Modulo piatto

In algebra, un modulo piatto è un modulo che "si comporta bene" rispetto al prodotto tensoriale; più precisamente, dato un anello A, un A-modulo sinistro M è piatto se per ogni successione esatta di A-moduli

\dots ⟶ N_{i - 1} ⟶ N_{i} ⟶ N_{i + 1} ⟶ \dots

la successione di gruppi abeliani

\dots ⟶ N_{i - 1} \otimes_{A} M ⟶ N_{i} \otimes_{A} M ⟶ N_{i + 1} \otimes M ⟶ \dots

(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su M) è ancora esatta; analogamente, un modulo destro M è piatto se è esatta la successione di gruppi abeliani

\dots ⟶ M \otimes_{A} N_{i - 1} ⟶ M \otimes_{A} N_{i} ⟶ M \otimes_{A} N_{i + 1} ⟶ \dots

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il funtore $- \otimes_{A} M$ è esatto, mentre un modulo destro è piatto se è esatto $M \otimes_{A} -$ . Su anelli commutativi, le nozioni di modulo sinistro piatto e modulo destro piatto coincidono.

Definizioni equivalenti

Per verificare la piattezza di un modulo è sufficiente considerare le successioni esatte corte: il modulo sinistro M è piatto se e solo se, per ogni esatta corta

0 ⟶ N^{'} ⟶ N ⟶ N^{″} ⟶ 0

anche la successione tensorizzata

0 ⟶ N^{'} \otimes M ⟶ N \otimes M ⟶ N^{″} \otimes M ⟶ 0

è esatta. Anche questa definizione è in qualche modo ridondante, perché, se

N^{'} ⟶ N ⟶ N^{″} ⟶ 0

è una successione esatta, allora

N^{'} \otimes M ⟶ N \otimes M ⟶ N^{″} \otimes M ⟶ 0

è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se $f : N^{'} ⟶ N$ è iniettiva, allora $f \otimes 1 : N^{'} \otimes M ⟶ N \otimes M$ è ancora iniettiva.

Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del funtore Tor: un modulo sinistro M è piatto se e solo se $T o r_{i}^{A} (N, M) = 0$ per ogni i >0 e per ogni A-modulo N. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che $T o r_{1}^{A} (N, M) = 0$ per ogni N.

Le stesse proprietà valgono simmetricamente per i moduli destri.

Proprietà

Il prodotto tensoriale di due moduli piatti è ancora piatto; la somma diretta dei moduli M_i è piatta se e solo se lo è ogni M_i.

Se S è un sottoinsieme di A moltiplicativamente chiuso e contenuto nel suo centro, la localizzazione $S^{- 1} A$ di A è un A-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

Se x è un elemento nel centro di A e non è uno zerodivisore, allora A/xA è un esempio di modulo che non è piatto: questo può essere visto a partire dalla successione esatta

0 ⟶ A ⟶^{x} A ⟶ A / x A ⟶ 0

perché, nella successione tensorizzata

0 ⟶ A \otimes_{A} A / x A ⟶ A \otimes_{A} A / x A ⟶ A / x A \otimes_{A} A / x A ⟶ 0

la mappa $A \otimes_{A} A / x A ⟶ A \otimes_{A} A / x A$ diventa l'omomorfismo nullo, mentre $A \otimes_{A} A / x A$ non è il modulo nullo.

In particolare, se A è commutativo, tutte le localizzazioni $S^{- 1} A$ sono piatte; la piattezza è inoltre una proprietà locale, nel senso che M è un modulo piatto se e solo la localizzazione M_P è piatta per ogni ideale primo P. Se A è anche integro, nessun quoziente A/I è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di torsione.

Ogni modulo libero e ogni modulo proiettivo sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto finitamente presentato sia proiettivo.

Anelli assolutamente piatti

Un anello A tale che tutti gli A-moduli sinistri sono piatti è detto assolutamente piatto (o von Neumann regolare); se questo avviene, allora anche tutti gli A-moduli destri sono piatti. Equivalentemente, A è assolutamente piatto se per ogni a esiste un x tale che axa = a; un'altra condizione equivalente è che tutti gli ideali principali di A sono idempotenti, cioè sono tali che $I^{2} = I$ .

Tra gli anelli commutativi, un anello locale è assolutamente piatto se e solo se è un campo; in generale, un anello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è ridotto e ha dimensione 0.

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque anello booleano.

Note

↑ Weibel, p. 71.
↑ (EN) V.E. Govorov, Flat module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
1 2 Weibel, pp. 97-98.
↑ Clarke, pp. 117-118.

Bibliografia

(EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
(EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-43500-5.
(EN) Pete L. Clark, Commutative Algebra (PDF). URL consultato il 5 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 14 dicembre 2010).

Collegamenti esterni

(EN) Flat module, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Weibel, p. 71.

[2] (EN) V.E. Govorov, Flat module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

[abs-weib-3] 1 2 Weibel, pp. 97-98.

[4] Clarke, pp. 117-118.