Matematica delle civiltà precolombiane

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La matematica delle civiltà precolombiane è l'insieme dei sistemi numerici, dei modelli di calcolo, delle geometrie architettoniche e delle tecniche quantitative sviluppati dalle culture indigene delle Americhe prima del contatto con gli europei nel 1492. Sviluppatesi in totale isolamento dalle tradizioni euclidea, indiana, araba e sinitica del Vecchio Mondo, queste civiltà diedero origine a due paradigmi matematici maturi, profondamente distinti per struttura formale e campi di applicazione: la tradizione scrittoria e astronomica della Mesoamerica e la tradizione tattile e amministrativa delle Ande centrali.

Nel contesto mesoamericano (Olmechi, Zapotechi, Maya e Aztechi), la matematica assunse una struttura prevalentemente vigesimale (a base 20), integrata con la notazione a barra e punto e con notazioni cefalomorfe. In quest'area si affermò l'invenzione autonoma dello zero posizionale (attestato con secoli di anticipo rispetto all'Europa e concettualizzato come simbolo di "completamento" a forma di conchiglia) e una sofisticata aritmetica modulare orientata al computo del tempo profondo. Tramite la sincronizzazione di cicli rituali (come il calendario di 260 giorni) e solari (365 giorni) attraverso il minimo comune multiplo, i sacerdoti-astronomi elaborarono il calendario del Conto Lungo e tavole di precisione millesimale per la previsione delle eclissi e dei moti di Venere e Marte, conservate in monumenti e codici quali il Codice di Dresda. In epoca postclassica, la Valle del Messico vide inoltre lo sviluppo di un'avanzata agrimensura geometrica, documentata nel Codice Vergara, comprendente calcoli di superfici irregolari e notazioni per frazioni di unità.

Nel versante sudamericano, civiltà andine come i Wari e, successivamente, l'Impero inca adottarono invece un rigoroso sistema posizionale in base 10. In assenza di un sistema di scrittura alfabetico o glifico tradizionale, la registrazione quantitativa avveniva attraverso la manipolazione tattile di complessi insiemi di corde annodate, detti quipu (in cui lo zero era espresso dall'assenza fisica di nodi in una data posizione gerarchica), e l'impiego di abachi di pietra, noti come yupana. Questo impianto computazionale sostenne un modello di contabilità statale centralizzato, impiegato per la ripartizione dei tributi, l'organizzazione logistica della forza lavoro (mit'a) e censimenti demografici strutturati su decine di migliaia di nuclei familiari.

Alla vigilia della colonizzazione europea delle Americhe, queste due tradizioni rappresentavano vertici intellettuali capaci di risolvere problemi complessi di computo e pianificazione con strumenti logici originali, costituendo uno dei capitoli più significativi dell'etnomatematica e della storia della scienza.

Numerazione arcaica e origini della matematica mesoamericana (2000–400 a.C.)

Lo stesso argomento in dettaglio: Watson Brake, La Venta e Notazione a barra e punto.

La transizione dai gruppi nomadi di cacciatori-raccoglitori a comunità agricole sedentarie in Mesoamerica e nelle Ande rese necessarie le prime applicazioni formali di misurazione, volume e conteggio. Sebbene in quest'epoca manchi una scrittura nel senso tradizionale, il registro architettonico fornisce prove di una comprensione nascente della geometria e dell'orientamento celeste.

Durante il secondo millennio a.C., i primi abitanti iniziarono a coltivare colture di base come mais, fagioli e zucche. I requisiti matematici di questa transizione erano principalmente agricoli e architettonici. Le comunità dovevano monitorare i cambiamenti stagionali e mobilitare manodopera per la costruzione di tumuli di terra, come quelli trovati a Watson Brake in Nord America, datati al 3400 a.C., e successivamente a Poverty Point intorno al 1500 a.C. Queste strutture dimostrano una comprensione precoce della geometria concentrica e della pianificazione radiale, riflettendo una capacità localizzata di calcolare distanza e angoli. Nelle Ande, il periodo Preceramico Tardo (circa 3000 - 1800 a.C.) mostra, in siti come Caral, che le fondamenta del sistema di registrazione a corde annodate (oggi conosciuto come quipu) potrebbero risalire a questo periodo. Questi dispositivi in fibra probabilmente memorizzavano dati quantitativi relativi alla distribuzione delle risorse marine e del surplus agricolo, stabilendo una tradizione di matematica tattile che avrebbe definito l'amministrazione sudamericana per millenni.

