Matematica nel subcontinente indiano

Metrologia e standardizzazione

Gli scavi archeologici presso Harappa e Mohenjo-daro hanno portato alla luce un sistema unificato di pesi e misure. Tali ritrovamenti testimoniano un'elevata conoscenza della metrologia e un alto grado di standardizzazione. I pesi in chert (selce) sembrano seguire una progressione estremamente precisa:

• Sistema misto: Esistevano due principali progressioni: una binaria, utilizzata per i pesi di valore inferiore (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64), e una decimale, adottata per quelli di valore superiore (0.1, 0.2, 2, 5, 10, 20, ecc.), che permetteva di operare agevolmente sia con i multipli e che con le frazioni decimali.
• Unità di base: L'unità di massa standard pesava circa 28 grammi, simile all'oncia imperiale. (Shatamana)

In ambito lineare, l'ingegneria dell'Indo raggiunse livelli di precisione notevoli. Il cosiddetto "Pollice dell'Indo", identificato su righelli in avorio e conchiglia (come a Lothal), mostra suddivisioni fino a 1,704 mm, la più piccola unità di misura nota nell'Età del Bronzo. Parallelamente, a Mohenjo-daro è stato rinvenuto un righello costituito da un frammento di conchiglia che mostra una calibrazione estremamente accurata. Le incisioni presentano una divisione media di 6,7056 mm con un margine di errore minimo. La distanza tra i marcatori principali di queste scale (pari a 33,5 mm) è stata definita dagli archeologi "Pollice dell'Indo". L'elevata precisione e la natura delle suddivisioni indicano che la civiltà dell'Indo utilizzava un sistema di misurazione standardizzato basato sulla decimalizzazione.

Geometria applicata

La geometria era strettamente legata all'ingegneria e all'edilizia. La maggior parte dei mattoni prodotti seguiva un rapporto dimensionale rigoroso di 4:2:1 (lunghezza:larghezza:spessore), proporzione ancora oggi considerata ottimale per il legame strutturale. A partire dalla fase Kot Diji (circa 2600 a.C.), si assiste alla prima produzione di massa di mattoni cotti in fornace con proporzioni standardizzate.

La maggior parte dei mattoni seguiva un rigido rapporto dimensionale 1:2:4 (spessore: larghezza: lunghezza). Le misure standard rilevate variavano da moduli di 7 × 14 × 28 cm (usati per le abitazioni) a moduli di 10 × 20 × 40 cm (destinati alle mura perimetrali della città). Questa proporzione permette incastri in diverse direzioni, garantendo giunzioni angolari strutturalmente solide.

L'applicazione di questa geometria sembrerebbe molto estesa:

• Micro-scala: Il rapporto 4:2:1 regolava i mattoni.
• Media-scala: Lo stesso rapporto è stato riscontrato nelle proporzioni delle stanze e nelle planimetrie delle case.
• Macro-scala: Studi condotti da Michael Jansen hanno evidenziato che questo rapporto si riflette persino nella pianificazione urbana dei grandi settori murati, come la "cittadella" di Mohenjo-daro.

Oltre a questi rapporti, siti come Dholavira mostrano una pianificazione basata su multipli integrali di un'unità di 1,9 metri (o dhanus), suggerendo l'uso di standard antropometrici codificati e la capacità di approssimare aree e volumi complessi, inclusi quelli curvilinei (parallelepipedi, coni, cilindri).

Possibili conoscenze astronomiche

Un oggetto a conchiglia con fenditure multiple ritrovato a Lothal ha portato alcuni archeologi a sostenere l'interpretazione secondo cui si tratterebbe di uno strumento per misurare angoli su piani o sull’orizzonte in incrementi di 40° fino a 360°. Taluni sostengono che lo stesso strumento potesse essere usato anche per l’osservazione delle stelle: vale a dire per “misurare la posizione delle stelle” o per orientarsi guardando il cielo. Ad oggi si tratta di un'interpretazione minoritaria, dato che non possediamo testi scritti indus che descrivano esplicitamente come lo strumento fosse usato, né prove dirette che esso sia stato impiegato come un moderno sestante o astrolabio.

