Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo $K$ di dimensione finita $n$ , lo spazio duale $V^{*}$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$ .

Fissata per $V$ una base $(𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n})$ , la base duale $(𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n})$ è una base di $V^{*}$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

𝐞^{i} (𝐞_{j}) = δ_{i j},

dove $δ_{i j}$ è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale

Effetto su un vettore

Ogni vettore $𝐯$ di $V$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

𝐯 = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} 𝐞_{i} = v^{i} 𝐞_{i},

dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.

Il risultato dell'applicazione di $𝐞^{i}$ su $𝐯$ è il seguente:

𝐞^{i} (𝐯) = 𝐞^{i} (\sum_{k = 1}^{n} v^{k} 𝐞_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} v^{k} δ_{i k} = v^{i} .

Quindi $𝐞^{i}$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore $𝐯$ la $i$ -ma componente $v^{i}$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da $𝐞_{i}$ .

Coordinate rispetto alla base duale

Sia $f$ un generico elemento di $V^{*}$ , cioè una applicazione lineare $f$ da $V$ a $K$ . Applicata su un vettore

𝐯 = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} 𝐞_{i} = v^{i} 𝐞_{i}

produce la relazione:

f (𝐯) = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} f (𝐞_{i}) = v^{i} f (𝐞_{i}) .

L'applicazione $f$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di $V$ . D'altra parte la $f$ trasforma un vettore in un elemento del campo $K$ , per cui la $f$ è definita dagli $n$ "numeri":

f_{i} = f (𝐞_{i}) .

Di conseguenza, la $f$ è ottenuta come combinazione lineare degli $𝐞^{i}$ :

f = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} 𝐞^{i} = f_{i} 𝐞^{i} .

Infatti vale la relazione:

f (𝐯) = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} 𝐞^{i} (𝐯) = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} v^{i} = f_{i} v^{i} .

Ogni applicazione $f$ in $V^{*}$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni $𝐞^{i}$ , e pertanto:

$(𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n})$ è effettivamente una base di $V^{*}$ , che ha quindi dimensione $n$ ;
le $f_{i}$ sono le coordinate di $f$ rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi

Dualità delle basi

Le basi di $V$ e $V^{*}$ presentano la seguente simmetria:

applicando $𝐞^{i}$ a un vettore $𝐯$ si ottiene la i-esima componente di $𝐯$ rispetto alla base $(𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n})$ di $V$ :

𝐞^{i} (𝐯) = v^{i};

applicando una applicazione $f$ a $𝐞_{i}$ si ottiene la i-esima componente di $f$ rispetto alla base $(𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n})$ di $V^{*}$ :

f (𝐞_{i}) = f_{i} .

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di $V^{*}$ , detto anche spazio biduale di $V$ , che si indica con $V^{* *}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su $V^{*}$ . Poiché $V^{*}$ , come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , anche $V^{* *}$ lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di $V^{* *}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di $V$ . Infatti, è possibile associare ad un vettore $𝐯$ di $V$ l'applicazione $F_{v}$ di $V^{* *}$ che agendo sull'applicazione $f$ produce lo stesso scalare che produce $f$ agendo su $𝐯$ :

F_{v} (f) = f (\bar{𝐯}) .

L'applicazione da $V$ in $V^{* *}$ definita da

𝐯 \mapsto F_{v}

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi $V$ e $V^{* *}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi $V^{*}$ e $V^{* * *}$ sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di $(𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n})$ è effettivamente $(F_{e_{1}}, \dots, F_{e_{n}})$ . Infatti:

F_{e_{i}} (f) = f (𝐞_{i}) = f_{i} .

Applicazioni bilineari

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale $f$ ad un vettore $𝐯$ - che fino ad ora abbiamo scritto come $f (𝐯)$ mettendo in evidenza che $f$ è una applicazione da $V$ a $K$ - come una applicazione bilineare da $V^{*} \times V$ a $K$ , definita nel modo seguente:

⟨, ⟩ : V^{*} \times V \to K

⟨ f, 𝐯 ⟩ = f (𝐯) = F_{v} (f) .

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di $V^{*}$ e di $V$ uno scalare. L'operazione $⟨ f, 𝐯 ⟩$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione $f$ che agisce su un vettore $𝐯$ o come un vettore $𝐯$ (anzi, $F_{v}$ ) che agisce su una applicazione $f$ .

