Operazione binaria

In matematica, un'operazione binaria interna è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme $X$ (si dice cioè che ha arietà 2) e restituisce un elemento di $X$ . Formalmente, cioè, è una funzione * dal prodotto cartesiano $X \times X$ in $X$ :

* : X \times X \to X

Per indicare l'immagine di una coppia di punti $(x, y)$ si usa spesso la notazione infissa $x * y$ . L'operazione è quindi identificata dal simbolo " $*$ ". In alcuni casi si usano altri simboli, come il più "+" o il per " $\times$ ".

Un insieme dotato di un'operazione binaria è detto magma. A volte è usato come sinonimo il termine legge di composizione.

Esempi

Insiemi numerici

L'addizione è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Usando il formalismo delle funzioni, questa operazione si descrive nel modo seguente:

+ : ℕ \times ℕ \to ℕ

(a, b) \mapsto a + b .

Analogamente, anche il prodotto è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Somma e prodotto sono operazioni binarie anche su altri insiemi numerici, come gli insiemi dei numeri interi, razionali, reali o complessi.

La sottrazione non è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali: la differenza fra due numeri naturali può infatti essere negativa, e quindi non essere un numero naturale. La sottrazione è però un'operazione binaria sull'insieme dei numeri interi:

- : ℤ \times ℤ \to ℤ

(a, b) \mapsto a - b .

Insiemi più generali

L'operazione che, date due persone, ci restituisce la più giovane, è anch'essa un'operazione binaria.

Strutture algebriche

Un insieme dotato di un'operazione binaria è detto magma: questa è la più semplice struttura algebrica. Se l'operazione soddisfa alcune particolari proprietà, l'insieme è detto semigruppo, monoide, gruppo, e così via. Fra queste strutture, quella di gruppo è di fondamentale importanza nell'algebra e nella geometria.

Altre strutture più raffinate sono definite sulla base di due operazioni binarie: fra queste troviamo la nozione di anello e campo. Ad esempio, i numeri interi, dotati delle due operazioni binarie di somma e prodotto, formano un anello.

Varianti

Alcuni autori usano il termine operazione binaria per identificare una più generica funzione binaria, ovvero una funzione

f : X \times Y \to Z .

Generalmente, questo utilizzo di linguaggio è presente quando questa funzione assomiglia molto a un'operazione binaria, ad esempio perché due dei tre insiemi $X, Y, Z$ coincidono. Ad esempio, potrebbero rientrare in questa categoria la moltiplicazione per scalare

f : V \times K \to V

presente in ogni spazio vettoriale $V$ , oppure l'operazione di sottrazione

f : ℕ \times ℕ \to ℤ

che associa a due numeri naturali un numero intero. Un altro esempio è l'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ , che è una particolare funzione binaria

f : G \times X \to X .

Gli autori che usano l'operazione binaria in questa accezione più allargata generalmente indicano con il termine operazione binaria interna la definizione originale, in cui tutti e tre gli insiemi presenti coincidono, e il termine operazione binaria esterna negli altri casi.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Operazione binaria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) dyadic operator, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Binary Operation, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Binary operation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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