Teorema di Pitagora e Terne

Testi attribuiti a Baudhāyana (c. 800 a.C.), Apastamba, Manava e Katyayana contengono la prima formulazione esplicita del Teorema di Pitagora, fornendone sia l'enunciato che una dimostrazione numerica. Baudhayana enuncia:

«La corda tesa lungo la lunghezza della diagonale di un rettangolo produce un'area pari alla somma delle aree prodotte separatamente dai lati verticale e orizzontale.»

I testi determinano algebricamente numerose terne pitagoriche utilizzate per costruire angoli retti, come (3, 4, 5), (5, 12, 13) e (15, 36, 39).

Problemi di trasformazione e irrazionalità

Un problema centrale era la trasformazione di figure geometriche mantenendo invariata l'area (es. un metodo approssimato per la quadratura del cerchio). Queste operazioni portarono a diverse approssimazioni di Pi greco (${\displaystyle \pi }$), tra cui 3,004 e 3,088, che affinarono i primi calcoli di Yajnavalkya.

Di particolare rilievo tecnico è il calcolo della radice quadrata di 2 (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$), necessaria per determinare la diagonale di un quadrato unitario. La formula sanscrita fornisce un algoritmo infinito che permette di calcolare il valore con estrema precisione:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}\approx 1,4142156...}$

Il risultato è corretto fino alla quinta cifra decimale, dimostrando una padronanza avanzata delle frazioni continue e delle approssimazioni iterative. I Śulba Sūtra non contengono alcun indizio su come sia stata ricavata quest'approssimazione.

Matematica nell'Astronomia (Jyotiṣa)

L'astronomia vedica, codificata nel Vedāṅga Jyotiṣa (ca. 400 a.C.), utilizzava la matematica per la calendarizzazione dei rituali (yajña).

• Calendari e Intercalazione: Il sistema cercava di armonizzare l'anno lunare (circa 354 giorni) con l'anno solare attraverso l'inserimento periodico di mesi intercalari (il tredicesimo mese).
• Funzioni a Zig-Zag: Per descrivere la variazione della durata del giorno tra il solstizio d'inverno e quello d'estate, veniva utilizzata una funzione lineare a "zig-zag". Il rapporto stabilito tra il giorno più lungo e quello più corto era di 3:2 (corrispondente a 18 muhūrta di luce contro 12 nel solstizio estivo).
• Misurazione del Tempo: Il giorno era suddiviso in 30 muhūrta. Per misurare il tempo venivano utilizzati orologi ad acqua (clepsydra), con formule matematiche per regolare la quantità d'acqua in entrata o uscita in base alla variazione stagionale della lunghezza del giorno.
• Nakṣatra: L'eclittica era divisa in 27 o 28 segmenti uguali (costellazioni lunari o Nakṣatra), ciascuno dei quali copriva un arco di ${\displaystyle 13^{\circ }20'}$.

Ipotesi sulle Influenze Esterne

Alcuni storici della matematica hanno notato paralleli tra la matematica del periodo vedico tardo e quella babilonese (ad esempio, l'uso di un anno ideale di 360 giorni e il rapporto 3:2 per la variazione della durata del giorno). Tuttavia, non esistono prove definitive di una trasmissione diretta di conoscenze dalla Mesopotamia all'India in epoca vedica antica. Le somiglianze potrebbero essere il risultato di evoluzioni indipendenti o di una comune eredità proto-indoeuropea, sebbene la questione rimanga oggetto di dibattito accademico.

Il contesto linguistico e algoritmico

L’analisi grammaticale è spesso considerata una delle scienze sanscrite più feconde, nonché tra i principali precursori della logica matematica. Lo studio della linguistica e della prosodia si intrecciava frequentemente con significativi progressi nel pensiero formale e algoritmico, contribuendo allo sviluppo di metodi di analisi rigorosi e sistematici.

Pāṇini e la formalizzazione (IV sec. a.C.)

Al grammatico Pāṇini, è ricondotta la realizzazione dell'Ashtadhyayi ("Otto capitoli"), compilato forse nel quinto o quarto secolo a.C.