L'XI secolo a.C. segna un cambiamento cruciale nella storia mesoamericana, evidenziato da recenti indagini LiDAR condotte lungo la costa meridionale del Golfo del Messico. Sono stati identificati 478 complessi cerimoniali di forma rettangolare o quadrata, databili tra il 1050 e il 400 a.C. circa. Questi complessi, appartenenti alle prime tradizioni olmeche e maya, non erano città ma centri cerimoniali, molti dei quali orientati secondo criteri astronomici. Il significato matematico di questi siti risiede nel loro allineamento. Centinaia di complessi erano orientati verso l'alba in giorni specifici, tra cui l'11 febbraio e il 29 ottobre, questi ultimi particolarmente rilevanti, poiché separati esattamente da 260 giorni. Gli studiosi ritengono questo un indizio del fatto che il calendario rituale di 260 giorni, poi destinato a diventare il principale pilastro della cosmologia mesoamericana, fosse già una realtà concettuale. La capacità di organizzare lo spazio per riflettere un ciclo matematico di 260 unità indica un livello di astrazione che unisce la numerologia all'osservazione astronomica. Sull'origine di questo ciclo sono state proposte diverse spiegazioni: l'intervallo tra i due passaggi del Sole allo zenit nel Mesoamerica meridionale, la durata della gravidanza umana, i cicli di Venere e della Luna e il ciclo agricolo del mais. Thompson giudicava poco convincenti le spiegazioni basate sulla gravidanza e sui passaggi zenitali e attribuiva il numero 260 alla combinazione di due conteggi, uno di 20 e uno di 13 giorni. Anche Aveni giudica insostenibile l'idea che il ciclo sia nato a Copán, dove i passaggi del Sole allo zenit dividono l'anno in periodi di 260 e 105 giorni, perché le iscrizioni calendariali zapoteche risalgono già al 600 a.C. circa, molto prima che Copán fosse abitata.

Intorno al 1000 a.C., il primo sito olmeca di San Lorenzo raggiunse il suo apice come importante centro politico ed economico. La costruzione di massicci monumenti di basalto, alcuni pesanti oltre venti tonnellate, richiese calcoli precisi relativi al peso, allo spostamento e alla logistica del lavoro. La capacità di spostare queste pietre dalla loro sede fino a oltre 60 chilometri di distanza implica una comprensione sofisticata della leva meccanica e della massa. Nel corso di questo secolo, il ciclo dei 260 giorni si è ulteriormente radicato nel tessuto sociale. Le orientazioni riscontrate a Tabasco e a Veracruz suggeriscono che le comunità utilizzassero tali allineamenti architettonici per programmare riunioni rituali e attività agricole. Già in questa epoca si trovano i primi esempi di come la matematica nelle Americhe si sarebbe sviluppata, fino a legarsi in modo indissolubile al ritmo del cosmo e degli astri.

Nel IX secolo a.C., l'attenzione della cultura olmeca si spostò su La Venta. La disposizione del sito di La Venta è caratterizzata da un asse nord-sud deviato di 8 gradi a ovest del nord magnetico, un orientamento che gli studiosi hanno cercato di spiegare con allineamenti topografici o astronomici, per esempio con le stelle della Cintura di Orione.

La Grande Piramide di La Venta (il tumulo C), alta circa 32 metri, richiedeva una comprensione del volume e della stabilità del pendio. La pianificazione architettonica prevedeva l'uso di una "misura standard" per garantire la simmetria tra le piazze del sito. Il complesso cerimoniale principale fu costruito in quattro fasi, collocate tra il 1000/900 e il 600/500 a.C.; poiché per l'intera sequenza è stata proposta anche una durata di soli 100-150 anni, si è ipotizzato che i rifacimenti avvenissero al completamento di ogni Ruota calendariale di 52 anni. Questo secolo rappresenta l'inizio del periodo "medio formato", durante il quale i principi geometrici iniziarono a passare dai tumuli di terra alle strutture permanenti in pietra.

L'VIII secolo a.C. vide la crescita della città di Nakbe nelle pianure del Petén, dove imponenti strutture furono edificate intorno al 750 a.C. La loro realizzazione richiese di calcolare il volume di pietra oltre che del riempimento necessario per le massicce piattaforme. Sulla Costa del Golfo, il sigillo cilindrico di San Andrés, datato intorno al 650 a.C., reca un segno interpretato come il nome del giorno «3 Ajaw» del calendario di 260 giorni. Sebbene l'interpretazione sia discussa, si ritiene questa possa essere una prova di una transizione iniziale dalla matematica architettonica alla matematica glifica, secondo i sostenitori di questa tesi, l'uso di simboli per rappresentare conteggi specifici all'interno di un ciclo rituale sarebbe il primo passo verso una notazione numerica formale.

Il VII secolo a.C. fornisce la prima prova definitiva della stenografia numerica mesoamericana nota come notazione a barra e punto. Nei siti influenzati dagli Olmechi, sono state identificate prove di numeri glifici risalenti al 650 a.C., precedenti ai primi glifi Maya conosciuti di oltre tre secoli.

Questo sistema utilizzava tre componenti fondamentali:

1. Un "punto" per rappresentare il valore di uno.
2. Una "barra" per rappresentare il valore di cinque.
3. Un "guscio o un glifo di completamento" per rappresentare lo zero.

L'efficienza matematica di questo sistema è evidente nella sua natura additiva. Ad esempio, il numero tredici veniva scritto come due barre (10) e tre punti (3). Questa notazione sarebbe rimasta praticamente invariata per secoli presso i Maya, mentre gli Aztechi adottarono un sistema di segni diverso (vedi sotto).

