Integrale di Darboux

In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.

Definizione

Si consideri una funzione continua $f : [a, b] \subset ℝ \to ℝ$ , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione $𝒫 = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1}, x_{n} | x_{0} = a < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ in $n$ intervalli $[x_{k - 1}, x_{k}] \subset [a, b]$ .

Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:

λ_{k} := inf_{x \in [x_{k - 1}, x_{k}]} f (x); Λ_{k} := sup_{x \in [x_{k - 1}, x_{k}]} f (x) .

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione $f (x)$ limitatamente all'intervallo $[x_{k - 1}, x_{k}]$ . Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$ , il numero reale:

s (𝒫, f) := \sum_{k = 1}^{n} λ_{k} (x_{k} - x_{k - 1}) .

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$ , il numero reale:

S (𝒫, f) := \sum_{k = 1}^{n} Λ_{k} (x_{k} - x_{k - 1}) .

Esiste un lemma che afferma che, data:

m \leq f (x) \leq M, \forall x \in [a, b],

allora per ogni coppia di partizioni $𝒫, 𝒬$ di $[a, b]$ si ha:

m (b - a) \leq s (𝒫) \leq S (𝒬) \leq M (b - a) .

Al variare di ogni partizione $𝒫$ di $[a, b],$ siano:

δ = {s (𝒫)}_{𝒫}; Δ = {S (𝒫)}_{𝒫} .

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $δ$ e $Δ$ sono separati, cioè:

s \leq S, \forall s \in δ, \forall S \in Δ .

L'assioma di Dedekind sulla completezza di $ℝ$ afferma allora che esiste almeno un numero reale $ξ \in ℝ$ tale che:

s \leq ξ \leq S, \forall s \in δ, \forall S \in Δ .

Se vi è un unico elemento di separazione $ξ$ tra $s$ e $S,$ allora si dice che $f (x)$ è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile $[a, b]$ e l'elemento $ξ$ si indica con:

\int_{a}^{b} f (x) d x .

Integrale multiplo di Darboux

Sia $N \subset ℝ^{n}$ un dominio normale, $f : N \to ℝ^{n}$ limitata e $μ$ una misura. Sia $𝒫 = {N_{1}, \dots, N_{k}}$ una partizione di $N$ in domini normali.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$ , il numero reale:

s (𝒫, f) := \sum_{i = 1}^{k} μ (N_{i}) inf \underset{x \in N_{i}}{f (x)} .

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$ , il numero reale:

S (𝒫, f) := \sum_{i = 1}^{k} μ (N_{i}) sup \underset{x \in N_{i}}{f (x)} .

In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:

sup \underset{𝒫}{(s (𝒫, f))} \leq inf \underset{𝒫}{(S (𝒫, f))} .

Pertanto $f$ si dice Darboux-integrabile in $N$ se $sup \underset{𝒫}{(s (𝒫, f))} = inf \underset{𝒫}{(S (𝒫, f))} = ξ$ e in tal caso si pone che:

\int_{N} f (x) d x_{1} \dots d x_{n} := ξ .

Proprietà degli integrali

Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilità

In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e siano $α, β \in ℝ$ . Allora:

\int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x .

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a, b]$ e sia $c \in [a, b]$ . Allora:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e $f (x) \geq g (x)$ . Allora:

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x .

Teorema del confronto

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e tali che $f (x) \leq g (x)$ in $[a, b]$ . Allora:

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x .

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a, b]$ , allora si ha:

| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x .

Integrabilità in un sotto intervallo

Sia $f : [a, b] \to ℝ$ integrabile e $α, β \in ℝ$ tale che $[α, β] \subset [a, b] .$ Allora $f$ è integrabile in $[α, β] .$

Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in cui $a < b .$ Non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ossia nel caso $b < a;$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento.

Teorema della media integrale

Se $f : [a, b] \to ℝ$ è continua allora esiste $c \in [a, b]$ tale che:

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) .

Limitandosi ad integrali su intervalli di $ℝ$ , sia dato un intervallo $[a, b]$ , con $a \leq b \in ℝ$ .

Scrivendo $Δ x_{i} = x_{1} - x_{i} - 1$ , se $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a, b]$ e $𝒫$ una partizione di $[a, b]$ si pone:

\begin{matrix} M_{i} = sup_{x_{i} - 1 \leq x \leq x_{i}} f (x), & m_{i} = inf_{x_{i} - 1 \leq x \leq x_{i}} f (x); \\ U (𝒫, f) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} Δ x_{i}, & L (𝒫, f) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} Δ x_{i}; \\ \overline{\int_{a}^{b}} f d x = inf U (𝒫, f), & \underline{\int_{a}^{b}} f d x = sup L (𝒫, f) \end{matrix}

dove $inf, sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a, b]$ , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ( $f \in ℛ ([a, b])$ ), e si definisce l'integrale di Riemann di $f$ su $[a, b]$ il valore comune dei due integrali:

\int_{a}^{b} f d x = \overline{\int_{a}^{b}} f, d x = \underline{\int_{a}^{b}} f d x .

Dato che ogni funzione limitata esistono $m, M \in ℝ$ tali che $m \leq f (x) \leq M$ per ogni $x \in [a, b]$ si ha:

m (b - a) \leq L (𝒫, f) \leq U (𝒫, f) \leq M (b - a)

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che $f \in ℛ ([a, b])$ se e solo se per ogni $ε > 0$ esiste una partizione $𝒫$ tale che $U (𝒫, f) - (𝒫, f) < ε$ . Se tale condizione è verificata, allora:

| \sum_{i = 1}^{n} f (t_{i}) Δ x_{i} - \int_{a}^{b} f d x | < ε .

Bibliografia

Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, capitolo 8.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996, capitolo 8.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Darboux, integrale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Darboux Integral, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Darboux integral, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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