Pāṇini, basandosi sulla struttura fonetica tradizionale del sanscrito, presentò un sistema per derivare e analizzare le espressioni sanscrite foneticamente e grammaticalmente valide. Per raggiungere il suo scopo, Pāṇini fa uso di un simbolismo notazionale spesso descritto come un metalinguaggio (linguaggio formale) atto a spiegare il corretto funzionamento degli elementi del sanscrito.

La sua opera include la regola della gradazione vocalica (o apofonia), ovvero una classe di mutamenti fonetici che si avvale della sostituzione di una vocale con un'altra in una parola per indicare un cambiamento nel proprio significato semantico o nella forma grammaticale, come nell'inglese "ring, rang, rung").

Il sūtra recita:

Egli aveva precedentemente definito due classi fonetiche, attribuendo a ciascuna una consonante: una classe per le vocali brevi semplici (o a "grado zero") a, i, u e l'altra per le forme vocaliche brevi ṛ e ḷ delle semivocali, come segue:

1. a i u ṇ
2. ṛ ḷ k

La notazione "ik" significa quindi "tutte le vocali brevi a partire dalla i fino alla fine della classe-k, cioè terminanti con ḷ". In altre parole, il sūtra citato significa che i, u, ṛ e ḷ sono le vocali a grado zero che devono essere sostituite con vocali di grado superiore quando altre regole decretano che la sostituzione è necessaria.

Non è chiaro se la grammatica di Pāṇini abbia stimolato il primo sviluppo dell'algebra e dei sistemi numerici in India. Tuttavia, l'Aṣṭādhyāyī rappresenta l'analisi linguistica più sviluppata del suo tempo, nonché, un primo esempio di linguaggio formale, anche se i suoi legami con materie esplicitamente matematiche sono ancora speculativi.

Piṅgala e il sistema binario (III-II sec. a.C.)

Le informazioni riguardanti Piṅgala sono scarse, al punto che non è possibile affermare con certezza se sia vissuto prima, dopo o contemporaneamente a Pāṇini. Nel suo trattato Chandahsutra, Piṅgala studiò la prosodia religiosa mappando le sillabe brevi (laghu ∪) e lunghe (guru —) in un sistema che anticipa il sistema numerico binario.

Per classificare i metri, Piṅgala sviluppò il prastāra, ovvero una tabella o matrice costruita algoritmicamente che contiene tutte le possibili combinazioni di sillabe brevi e lunghe per un metro di lunghezza fissata.

• Se il metro include ${\displaystyle n}$ sillabe, la tabella ordina verticalmente le ${\displaystyle 2^{n}}$ combinazioni distinte.
• La sequenza comincia convenzionalmente con ${\displaystyle n}$ guru e termina con ${\displaystyle n}$ laghu.

Dato un verso qualsiasi, Piṅgala è in grado di classificarlo attribuendo a ogni posizione una potenza crescente di 2. Nella sua analisi, i laghu fungono da unità di calcolo (valore 1) e i guru come valore nullo (valore 0).

Prendendo come esempio un metro di otto sillabe:

Il valore numerico del metro si ottiene sommando le potenze corrispondenti ai laghu:

${\displaystyle 1+2+0+8+0+32+64+0=107}$

Aggiungendo 1 al risultato (poiché il sistema di Piṅgala serve a trovare la posizione d'ordine all'interno del prastāra), si ottiene che questo specifico metro occupa la 108ª posizione nella tabella delle combinazioni.

Sebbene questo risultato fosse confinato alla struttura metrica dei canti religiosi della tradizione vedica o sanscrita, i concetti applicati da Piṅgala dimostrano la conoscenza di un sistema numerico a base 2. Tali intuizioni anticipano di quasi duemila anni la formalizzazione del calcolo binario moderno, completata da Leibniz nel 1697 (pubblicata nel 1703 nell'articolo Explication de l'Arithmétique Binaire).

La matematica come dovere religioso (Ganita-anuyoga)

Per i giainisti, la matematica non era una scienza secolare, ma parte integrante della pratica religiosa. Essa costituiva il Ganita-anuyoga ("indagine sul calcolo"), uno dei quattro anuyoga (soggetti di indagine) prescritti dalle scritture.