Nel VI secolo a.C. la civiltà zapoteca di Monte Albán in Oaxaca iniziò a scolpire iscrizioni calendariali nelle stele di pietra (in particolare le Stele 12 e 13, attribuite alla fase Monte Albán I e datate rispettivamente al 594 e al 563 a.C.). Queste iscrizioni, che combinano un segno d'anno con i nomi dei giorni, segnano un cambiamento cruciale: l'integrazione formale del calendario sacro di 260 giorni con un ciclo solare di 365 giorni. La combinazione dei due calendari dà origine al ciclo oggi noto come «Ruota calendariale», che termina quando i due conteggi tornano a coincidere. La derivazione matematica deriva dal calcolo del minimo comune multiplo di 260 e 365:

$${\displaystyle \operatorname {mcm} (260,365)=18\,980{\text{ giorni}}}$$

Questo periodo di 18.980 giorni corrisponde esattamente a 52 anni solari, ovvero 73 anni rituali. La capacità degli Zapotechi di sincronizzare questi cicli inizialmente distinti permise di identificare date specifiche all'interno della vita umana, un progresso rivoluzionario nella matematica temporale.

Durante il V secolo a.C., il sistema vigesimale (base 20) divenne il quadro dominante per il calcolo in Mesoamerica. Mentre il sistema base-10 usato in Eurasia probabilmente deriva dal conteggio sulle dieci dita, il sistema mesoamericano base-20 probabilmente ha avuto origine dal conteggio sia sulle dita sia sulle dita dei piedi. I sistemi di numerazione a base 20 erano diffusi nella maggior parte del Messico e dell'America centrale, oltre che tra gli Inuit, mentre in altre regioni, come l'area andina di lingua quechua, prevalevano sistemi decimali.

La struttura del sistema posizionale vigesimale è la seguente:

Valore posizionale	Calcolo matematico	Valore numerico
1ª posizione	${\displaystyle 20^{0}}$	1
2ª posizione	${\displaystyle 20^{1}}$	20
3ª posizione	${\displaystyle 20^{2}}$	400
4ª posizione	${\displaystyle 20^{3}}$	8 000
5ª posizione	${\displaystyle 20^{4}}$	160 000

Infine, l'invenzione indipendente dello zero costituì uno dei traguardi più notevoli della matematica mesoamericana. Mentre la civiltà Olmeca declinava, le culture Epi-Olmeche e Maya primitive ne ereditarono i concetti numerici. Non esistono però attestazioni dirette di un segno per lo zero già nel IV secolo a.C.: John Justeson ha proposto che un sistema di notazione posizionale fosse in uso intorno al 255-235 a.C., e il concetto è comunque implicito nel Conto Lungo posizionale, documentato su monumenti del I secolo a.C., e l'uso di un simbolo per lo zero in un sistema posizionale è ben attestato già nel periodo classico.

A differenza del concetto matematico moderno a noi familiare, lo zero mesoamericano non era un "nulla" astratto, ma un concetto tangibile di "completamento". Rappresentato da un glifo simile a una conchiglia o a un fiore, esso indicava che una particolare unità posizionale era stata riempita e che il conteggio era perciò giunto all'ordine di grandezza successivo. Nel Codice di Dresda e, molto raramente, sulle stele, i Maya omettevano i glifi dei periodi e scrivevano i coefficienti in colonna, in una notazione puramente posizionale. In questa notazione, il Codice di Dresda rappresenta lo zero con una conchiglia stilizzata, sempre dipinta di rosso. Va notato che la diffusione di questi concetti nelle Americhe avvenne secoli prima che l'uso dello zero si diffondesse nella matematica europea.

Origini e sviluppo del Conto Lungo (III secolo a.C. – III secolo d.C.)

Lo stesso argomento in dettaglio: Calendario del Conto Lungo.

A San Bartolo, in Guatemala, frammenti di pitture murali datati tra il 300 e il 200 a.C. contengono il segno «7 Cervo», la più antica data scritta riconosciuta con sicurezza appartenente al calendario maya di 260 giorni. Il calendario del "Conteggio Lungo" compare invece su monumenti datati a partire dal I secolo a.C. (vedi sotto). Il Conteggio Lungo è un calendario lineare e non ripetibile che identifica il giorno corrente come il numero di giorni trascorsi da una data mitica di creazione, corrispondente al giorno 4 Ajaw 8 Kumk'u, cioè all'11 agosto (o al 13, a seconda della correlazione adottata) del 3114 a.C. del calendario gregoriano. Il Conto Lungo fu usato dai Maya e dagli Epi-Olmechi, ma non dalle culture del Messico centrale.

La struttura matematica del Conteggio Lungo modificò il sistema vigesimale standard per allinearlo meglio all'anno solare. Nella terza posizione, invece di usare un moltiplicatore di 20 (che avrebbe dato 400), i matematici inserirono un moltiplicatore di 18.

Questo sistema "vigesimo-calendariale" permetteva ai Maya di tracciare il tempo su milioni di anni mantenendo un'unità (il Tun) entro cinque giorni dall'anno solare.

