Porta quantistica

Una porta quantistica o porta quantica è una porta logica basata sulla fisica quantistica e su circuiti che operano con un piccolo numero di qubit. Sono l'analogo quantistico delle porte logiche digitali dei computer convenzionali.

Le porte quantistiche, a differenza di quelle tradizionali, sono reversibili. Alcune porte logiche classiche universali come la porta di Toffoli forniscono la reversibilità e possono essere mappate direttamente in porte logiche quantistiche.

Rappresentazione

Le porte logiche quantistiche sono rappresentate da matrici unitarie. Il numero di qubit in ingresso e in uscita dalla porta deve essere uguale; una porta che agisce su $n$ qubit è rappresentata da una matrice unitaria $2^{n} \times 2^{n}$ . Gli stati quantistici su cui agiscono le porte sono vettori in $2^{n}$ dimensioni complesse. I vettori della base sono i possibili esiti della misura dello stato, e uno stato quantistico è una combinazione lineare di questi esiti. Le porte quantistiche più comuni operano su spazi a uno o due qubit, proprio come le porte logiche classiche operano su uno o due bit.

Gli stati quantistici sono tipicamente rappresentati da "ket", seguendo la notazione bra-ket.

La rappresentazione vettoriale di un singolo qubit è:

| a ⟩ = v_{0} | 0 ⟩ + v_{1} | 1 ⟩ \to [\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \end{matrix}]

,

dove $v_{0}$ e $v_{1}$ sono ampiezze di probabilità complesse del qubit. Questi valori determinano la probabilità di misurare uno 0 o un 1, quando si misura lo stato del qubit.

Il valore zero è rappresentato dal ket $| 0 ⟩ = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ , e il valore uno dal ket $| 1 ⟩ = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Il prodotto tensoriale (o prodotto di Kronecker) è usato per combinare stati quantistici. Lo stato combinato di due qubit è il prodotto tensoriale dei due qubit. Il prodotto tensoriale è indicato dal simbolo $\otimes$ .

La rappresentazione vettoriale di due qubit è:

| a b ⟩ = | a ⟩ \otimes | b ⟩ = v_{00} | 00 ⟩ + v_{01} | 01 ⟩ + v_{10} | 10 ⟩ + v_{11} | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} v_{00} \\ v_{01} \\ v_{10} \\ v_{11} \end{matrix}]

,

L'azione della porta su uno specifico stato quantistico si trova moltiplicando il vettore $| ψ_{1} ⟩$ che rappresenta lo stato, per la matrice $U$ che rappresenta la porta. Il risultato è un nuovo stato quantistico

| ψ_{2} ⟩ = U | ψ_{1} ⟩

Esempi importanti

Porta di Hadamard

La porta di Hadamard agisce su un singolo qubit. Ha il seguente effetto sugli stati di base $| 0 ⟩$ e $| 1 ⟩$ :

\begin{matrix} | 0 ⟩ & ⟶ \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}} \\ | 1 ⟩ & ⟶ \frac{| 0 ⟩ - | 1 ⟩}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Ciò significa che una misura dello stato in uscita avrà la stessa probabilità di dare 1 o 0 (cioè si crea una sovrapposizione). Rappresenta una rotazione di $π$ intorno all'asse $(\hat{x} + \hat{z}) / \sqrt{2}$ nella sfera di Bloch. Equivalentemente, è la combinazione di due rotazioni, di $π$ intorno all'asse Z, e poi di $π / 2$ intorno all'asse Y: $R_{y} (π / 2) R_{z} (π) = i H$ . Viene rappresentata dalla matrice di Hadamard:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]

.

Siccome $H H^{†} = I$ dove I è la matrice identità, H è una matrice unitaria (come tutte le porte logiche quantistiche).

Porta X di Pauli

Rappresentazione circuitale di una porta NOT

La porta X di Pauli agisce su un singolo qubit. È l'equivalente quantistico della porta NOT per i computer classici (rispetto alla base standard $| 0 ⟩$ , $| 1 ⟩$ , che distingue la direzione Z, nel senso che una misura dell'autovalore 1 corrisponde al classico 1 e una misura di -1 corrisponde a 0). Equivale a una rotazione di $π$ radianti intorno all'asse X della sfera di Bloch. Manda $| 0 ⟩$ in $| 1 ⟩$ e $| 1 ⟩$ in $| 0 ⟩$ . A causa di questa caratteristica, viene talvolta chiamata bit-flip. Viene rappresentata dalla prima delle matrici di Pauli:

X = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

.

Porta Y di Pauli

La porta Y di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di $π$ radianti attorno all'asse Y della sfera di Bloch. Manda $| 0 ⟩$ in $i | 1 ⟩$ e $| 1 ⟩$ in $- i | 0 ⟩$ . Viene rappresentata dalla seconda delle matrici di Pauli:

Y = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

.

Porta Z di Pauli ( $R_{π}$ )

La porta Z di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di $π$ radianti attorno all'asse Z della sfera di Bloch. Perciò, è un caso particolare di porta di phase shift con $ϕ = π$ . Lascia lo stato di base $| 0 ⟩$ invariato mentre manda $| 1 ⟩$ in $- | 1 ⟩$ . A causa di questa caratteristica, è talvolta chiamata phase-flip. Viene rappresentata dalla terza matrice di Pauli:

Z = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

.

Porte di phase shift

Si tratta di una famiglia di porte a singolo qubit che mandano gli stati di base $| 0 ⟩ \mapsto | 0 ⟩$ e $| 1 ⟩ \mapsto e^{i ϕ} | 1 ⟩$ . La probabilità di misurare uno $| 0 ⟩$ o $| 1 ⟩$ non cambia dopo aver applicato questa porta, tuttavia modifica la fase dello stato quantistico. È equivalente a tracciare un cerchio orizzontale (una linea di latitudine) sulla sfera di Bloch di $ϕ$ radianti.

R_{ϕ} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i ϕ} \end{matrix}]

dove $ϕ$ è il phase shift. Alcuni esempi comuni sono la porta T dove $ϕ = \frac{π}{4}$ , la porta S (anche se S si usa talvolta per le porte SWAP) dove $ϕ = \frac{π}{2}$ e la porta Z di Pauli dove $ϕ = π$ .

Le porte di phase gate sono correlate come segue:

Z = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i π} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

S = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \frac{π}{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}] = \sqrt{Z}

T = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \frac{π}{4}} \end{matrix}] = \sqrt{S} = \sqrt[4]{Z}

Note

1 2 3 4 5 (EN) Single Qubit Gates, su community.qiskit.org. URL consultato il 9 febbraio 2021.
↑ (EN) Artur Ekert, Patrick Hayden e Hitoshi Inamori, Basic concepts in quantum computation (PDF).

Bibliografia

Michael Nielsen e Isaac Chang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0521632358, OCLC 43641333.
Noson S. Yanofsky e Mirco Mannucci, Quantum computing for computer scientists, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-87996-5.

Voci correlate

Portale Informatica

Portale Quantistica

[:0-1] 1 2 3 4 5 (EN) Single Qubit Gates, su community.qiskit.org. URL consultato il 9 febbraio 2021.

[2] (EN) Artur Ekert, Patrick Hayden e Hitoshi Inamori, Basic concepts in quantum computation (PDF).

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