Il calcolo era ritenuto necessario per comprendere la complessa Cosmologia giainista, che, differendo da quella indù (postulando ad esempio l'esistenza di due soli e due lune), richiedeva calcoli astronomici e topografici avanzati per definire la natura della sostanza materiale, del tempo e dello spazio.

Classificazione dei Numeri e l'Infinito

Il contributo più originale della matematica giainista di questo periodo fu la concettualizzazione dell'infinito, che anticipa le moderne teorie sugli insiemi transfiniti. I testi classificavano i numeri in tre categorie principali:

1. Sankhyāta (Numerabili): Numeri finiti e calcolabili.
2. Asankhyāta (Innumerabili): Numeri finiti ma talmente grandi da essere praticamente impossibili da contare.
3. Ananta (Infiniti).

I giainisti furono i primi a teorizzare diverse varietà di infinito, distinguendo tra "infinito in una direzione", "infinito in due direzioni", "infinito in parziale estensione", "infinito in completa estensione" ed "eternamente infinito". Parallelamente ai grandi numeri (generati tramite operazioni di "moltiplicazione multipla" o elevamento a potenza ricorsivo), la filosofia Jaina sviluppò una logica degli infinitesimi. Nel paradosso del "figlio del sarto" (citato nell'Anuyoga-dvāra), si discute la suddivisione della materia e del tempo in unità sempre più piccole, fino a giungere a concetti atomici indivisibili.

I "Dieci tipi di calcolo" e l'Algebra

Intorno al III secolo a.C., i testi giainisti codificarono una lista di operazioni matematiche fondamentali, che testimoniano il passaggio dall'aritmetica all'algebra e alla combinatoria. I "dieci tipi di calcolo" includevano:

• Parikarma: operazioni aritmetiche fondamentali.
• Vyavahāra: procedure pratiche di calcolo.
• Rajju ("Corda"): Geometria, in continuità con la tradizione dei Sulba-sutras. In questo ambito, i giainisti adottarono l'approssimazione di Pi greco come ${\displaystyle \pi \approx {\sqrt {10}}}$.
• Rāśi ("Mucchio"): misurazione di volumi o calcolo numerico generale.
• Kalāsavarṇa: operazioni con frazioni.
• Yāvattāvat ("Tanto quanto"): termine fondamentale che indica l'algebra, riferendosi al calcolo di una quantità incognita (o, secondo alcune interpretazioni, alle sommatorie). Il termine derivava dall'abitudine di usare i nomi dei colori (es. kalaka per nero, nilaka per blu) per indicare incognite multiple nelle equazioni, anticipando l'uso occidentale di ${\displaystyle x,y,z}$.

• Varga (Quadrato).
• Ghana (Cubo).
• Varga-varga: quadrato del quadrato (quarta potenza).
• Kalpa (o Vikalpa): studio delle permutazioni e delle combinazioni, essenziale per la prosodia e la cosmologia.

Quadrati magici

L'India ha una delle più antiche tradizioni legate allo studio e alla creazione dei quadrati magici, spesso adoperati al pari di amuleti o talismani, incisi nel metallo o indossati, per portare fortuna e protezione agli ammalati.

Il più antico quadrato magico databile in India appare nell'opera enciclopedica sulla divinazione di Varāhamihira, la Bṛhatsaṃhitā (550 d.C.). Egli utilizzò un quadrato magico modificato di ordine quattro per prescrivere combinazioni e quantità di ingredienti per profumi. Il quadrato era composto da due serie di numeri naturali da 1 a 8 arrangiate in una configurazione il cui numero magico (${\displaystyle M_{k}}$) risulta essere ${\displaystyle 18}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5&8\\5&8&2&3\\4&1&7&6\\7&6&4&1\\\end{pmatrix}}}$

Esso è inoltre un quadrato magico pandiagonale, poiché non soltanto la somma lungo ciascuna delle due diagonali principali è costante, ma anche quella di tutte le diagonali “spezzate” è uguale a quella costante. Il successivo commentario di Utpala (967 d.C.), include invece molti altri quadrati che hanno la stessa somma.

