Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se $A$ è un anello, un $A$ -modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli $A$ -moduli.

Definizione e basi

Sia $A$ un anello e $M$ un modulo su $A$ . $M$ è libero se esiste un insieme $E$ di elementi di $M$ tali che:

$E$ genera $M$ : ogni elemento di $M$ può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di $E$ , ossia per ogni $m$ in $M$ esistono $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ ed $e_{1}, \dots, e_{n} \in E$ tali che $m = a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n}$ ;
$E$ è linearmente indipendente: se esistono $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ ed $e_{1}, \dots, e_{n} \in E$ tali che $a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n} = 0$ , allora tutti gli $a_{i}$ sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere $E = M$ stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo $ℤ$ -modulo $ℤ_{n}$ delle classi di resto modulo $n$ .

Se $A$ è un campo, gli $A$ -moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli $A$ -moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli $A$ -moduli sono liberi, e $A$ è commutativo, allora $A$ è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, $A$ deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento $m$ come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di $A$ .

Un particolare modulo libero è l'anello $A$ stesso. Se $A$ è unitario, ha ${1_{A}}$ come base (è quindi anche ciclico).

Se $M$ è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi e per tutti gli anelli noetheriani; in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Proprietà universale

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme $S$ (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme $S$ , un $A$ -modulo libero generato da $S$ è un modulo $M$ che contiene $S$ e tale che, per ogni $A$ -modulo $N$ e per ogni morfismo di insiemi $f : S \to N$ , rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli $φ : M \to N$ tale che $φ |_{S} = f$ . L'omomorfismo $φ$ viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che $M$ sia libero su $S$ , che ogni elemento di $M$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di $S$ . Se $m = \sum_{s \in S} a_{s} s$ , si pone $φ (m) = \sum_{s \in S} a_{s} f (s) .$

Costruzione

A partire da un insieme arbitrario $E$ , è possibile costruire un $A$ -modulo libero che ha $E$ come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali $a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n}$ , per qualsiasi sottoinsieme finito ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ e qualsiasi $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori $E$ per $M$ (ad esempio $E = M$ stesso), si può formare il modulo libero su $E$ , e considerare il sottomodulo $N$ generato dalle relazioni tra elementi di $M$ (ad esempio, se $e + f = 0$ , allora $e + f$ sarà contenuto in $N$ ). Il quoziente $L / N$ risulta isomorfo a $M$ .

Proprietà

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se $A$ è commutativo e locale, $A$ stesso (considerato come $A$ -modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.

Note

↑ (EN) V.E. Govorov, Rank of a module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
↑ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.
↑ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1995, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia

(EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

Collegamenti esterni

(EN) V.E. Govorov, Free module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[rank-springer-1] (EN) V.E. Govorov, Rank of a module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

[2] (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.

[3] (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1995, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.