Il II secolo a.C. fornisce alcune delle più antiche iscrizioni fisiche del Lungo Conto. La stele 2 a Takalik Abaj in Guatemala, datata tra il 236 e il 19 a.C., mostra un'iscrizione del Conto Lungo tristemente mal conservata. Si suppone quindi, che la capacità di registrare date complesse e multi-unità non fosse più limitata a una piccola élite, ma stesse diventando una caratteristica standard dell'architettura monumentale.

Il calendario solare di 365 giorni non prevedeva anni bisestili: i sacerdoti mesoamericani non sembrano aver mai intercalato giorni aggiuntivi, poiché ciò avrebbe compromesso la concordanza tra i calendari di 260 e 365 giorni nella Ruota calendariale di 52 anni e il loro ciclo con quello di Venere. Di conseguenza, il calendario perdeva un giorno ogni quattro anni circa rispetto all'anno solare e, al momento del contatto europeo, i nomi dei mesi maya e aztechi erano sfasati di quattro o cinque mesi rispetto alle stagioni. Pur senza correggere il calendario, i sacerdoti maya calcolavano con cura l'errore accumulato rispetto all'anno solare e lo registravano a parte nei testi. Lo scarto tra il calendario di 365 giorni e l'anno tropicale era di circa un quarto di giorno all'anno, e non è mai emersa alcuna prova sostanziale di anni bisestili in un calendario nativo americano.

Il I secolo a.C. è l'epoca cui appartengono le prime datazioni indiscusse del Lungo Conto in Mesoamerica.

• 36 a.C.: La Stela 2 a Chiapa de Corzo, Messico, registra la data 7.16.3.2.13.
• 32 a.C. (31 a.C. secondo altre conversioni): La Stela C di Tres Zapotes, sito della tradizione epi-olmeca, registra la data 7.16.6.16.18. La lettura del bak'tun 7, inizialmente contestata perché la data sembrava troppo antica, fu confermata nel 1973 dal ritrovamento del frammento superiore della stele.

L'esistenza di queste date dimostra che entro il I secolo a.C., i matematici mesoamericani avevano già padroneggiato la notazione posizionale, l'uso dello zero come segnaposto e la capacità di proiettare il tempo all'indietro verso il mitico "Giorno dell'Era". Ciò facilitava la registrazione delle linee storiche e la convalida del potere reale attraverso la permanenza matematica. Con il crollo delle culture preclassiche negli altopiani, la società Maya iniziò a emergere, adottando e perfezionando i sistemi matematici dei suoi predecessori. Il I secolo d.C. fu un periodo di consolidamento. Mentre la produzione monumentale di stele rallentava, i principi matematici di base furono preservati nella crescente città di Tikal. Le operazioni matematiche in questo periodo erano principalmente additive e sottrattive, utilizzando il sistema a barra e punto per i calcoli relativi al commercio e al tributo. Tuttavia, il lavoro teorico dei sacerdoti-astronomi proseguì e, nel corso del II secolo d.C., i Maya svilupparono modelli più accurati del mese lunare.

Sebbene un singolo ciclo lunare duri circa 29,53 giorni, i matematici Maya cercavano rapporti interi che permettessero loro di prevedere le fasi lunari nel corso dei secoli. Le prove di questo periodo suggeriscono l'uso precoce delle tabelle lunari che sarebbe poi stato codificato nel periodo Classico. Queste tabelle permettevano di prevedere le eclissi, il che era essenziale per la stabilità religiosa e politica.

Le tavole delle eclissi del Codice di Dresda (pp. 51-58), risalenti a un periodo più tardo, sono organizzate in intervalli di 177 o 178 giorni, equivalenti a circa sei lunazioni. La tavola comprende inoltre nove figure, ciascuna associata a un intervallo di 148 giorni, pari a circa cinque lunazioni. Il ciclo si basa sulla corrispondenza tra 405 lunazioni e 46 cicli di 260 giorni, per un totale di 11.960 giorni.

Il III secolo d.C. segna la transizione verso il periodo "Classico Antico". Nel 292 d.C. fu eretta la Stela 29 a Tikal, con la data 8.12.14.8.15, la più antica data in Conto Lungo nota nelle pianure maya. Questo monumento dimostra che i Maya avevano completamente integrato il Lungo Conto nelle loro cerimonie politiche. La sofisticazione matematica di questo periodo è evidenziata dal sistema "a testa variante" che affiancava la notazione a barra e punto. I Maya svilupparono un sistema di «varianti di testa», ovvero ritratti di divinità che rappresentavano i numeri da 1 a 19, in modo che le teste per i numeri da 14 a 19 combinano i tratti della cifra delle unità con la mascella scarnificata del 10, più una variante per lo zero o «completamento». Questo sistema numerico secondario, più prestigioso, era adoperato soprattutto nelle iscrizioni monumentali, più raramente nel Codice di Dresda e mai negli altri codici.

Matematica, architettura e astronomia maya nel periodo classico (IV–IX secolo d.C.)