Varāhamihira chiamò il suo quadrato kacchapuṭa (carapace di una tartaruga), il che richiama alla mente il titolo di un libro sulla magia, Kakṣapuṭa (data sconosciuta), che riporta un metodo per costruire quadrati magici di ordine quattro data una somma costante, oltre a un quadrato con somma 100, attribuito a Nāgārjuna.

Aryabhata I e la Trigonometria

Aryabhata I (476 d.C.) è noto soprattutto per aver scritto nel 499 d.C. un importante saggio denominato Aryabhatiya: il primo dei principali testi astronomici giunti a noi integralmente, capace di integrare i metodi matematici e astronomici con componenti ellenistiche ed elementi indigeni. Egli introdusse un cambiamento significativo nella trigonometria sostituendo l'uso delle corde greche con le "mezze corde" (ardha-jya), ovvero il moderno seno. L'opera include inoltre una delle prime formulazioni della regola del tre. Aryabhata riporta di aver portato a compimento la sua opera all'età di 23 anni. Il testo, seppur di breve estensione, rappresenta una sistematizzazione di risultati già noti e probabilmente contenuti in antichi trattati indiani (i Siddhanta). Tuttavia, divenne un testo di riferimento nei secoli successivi. Fu in grado di approssimare il valore di pi greco a 4 cifre decimali (${\displaystyle \pi \approx 3,1416}$) e diede una delle regole generali corrette per il calcolo della somma dei primi numeri naturali, dei loro quadrati e dei loro cubi.

Tra i suoi contributi principali spicca la realizzazione della prima tavola dei seni. Il sistema di suddividere il cerchio in 360 parti, nato in Mesopotamia, influenzò l'astronomia ellenistica e giunse in India attraverso le rotte commerciali romane, venendo assimilato nei Siddhanta. Quando Aryabhata realizzò la sua tavola dei seni, adottò questa stessa notazione. Sapendo che una circonferenza è divisibile in ${\displaystyle 360^{\circ }}$ (dove un grado corrisponde a ${\displaystyle 60'}$, ossia 60 minuti), ricavò la lunghezza di una circonferenza in minuti come ${\displaystyle 360^{\circ }\cdot 60'=21.600'}$. Poiché i seni indiani rappresentavano le semicorde sottese all'angolo (e non il moderno rapporto trigonometrico adimensionale), i loro valori variavano in base alla lunghezza del raggio scelto. Per semplificare i calcoli algebrici, Aryabhata scelse di utilizzare una circonferenza con un raggio di ${\displaystyle r=3.438'}$, ricavato approssimando la frazione ${\displaystyle r={\frac {21.600}{2\pi }}}$ (formula inversa del perimetro di circonferenza) con il suo valore di pi (${\displaystyle \pi \approx 3,1416}$). Questa scelta risulta matematicamente vantaggiosa, poiché mette in corrispondenza 1 minuto d'arco sulla circonferenza con circa 1 unità di raggio. Successivamente, divise un settore circolare corrispondente a un angolo retto in ventiquattro parti equivalenti, ottenendo 24 angoli da ${\displaystyle 3^{\circ }45'\approx 225'}$. Con questa configurazione, i seni di archi molto piccoli sono quasi uguali agli archi stessi. Ad esempio, nella sua tabella, il seno del valore più piccolo (${\displaystyle 3^{\circ }45'}$) è esattamente uguale a ${\displaystyle 225'}$.

Tabella dei seni di Aryabhata (r = 3438')

Angolo θ	Aryabhata ${\displaystyle r\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \theta }$ calcolato	Valore moderno di ${\displaystyle \sin \theta }$
3°45'	225'	0,06545	0,06540
7°30'	449'	0,13060	0,13053
11°15'	671'	0,19517	0,19509
15°	890'	0,25962	0,25882
18°45'	1105'	0,32141	0,32143
22°30'	1315'	0,38249	0,38268
26°15'	1520'	0,44212	0,44229
30°	1719'	0,50000	0,50000
33°45'	1910'	0,55556	0,55556
37°30'	2093'	0,60878	0,60876
41°15'	2267'	0,65910	0,65935
45°	2431'	0,70710	0,70711
48°45'	2585'	0,75189	0,75184
52°30'	2728'	0,79348	0,79335
56°15'	2859'	0,83159	0,83147
60°	2978'	0,86620	0,86602
63°45'	3084'	0,89703	0,89687
67°30'	3177'	0,92408	0,92388
71°15'	3256'	0,94706	0,94693
75°	3321'	0,96597	0,96593
78°45'	3372'	0,98080	0,98079
82°30'	3409'	0,99156	0,99144
86°15'	3431'	0,99796	0,99786
90°	3438'	1,00000	1,00000

(Gheverghese, p. 398)

Oltre a questi contributi, egli fornì regole per la somma di varie progressioni aritmetiche e geometriche.

