable, su MathWorld, Wolfram Research.

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[def-1] W. Rudin, Pag. 15.

[int-2] W. Rudin, Pag. 19.

[3] W. Rudin, Pag. 24.

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