Nel IV secolo d.C., la massiccia città di Teotihuacán, nel Messico centrale, esercitò un'influenza significativa sulla regione Maya. I contributi matematici di Teotihuacán si concentravano principalmente nella pianificazione urbana e nella geometria modulare. La città fu disposta su un sistema a griglia basato su un'unità di misura standard, di circa 83 centimetri, nota come "Unità di Misura di Teotihuacán" (TMU). Le strade della città seguono due orientamenti: uno nord-sud ruotato di 15°28' a est del nord, quello del Viale dei Morti, e uno est-ovest ruotato di 16°30' a sud dell'est. Questo approccio modulare permise la costruzione della Piramide del Sole e della Piramide della Luna. I Maya iniziarono ad adottare alcuni di questi stili architettonici modulari, integrando tali stili con la loro matematica calendariale vigesimale. Durante il V secolo d.C., la città di Copán emerse come centro di eccellenza nell'astronomia e nella matematica. Nella vicina Quiriguá, uno dei monumenti più antichi, la Stele U (Monumento 21), reca la data di fine periodo 9.3.0.0.0, corrispondente al 495 d.C.; in passato Sylvanus Morley l'aveva letta come 9.14.0.0.0 (711 d.C.).

A Copán, secondo alcune ricostruzioni moderne, gli astronomi maya avrebbero stimato la durata dell'anno tropicale in 365,242 giorni, un valore molto vicino a quello moderno (365,24219). Secondo Thompson, intorno al 692 d.C. gli astronomi maya erano ancora impegnati a definire la durata dell'anno solare e il modo di registrare i dati lunari, questioni che sembrano essere state risolte circa un secolo dopo. Il valore di 365,2420 giorni deriva dall'analisi di date di Copán proposta da Herbert Teeple; la sua interpretazione è stata contestata, tra gli altri, da Thompson, ma oggi è generalmente accettato che i Maya eseguissero qualche tipo di calcolo dell'anno tropicale, sempre attraverso medie su lunghi intervalli e mai con frazioni decimali. Questa precisione permetteva ai Maya di mantenere i loro calendari rituali in sintonia con le stagioni attraverso secoli di osservazione.

Nel periodo classico, i matematici maya perfezionarono i loro calcoli lunari con sorprendente precisione. Fino a circa il 672 d.C. (9.12.0.0.0) ogni città sembra aver mantenuto un proprio calendario lunare; a partire dal 692 d.C. (9.13.0.0.0) si diffuse invece nella regione di Copán una formula secondo cui 149 mesi lunari duravano 4 400 giorni, dando un valore di 29,5302 giorni al mese. A Palenque si usava invece l'equivalenza tra 81 lunazioni e 2 392 giorni, che dà 29,53086 giorni, con un errore di circa 23 secondi per lunazione; dopo il 751 d.C. (9.16.0.0.0) alcune città tornarono a questa formula.

Questo livello di precisione (entro millesimi di giorno) permetteva loro di prevedere le "stagioni" delle eclissi, un'impresa che richiedeva secoli di dati registrati. La più antica testimonianza diretta di tavole lunari di questo tipo è dipinta sulle pareti di un ambiente di Xultun, in Guatemala, risalente all'inizio del IX secolo.

Il VII secolo d.C. rappresenta l'apice del periodo classico maya. A Palenque, la tomba di K'inich Janaab' Pakal dimostrò una comprensione avanzata della geometria strutturale e della matematica portante nella costruzione del Tempio delle iscrizioni.

Il ciclo di Venere occupava un posto centrale nell'astronomia maya, anche se un vero e proprio calendario venusiano sembra essere stato istituito formalmente solo nel X secolo, dopo secoli di correzioni. I Maya stimarono il periodo sinodico di Venere in 584 giorni (il valore medio moderno è 583,92 giorni, ma le singole rivoluzioni variano tra 581 e 587). Riconobbero che cinque anni di Venere (2.920 giorni) corrispondevano esattamente a otto anni solari di 365 giorni (${\displaystyle 5\times 584=8\times 365=2920}$). Questa scoperta permise la sincronizzazione tra i cicli di guerra e rituali con i movimenti del pianeta che chiamavano Chak Ek'. Inoltre 65 rivoluzioni di Venere equivalgono a 104 anni di 365 giorni e a 146 cicli di 260 giorni, cioè a due Ruote calendariali: in questo modo il ciclo poteva chiudersi sempre sullo stesso giorno sacro, 1 Ajaw. Per compensare lo scarto tra 584 giorni e il periodo reale, la tavola di Venere del Codice di Dresda prevedeva correzioni: per esempio 57 rivoluzioni venivano contate come 57 × 584 − 8 = 33 280 giorni, contro i 33 283,4 effettivi.

Mentre i Maya perfezionavano l'astronomia vigesimale, l'Impero Wari nelle Ande (600–1000 d.C.) stava espandendo la propria influenza attraverso un paradigma matematico diverso, basato sulla registrazione su cordicelle. I Wari utilizzavano i quipu per gestire un complesso apparato amministrativo in diverse zone ecologiche. I quipu in stile Wari, rinvenuti in siti come il Castillo de Huarmey, si distinguono da quelli inca per l'uso di avvolgimenti colorati che formano bande e motivi; i loro nodi sono disposti a gruppi di cinque, il che suggerisce un sistema di numerazione in base cinque, poi adattato dagli Inca al sistema decimale. Questo rappresenta una significativa divergenza dall'attenzione mesoamericana sulla matematica scritta e astronomica verso un focus rinnovato sulla matematica tattile e amministrativa.