Anche se recenti studi hanno ridimensionato il ruolo di Aryabhata come matematico, la sua influenza storica è stata tale che il suo nome fu dato al primo satellite artificiale indiano mai costruito (lanciato il 19 aprile 1975).

Brahmagupta e l'Aritmetica dello Zero

Nel VII secolo, Brahmagupta scrisse il Brahmasphutasiddhanta (628 d.C.), in cui trattò lo zero come un numero a tutti gli effetti, fornendo le regole per le operazioni aritmetiche con numeri positivi (fortuna), negativi (debito) e lo zero. Sebbene la sua trattazione della divisione per zero fosse imperfetta (sosteneva che ${\displaystyle 0/0=0}$), le sue regole sui segni ("il prodotto di due debiti è una fortuna") furono rivoluzionarie. Scoprì inoltre l'identità per la composizione delle soluzioni dell'equazione ${\displaystyle Nx^{2}+1=y^{2}}$, oggi universalmente nota come equazione di Pell.

Mahavira (850 d.C.)

Mahavira, membro della scuola matematica di Mysore, nell'India meridionale, è stato il più noto matematico indiano del IX secolo. È probabile che conoscesse le opere di Aryabhata e Brahmagupta, tuttavia, a differenza dei suoi predecessori, egli non era un astronomo bensì un matematico puro. Nella sua opera compaiono un esame dettagliato delle operazioni con frazioni, alcuni metodi ingegnosi per scomporre interi e frazioni in frazioni unitarie (argomento di utilità pratica per gli antichi Egizi), l'enunciazione di regole generali per le operazioni con lo zero e con quantità positive e negative. Incluse inoltre un'estensione e una sistematizzazione teorica delle permutazioni e combinazioni (con la formula ${\displaystyle _{n}C_{r}}$), applicate a combinazioni di sapori, di diverse pietre preziose che compongono una collana e di diversi fiori contenuti in una ghirlanda. Soluzioni di diversi tipi di equazioni di secondo grado (quadratiche), nonché un'estensione del lavoro dei suoi predecessori sulle equazioni indeterminate. Lavori geometrici sui triangoli rettangoli i cui lati sono razionali e alcuni tentativi infruttuosi di derivare formule per l'area e il perimetro dell'ellisse.

La sua opera rappresenta sia il culmine del lavoro jaina nella matematica (è l'unico trattato esteso in nostro possesso) sia un avanzamento e una sintesi delle opere dei suoi predecessori (come Aryabhata, Bhaskara I e Brahmagupta).

Bhaskara II (1114 d.C.)

Bhaskara II (o Bhaskaracharya) è noto a noi per tre sue opere: Lilavati, Bijaganita e Siddhanta-siromani. Egli proveniva da una lunga stirpe di studiosi di corte e i suoi manoscritti furono copiati e commentati fino all'inizio del XIX secolo.

Il Bijaganita

Il Bijaganita contiene problemi sulla determinazione di incognite, la valutazione di radicali (ossia radici quadrate che non possono essere ridotte a numeri interi) e la risoluzione di equazioni semplici e quadratiche, oltre ad alcune regole generali riguardo la soluzione di equazioni indeterminate di secondo grado e di equazioni di terzo e quarto grado. Il suo metodo risolutivo (algoritmo ciclico) per le equazioni indeterminate della forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=y}$ fu riscoperto in Occidente da William Brouncker nel 1657.