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

⟨ 𝐞^{i}, 𝐯 ⟩ = v^{i}, ⟨ f, 𝐞_{i} ⟩ = f_{i} .

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

⟨ 𝐞^{i}, 𝐞_{j} ⟩ = δ_{i j} .

Identificazione di V e V^*

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra $V$ e $V^{* *}$ . Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di $V$ a quelli di $V^{*}$ . Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per $V$ .

Isomorfismo tramite scelta di base

Un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ può essere costruito a partire da una base $(𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n})$ per $V$ . Questa determina una base duale $𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n}$ , e l'isomorfismo fra $V$ e $V^{*}$ associa al vettore $𝐯$ avente componenti $v^{i}$ l'applicazione $f$ avente uguali componenti $f_{i} = v^{i}$ rispetto a $𝐞^{i}$ .

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a $𝐯$ non è però più necessariamente la stessa $f$ : in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare

È possibile definire un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ a partire da un prodotto scalare per $V$ , cioè una particolare applicazione bilineare:

⟨, ⟩ : V \times V \to K

⟨, ⟩ : (𝐰, 𝐯) \to ⟨ 𝐰, 𝐯 ⟩ .

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore $𝐰$ di $V$ l'applicazione $f_{w}$ tale che:

f_{w} (𝐯) = ⟨ 𝐰, 𝐯 ⟩ .

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su $V$ . Qualora si identifichi $V$ e $V^{*}$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per $V$ .

Esempi

La base standard di $ℝ^{2}$ (il piano cartesiano) è:

{𝐞_{1}, 𝐞_{2}} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

mentre la base standard del suo duale ${ℝ^{2}}^{*}$ è:

{𝐞^{1}, 𝐞^{2}} = {(\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix})} .

In tre dimensioni, per una data base ${𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}}$ si può trovare la base duale (o biortogonale) ${𝐞^{1}, 𝐞^{2}, 𝐞^{3}}$ con le formule:

𝐞^{1} = {(\frac{𝐞_{2} \times 𝐞_{3}}{V})}^{T}, 𝐞^{2} = {(\frac{𝐞_{3} \times 𝐞_{1}}{V})}^{T}, 𝐞^{3} = {(\frac{𝐞_{1} \times 𝐞_{2}}{V})}^{T},

dove l'apice $T$ indica la trasposta e

V = det (𝐞_{1}; 𝐞_{2}; 𝐞_{3}) = 𝐞_{1} \cdot (𝐞_{2} \times 𝐞_{3}) = 𝐞_{2} \cdot (𝐞_{3} \times 𝐞_{1}) = 𝐞_{3} \cdot (𝐞_{1} \times 𝐞_{2})

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori $𝐞_{1}$ , $𝐞_{2}$ e $𝐞_{3}$ .

Bibliografia

(EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
(EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Dual Basis, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Base duale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

V · D · M Algebra lineare
Spazio vettoriale	Vettore · Sottospazio vettoriale (Sottospazio generato) · Applicazione lineare (Nucleo · Immagine) · Base · Dimensione · Teorema della dimensione · Formula di Grassmann · Sistema lineare · Algoritmo di Gauss · Teorema di Rouché-Capelli · Regola di Cramer · Spazio duale · Spazio proiettivo · Spazio affine · Teorema della dimensione per spazi vettoriali
Matrici	Identità · Nulla · Quadrata · Invertibile · Simmetrica · Antisimmetrica · Trasposta · Diagonale · Triangolare · Di cambiamento di base · Ortogonale · Normale · Rotazione · Simplettica · Moltiplicazione di matrici · Rango · Teorema di Kronecker · Minore · Matrice dei cofattori · Determinante · Teorema di Binet · Teorema di Laplace · Radice quadrata di una matrice
Diagonalizzabilità	Autovettore e autovalore · Spettro · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Teorema di Hamilton-Cayley · Matrice a blocchi · Forma canonica di Jordan · Teorema di diagonalizzabilità
Prodotto scalare	Forma bilineare · Sottospazio ortogonale · Spazio euclideo · Base ortonormale · Algoritmo di Lagrange · Segnatura · Teorema di Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Forma hermitiana · Teorema spettrale