Il IX secolo d.C. fu un periodo sia di picco produttivo che di improvviso crollo nelle pianure Maya. Le ultime iscrizioni in Conto Lungo risalgono a questo periodo: la più tarda nota, a Toniná, commemora la fine del k'atun 10.4.0.0.0, nel 909 d.C. Già nel periodo classico, tuttavia, alcune iscrizioni contenevano calcoli che risalivano a milioni di anni nel passato: a Palenque oltre 1,25 milioni di anni e, in un'altra città, probabilmente oltre 400 milioni. Per questi calcoli i Maya usavano periodi superiori al bak'tun: il pictun (8000 tun), il calabtun (160 000 tun), il kinchiltun (3,2 milioni di tun) e l'alautun (64 milioni di tun, circa 63 milioni di anni), di cui forse esiste un solo esempio, sulla Stele 1 di Cobá. Nonostante il crollo politico di molte città-stato, la conoscenza matematica fu preservata dagli scribi che migrarono nel nord dello Yucatán. L'attenzione matematica si spostò dalle iscrizioni monumentali in pietra a codici portatili, come le versioni originali del Codice di Dresda.

Tradizioni matematiche mesoamericane nel periodo postclassico (X–XV secolo d.C.)

Il X secolo d.C. vide l'ascesa di Chichén Itzá e l'influenza della civiltà tolteca nel Messico centrale. Questa epoca è caratterizzata dalla fusione di tradizioni matematiche. I Toltechi portarono conoscenze avanzate di logistica militare e di standardizzazione architettonica dalla loro capitale a Tula. A Chichén Itzá, l'osservatorio di Caracol fu costruito in più fasi: la piattaforma inferiore risale a circa l'800 d.C., mentre la parte superiore della torre è datata intorno al 1000 d.C. La scalinata della piattaforma è orientata verso il punto dell'orizzonte in cui Venere tramonta alla sua massima declinazione settentrionale, e le diagonali di due finestre della torre segnano gli estremi settentrionale e meridionale di Venere sull'orizzonte. Ciò dimostra che il ciclo veneriano di 584 giorni rimase un punto focale della matematica postclassica.

L'XI secolo d.C. a Oaxaca fu caratterizzato dall'espansione del popolo mixteco sotto il sovrano Otto Cervo «Artiglio di Giaguaro» (nato nel 1063 o nel 1064 d.C., a seconda delle ricostruzioni). I Mixtechi svilupparono un linguaggio pittografico unico usato in codici come lo Zouche-Nuttall. La matematica mixteca si concentrava sui conteggi genealogici e storici. Utilizzavano un calendario rituale di 260 giorni per dare i nomi agli individui, con Otto Cervo stesso chiamato in base al suo giorno di nascita (8 Cervo). La loro notazione matematica utilizzava i punti per i numeri da 1 a 13, ma spesso ometteva le barre presenti nella scrittura Maya, preferendo una rappresentazione più puramente pittorica della quantità.

Nel XII secolo, il calendario del Conto Lungo era stato in gran parte sostituito nello Yucatán dal "Conto Breve" o U Kahlay Katunob. Si trattava di un ciclo di 13 K'atun (circa 256 anni) che dava priorità alla ripetizione ciclica rispetto al tempo lineare "profondo" del periodo Classico. L'applicazione matematica di questo secolo era sempre più legata alle reti commerciali. I Maya Itza, che controllavano il commercio di sale e ossidiana, utilizzavano la contabilità vigesimale per tracciare gli inventari attraverso il Golfo del Messico. Ciò rese necessario lo sviluppo di operazioni aritmetiche semplificate per consentire uno scambio rapido. Nel XIII secolo, due grandi imperi iniziarono la loro ascesa: gli Aztechi in Messico e gli Inca in Perù. Gli Aztechi arrivarono nella Valle del Messico, adottando i sistemi vigesimali delle culture tolteche e zapoteche già consolidate. Nelle Ande fu istituito il Regno di Cusco, che perfezionò il sistema dei quipu Wari, trasformandolo in uno strumento imperiale più standardizzato. Questo secolo segna l'inizio della "Matematica Imperiale", in cui lo scopo principale del calcolo si spostò dall'osservazione astronomica alla tassazione e al controllo di vaste popolazioni.