L'opera è divisa come segue:

Sezione	Tematiche
Sezione 1	Le sei operazioni sulle quantità positive e negative (${\displaystyle -n}$).
Sezione 2	Le sei operazioni con lo zero.
Sezione 3	Le sei operazioni con le incognite (quantità incognite ed equazioni).
Sezione 4	Le sei operazioni con le karaṇīs (o radicali).
Sezione 5	Il polverizzatore (regole di Bhāskara sulle equazioni indeterminate lineari).
Sezione 6	Natura del quadrato (equazioni indeterminate di secondo grado).
Sezione 7	Metodo ciclico (per i problemi sulla natura del quadrato).
Sezione 8	Equazioni in un'incognita.
Sezione 9	Eliminazione del medio (equazioni di secondo grado).
Sezione 10	Equazioni in più di un'incognita.
Sezione 11	Eliminazione del medio con più di un'incognita.
Sezione 12	Prodotti di incognite.
Sezione 13	Conclusione

Condizioni di convergenza

I matematici del Kerala avevano compreso l'importanza della convergenza della serie. Il testo della Yuktibhasa specifica infatti che si deve utilizzare il valore minore tra il seno e il coseno dell'arco (ovvero ${\displaystyle \tan \theta \leq 1}$), altrimenti i termini della serie "non tenderebbero a una grandezza evanescente" (ovvero, la serie non convergerebbe). Questa condizione garantisce che ${\displaystyle x}$ nella serie ${\displaystyle \arctan x}$ sia compreso nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$.

Calcolo di Pi greco (${\displaystyle \pi }$)

Dalla serie dell'arcotangente derivano importanti serie per il calcolo di ${\displaystyle \pi }$:

Ponendo ${\displaystyle \theta =\pi /4}$ (da cui ${\displaystyle \tan \theta =1}$), si ottiene la serie di Leibnitz:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dots }$

Già nota nei testi indiani come "espansione della circonferenza" (${\displaystyle C}$) rispetto al diametro (${\displaystyle d}$):

${\displaystyle C=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\dots }$

Poiché la serie sopra citata converge molto lentamente, Madhava utilizzò varianti più efficienti. Utilizzando ${\displaystyle \theta =\pi /6}$ (ovvero ${\displaystyle \tan \theta =1/{\sqrt {3}}}$), calcolò il valore di ${\displaystyle \pi }$ corretto fino alla 13ª cifra decimale.

Achyuta Pisharati

Achyuta Pisharati (c. 1550–1621), allievo di Jyesthadeva, fu uno studioso eclettico capace di influenzare i campi della matematica, della letteratura e della medicina. I suoi lavori Sphuta-nirnaya e Raasi-gola-sphuta-neeti (La Regola della Sfera Zodiacale) si concentrarono sulla "riduzione all'eclittica", finalizzata al calcolo di un fattore correttivo delle stime astronomiche basato sulla trigonometria sferica (all'incirca nello stesso periodo in cui lo fece Tycho Brahe nell'astronomia occidentale).. Egli ricavò inoltre la formula del rapporto differenziale tra le funzioni di coseno.

Putumana So mayaji

Di Putumana So mayaji (nato a Trisivapur, nel Malabar) non sappiamo molto. Sembra che abbia scritto diverse opere, non solo di astronomia, ma anche di astrologia. Purtroppo, a parte il Karaṇapaddhati (Manuale degli Algoritmi), nessun'altra delle sue opere è stata pubblicata, a eccezione del famosissimo trattato di astrologia Jātakādeśamārga. Il Karaṇapaddhati, redatto nel 1732, fu di grande influenza per la diffusione della matematica e dell'astronomia del Kerala, a quasi duecento anni di distanza dallo Yuktibhasa di Jysthadeva. Questo testo è unico nel suo genere: esso non illustra direttamente delle formule o scoperte matematiche, al contrario consiste in una guida e un trattato sistematico sui metodi di derivazione di tali risultati. Gli algoritmi vengono descritti in forma poetica, attraverso il sistema numerico Katapayadi.

Il testo riveste un ruolo molto rilevante dal punto di vista storiografico: esso testimonia come i matematici indiani derivassero formule estremamente precise attraverso tre fasi successive:

1. Osservazioni accurate protratte per secoli.
2. L'individuazione di cicli e schemi (pattern) all'interno dei dati raccolti.
3. La scoperta di algoritmi in grado di descrivere tali osservazioni e formulare previsioni.