Nel XIV secolo, i Mexica fondarono Tenochtitlan, secondo la data accettata dalla maggior parte degli studiosi, nel 1325. Nel secolo successivo l'Impero azteco sviluppò un sofisticato sistema di tributi, documentato soprattutto dal Codice Mendoza, compilato a Città del Messico intorno al 1541-1542 su incarico della corona spagnola. Come nel resto del Mesoamerica, che usava un sistema di numerazione vigesimale, i numeri da 1 a 19 erano indicati con punti (o punti e barre), mentre nel Codice Mendoza i multipli più alti sono rappresentati da bandiere (pantli, 20), da segni simili a capelli o a piccoli alberi (tzontli, 400) e da borse per l'incenso (xiquipilli, 8 000). Nei registri dei tributi, le quantità da 1 a 19 erano indicate con punti o cerchi, oppure ripetendo l'oggetto, e ciascun segno si ripeteva per formare i multipli fino al valore successivo. Anche i nomi dei numeri in nahuatl seguivano la base 20: tzontli (400) significa «capelli» o «abbondanza», xiquipilli (8 000) indica una borsa di semi di cacao, e non esisteva una parola specifica per 160 000; per esempio 113 197 = 14 × 8 000 + 2 × 400 + 19 × 20 + 17. Il sistema dei tributi era additivo e non posizionale: nel Codice Telleriano-Remensis, per esempio, il numero 20 000 è scritto con due borse e dieci tzontli (2 × 8 000 + 10 × 400). Nei registri catastali di Texcoco è però attestato anche un sistema posizionale «a linee e punti», con un segno specifico per lo zero (vedi sotto).

Simbolo azteco	Potenza di 20	Valore decimale
Punto	Unità	1
Bandiera (Pantli)	${\displaystyle 20^{1}}$	20
Albero/Capelli (Tzontli)	${\displaystyle 20^{2}}$	400
Sacchetto (Xiquipilli)	${\displaystyle 20^{3}}$	8 000

Nel Codice Mendoza le 371 città-stato soggette a tributi regolari sono raggruppate in 38 province. Gli Aztechi mantenevano inoltre un calendario solare di 365 giorni (Xiuhpohualli) e un calendario rituale di 260 giorni (Tonalpohualli). Gli anni prendevano il nome da quattro segni combinati con i numeri da 1 a 13, per un totale di 4 × 13 = 52 combinazioni. Alla fine di ogni ciclo di 52 anni, il «legamento degli anni», si celebrava la Cerimonia del Nuovo Fuoco, un «reset» matematico e spirituale del cosmo. Secondo Sahagún, l'ultima cerimonia si tenne nel 1507.

XV secolo d.C.: l'apice dell'amministrazione imperiale

Il XV secolo rappresenta l'apice dell'applicazione della matematica precolombiana. L'Impero Inca, sotto Pachacuti e i suoi successori, si espanse al massimo, utilizzando il quipu decimale per un censimento totalizzante. All'arrivo degli spagnoli lo Stato inca esisteva da circa un secolo.

Sui quipu i numeri erano rappresentati con un sistema posizionale in base 10: ogni cordone portava gruppi di 0-9 nodi separati da spazi, e ogni posizione, procedendo dall'estremità libera verso il cordone principale, corrispondeva a una potenza di 10 superiore alla precedente. Nella posizione delle unità si usavano «nodi lunghi», con un numero di giri pari alla cifra (e un nodo a otto per l'1); nelle altre posizioni, nodi semplici; lo zero era indicato dall'assenza di nodi nella posizione corrispondente. Per esempio, un cordone con 4 nodi semplici, 5 nodi semplici e un nodo lungo di 2 giri rappresentava il numero 452. Lo storico Inca Garcilaso de la Vega, che da giovane verificò personalmente a Cusco i conti dei tributi registrati sui quipu, descrive nodi per le unità, le decine, le centinaia, le migliaia e le decine di migliaia, mai più di nove per posizione, allineati da un cordone all'altro «esattamente come un buon contabile dispone le sue cifre per fare una lunga addizione»; il colore del cordone indicava la categoria registrata, per esempio il giallo per l'oro, il bianco per l'argento e il rosso per i soldati.

Il censimento inca e la gerarchia decimale

L'amministrazione inca era organizzata in una rigida gerarchia decimale, dal capo delle dieci famiglie al governatore provinciale responsabile di 10 000 nuclei familiari. I titoli derivano dai nomi quechua delle potenze di 10: chunka (10), pachaj (100) e waranqa (1 000).

Titolo amministrativo	Numero di nuclei familiari
Chunka Kamayuq	10
Pachaka Kamayuq	100
Waranqa Kamayuq	1 000
Hunu Kamayuq	10 000

Questo sistema si basava sul quipu, sul quale venivano registrati i censimenti, la composizione delle squadre di lavoro, i tributi e il contenuto dei magazzini. Secondo Garcilaso vi si annotavano anche le nascite e i decessi di ogni mese, e nei censimenti la popolazione di ogni villaggio era registrata per fasce d'età di dieci anni, dagli ultrasessantenni fino ai lattanti, separatamente per uomini e donne; i nodi però registravano solo numeri, e gli eventi storici venivano tramandati a memoria. Circa un quarto dei quipu studiati da Marcia e Robert Ascher combina una classificazione dei dati per categorie con somme: in 14 dei 18 quipu dotati di «cordoni superiori», questi riportano la somma dei valori del gruppo di cordoni pendenti a cui sono associati, mentre i totali generali sono collocati in una posizione separata e ben visibile. Tutti i valori registrati sono numeri interi. I quipu erano affidati a funzionari detti quipucamayoc: anche nel villaggio più piccolo ce n'erano almeno quattro, e fino a venti o trenta nei più grandi, che tenevano lo stesso registro, controllandosi a vicenda. Secondo il gesuita Blas Valera, riportato da Garcilaso, al momento della riscossione dei tributi contabili e funzionari ne calcolavano la ripartizione con i nodi e piccoli sassolini, in base al numero degli abitanti.

1492 d.C.: contatto europeo

Al momento dell'arrivo di Cristoforo Colombo, le Americhe possedevano due tradizioni matematiche mature e distinte.

1. La tradizione iscrittiva vigesimale mesoamericana: Un sistema basato su base 20, lo zero esplicito, e l'astronomia ad alta precisione, conservato in codici e pietra monumentale.
2. La tradizione tattile decimale andina: Un sistema basato sulla base 10, sui nodi posizionali e sulla logistica imperiale, capace di gestire milioni di persone per migliaia di miglia senza un copione formale.

Entrambe le tradizioni conoscevano un modo per indicare lo zero, sviluppato in modo indipendente: un glifo a conchiglia nella scrittura maya e l'assenza di nodi in una determinata posizione sui quipu inca. Questi sistemi non erano semplici precursori della matematica moderna, ma quadri pienamente realizzati, efficienti e accurati che supportavano due civiltà indipendenti tra le più di successo al mondo.

Riepilogo tecnico delle tabelle astronomiche

Il Codice di Dresda, una copia postclassica (datata all'XI secolo secondo alcune stime, al XII secondo Thompson) di materiali del periodo classico, contiene le tavole astronomiche più dettagliate dell'astronomia matematica precolombiana, in particolare quelle di Venere e una tavola di multipli di 78 e 780 giorni che molti studiosi collegano a Marte, mentre Thompson la riteneva piuttosto un almanacco divinatorio. Aveni ritiene invece plausibile il legame con Marte, il cui periodo sinodico medio (779,94 giorni) è quasi pari a tre cicli di 260 giorni. La tabella seguente riassume i principali valori astronomici attribuiti alla matematica maya, ricavati sia dai codici sia dalle iscrizioni monumentali.

Come base della tavola di Venere, il Codice di Dresda usa la data 9.9.16.0.0, cioè 1 366 560 giorni, che Floyd Lounsbury chiamò «super-numero» perché è multiplo esatto di 260, 365, 584 (Venere), 780, 2 920 e della Ruota calendariale di 18 980 giorni. La mancanza della notazione frazionaria da parte dei Maya li costrinse a trovare moltiplicatori a grandi numeri interi per gestire questi decimali, portando a una matematica del "Tempo Profondo" in cui cicli di milioni di anni venivano calcolati con lo stesso rigore di un singolo raccolto di un giorno. Questo approccio unico, unito a un sistema posizionale che precede gran parte dell'Eurasia, pone la matematica precolombiana tra i più alti successi intellettuali della specie umana.

Note

Bibliografia

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• (EN) Marcia Ascher e Robert Ascher, Mathematics of the Incas: Code of the Quipu [Code of the Quipu: A Study in Media, Mathematics, and Culture], Mineola, Dover Publications, 1997 [1981], ISBN 978-0-486-15270-7.
• (EN) Anthony F. Aveni, Skywatchers: A Revised and Updated Version of Skywatchers of Ancient Mexico, Austin, University of Texas Press, 2001, ISBN 978-0-292-70502-9.
• (EN) Frances F. Berdan e Patricia Rieff Anawalt (a cura di), The Essential Codex Mendoza, Berkeley, University of California Press, 1997.
• Michael P. Closs (a cura di), Native American Mathematics, Austin, University of Texas Press, 1986, ISBN 0292711859.
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• (EN) Michael P. Closs, Native American Number Systems, in Michael P. Closs (a cura di), Native American Mathematics, Austin, University of Texas Press, 1986, pp. 3-43.
• (EN) Stanley E. Payne e Michael P. Closs, A Survey of Aztec Numbers and Their Uses, in Michael P. Closs (a cura di), Native American Mathematics, Austin, University of Texas Press, 1986, pp. 213-235.
• (EN) Garcilaso de la Vega, First Part of the Royal Commentaries of the Yncas [Comentarios Reales de los Incas], traduzione di Clements R. Markham, vol. 2, Londra, Hakluyt Society, 1871 [1609]. (rist. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-1-108-01046-7)
• (EN) Herbert R. Harvey e Barbara J. Williams, Decipherment and Some Implications of Aztec Numerical Glyphs, in Michael P. Closs (a cura di), Native American Mathematics, Austin, University of Texas Press, 1986, pp. 237-259.
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• Helaine Selin (a cura di), Mathematics Across Cultures, Dordrecht, Kluwer, 2000.
• (EN) J. Eric S. Thompson, Maya Hieroglyphic Writing: An Introduction, collana The Civilization of the American Indian Series, n. 56, 2ª ed., Norman, University of Oklahoma Press, 1960 [1950].

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Collegamenti esterni

• Pissolatto dos Santos et al., From erasure to recognition. Pre-Columbian ethnomathematics and its potentialities for mathematics education

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