In un processo empirico e matematico del tutto privo di conoscenze fisiche moderne (come quelle di Newton).

Egli era solito firmare le sue opere con la seguente frase:

Il sesto capitolo del Karanapaddhati (La relazione tra circonferenza e diametro e il calcolo dei seni) contiene esplicite espansioni in versi per il ${\displaystyle \pi }$ e per le funzioni trigonometriche.. A fare la sua ricomparsa tra queste vi è la classica enunciazione della serie di Leibnitz (per il calcolo di una circonferenza partendo dal diametro) per ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$, già nota ed enunciata da Madhava della Scuola del Kerala..

Un contributo molto più originale risiede nella "serie di Putumana So mayaji", anch'essa finalizzata al calcolo della circonferenza dal diametro. Si tratta di una serie totalmente nuova nello studio dell'analisi indiana del periodo.

La poesia recita:

Corrispondenti a:

${\displaystyle C=3D+{\frac {6D}{(2.2^{2}-1)^{2}-2^{2}}}+{\frac {6D}{(2.4^{2}-1)^{2}-4^{2}}}+{\frac {6D}{(2.6^{2}-1)^{2}-6^{2}}}+\dots }$

Questa serie si può riscrivere come:

${\displaystyle C=3D+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6D}{((2.(2n)^{2}-1)^{2}-(2n)^{2})}}}$

La scuola del Kerala sviluppò tecniche matematiche per "trasformare" la serie originaria aggiungendo termini di correzione per accelerarne la convergenza. Tuttavia, la formula ricavata da Putumana è estremamente più veloce (ha una velocità di convergenza superiore) rispetto a entrambe le versioni classiche. Con soli 10 termini egli è in grado di raggiungere una precisione che la serie di Madhava non raggiunge nemmeno a 50. Arrivata a 50 termini, l'errore si avvicina a ${\displaystyle 10^{-7}}$.

Dettaglia inoltre le serie per le funzioni seno e coseno:

${\displaystyle R\sin \alpha =(R\alpha )-{\frac {(R\alpha )^{3}}{3!\,R^{2}}}+{\frac {(R\alpha )^{5}}{5!\,R^{4}}}-{\frac {(R\alpha )^{7}}{7!\,R^{6}}}+\cdots }$

${\displaystyle R\cos \alpha =R-{\frac {(R\alpha )^{2}}{2!\,R}}+{\frac {(R\alpha )^{4}}{4!\,R^{3}}}-{\frac {(R\alpha )^{6}}{6!\,R^{5}}}+\cdots }$

Queste vengono descritte nella stessa poesia di pochi versi:

Da notare il riferimento al fatto che, la serie del seno possa essere impiegata per calcolare 24 seni di un quadrante circolare, che rappresenta un diretto riferimento alla tabella dei seni sviluppata dall'astronomo Aryabhata I.

Libri

• (EN) Kim Plofker, Mathematics in India, Princeton, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-12067-6.
• (EN) Jonathan M. Kenoyer, Ancient Cities of the Indus Valley Civilization, in American Institute of Pakistan studies, Ristampa illustrata, Oxford, Oxford University Press, 1998, ISBN 978-0-19-577940-0.
• (EN) George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 3ª ed., Princeton, Princeton University Press, 2011, ISBN 978-0-691-13526-7.
• (EN) Takao Hayashi, Magic Squares in Indian Mathematics, in Helaine Selin (a cura di), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 2ª ed., New York, Springer, 2008, pp. 1252-1259, ISBN 978-1-4020-4559-2.
• (EN) T.A. Sarasvati Amma, Geometry in Ancient and Medieval India, Motilal Banarsidass, 1979, ISBN 81-208-1344-8.
• (EN) Venketeswara Pai, K. Ramasubramanian, M.S. Sriram e M.D. Srinivas, Karaṇapaddhati of Putumana Somayājī, collana Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, Hindustan Book Agency, ISBN 978-981-10-6813-3.

Saggi

• (EN) B. Van Nooten, Binary Numbers in Indian Antiquity, in Journal of Indian Philosophy, vol. 21, n. 1, 1993, pp. 31–50. URL consultato il 28 febbraio 2026.