Qubit

Forma vettoriale

In accordo col primo postulato, un qubit è rappresentato da un vettore unitario di uno spazio di Hilbert.

La base ortonormale dello spazio, detta base computazionale, è data dai due stati

${\displaystyle \left|0\right\rangle =\left[{\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right]}$ e ${\displaystyle \left|1\right\rangle =\left[{\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right]}$,

da cui segue la rappresentazione dello stato del qubit come vettore unitario di dimensione 2

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left[{\begin{matrix}a\\b\\\end{matrix}}\right]}$.

Nel caso classico è sempre possibile esaminare un bit per determinare se esso sia nello stato ${\displaystyle (0)}$ o nello stato ${\displaystyle (1)}$. Nel caso quantistico, invece, non è possibile esaminare un qubit per determinarne lo stato, cioè per determinare i due coefficienti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Il risultato della misura è dettato dalla regola di Born, per cui la probabilità di trovare un sistema in uno dei suoi autostati, per esempio ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$, è data da

${\displaystyle p\left(0\right)=\left|\left\langle \psi |0\right\rangle \right|^{2}=|a|^{2}\left|\left\langle 0|0\right\rangle \right|^{2}=\left|a\right|^{2}}$.

Analogamente la probabilità di ottenere ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$ è data da

${\displaystyle p\left(1\right)=\left|b\right|^{2}}$.

Dopo la misurazione, il sistema viene proiettato su uno dei due autostati dagli operatori matriciali

${\displaystyle M_{0}=\left|0\right\rangle \left\langle 0\right|=\left[{\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&0\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle M_{1}=\left|1\right\rangle \left\langle 1\right|=\left[{\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0&1\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}}\right]}$

In questo modo l'operazione di misura agisce sul qubit restituendo lo stato finale

${\displaystyle {\frac {M_{0}\left|\psi \right\rangle }{\left|a\right|}}={\frac {1}{\left|a\right|}}\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a\\b\\\end{matrix}}\right]={\frac {a}{\left|a\right|}}\left[{\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right]={\frac {a}{\left|a\right|}}\left|0\right\rangle }$

dove il coefficiente ${\displaystyle {\frac {a}{\left|a\right|}}}$ è un fattore di fase che non incide sullo stato del sistema e che può essere, quindi, trascurato, consentendoci di ricavare lo stato finale.

Quantità di informazione

Esiste un numero infinito di combinazioni lineari della base ortonormale del qubit. Ciò permette, almeno in linea di principio, la rappresentazione in un unico qubit di una quantità arbitrariamente grande di informazione. Tuttavia, l'effettiva capacità di immagazzinamento di dati è limitata dal comportamento del qubit in fase di misurazione. Va tenuto presente, infatti, che l'esito della misurazione dello stato di un qubit può essere soltanto ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ oppure ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$. Inoltre, la misurazione del qubit ne cambia inesorabilmente lo stato, riducendo la sovrapposizione in uno dei due specifici stati rappresentati dai vettori della base computazionale così come prescritto dal terzo postulato della meccanica quantistica.

Come formalizzato nel teorema di Holevo, la quantità di informazione accessibile in un computer quantistico è limitata superiormente dall'entropia di von Neumann. Inoltre, a differenza dell'informatica classica, il teorema di no-cloning quantistico esclude la possibilità di duplicare uno stato quantistico a priori, ponendo un ulteriore limite all'informazione quantistica.

Entanglement

Il fatto che il risultato di una misura quantistica sia di natura probabilistica permette a combinazioni di qubit di sfruttare il fenomeno dell'entanglement. In condizione di entanglement, due qubit perdono la loro natura individuale per assumere una unità di coppia. In tale condizione lo stato di un qubit influenza lo stato dell'altro e viceversa. Ciò vuol dire che il risultato di una misura su un qubit fa collassare lo stato quantico anche del secondo qubit, permettendo di conoscerne l'esito di una misura. La possibilità di avere stati entangled e il principio di sovrapposizione sono le due caratteristiche principali che distinguono la computazione quantistica da quella classica.

Tempo di decoerenza

Lo stesso argomento in dettaglio: Decoerenza quantistica.

Con l'evoluzione temporale del sistema, qualsiasi qubit è portato a scambiare energia con l'ambiente, causando una perdita di coerenza quantistica. A partire da questa considerazione, si può definire il tempo di decoerenza, il quale, insieme al tasso di errore, rappresenta uno dei parametri più importanti per il funzionamento del qubit. La perdita di coerenza può avvenire attraverso due canali, ciascuno caratterizzato da un proprio tempo caratteristico: il tempo di rilassamento ${\displaystyle T_{1}}$, corrispondente al decadimento dallo stato ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$ allo stato ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$, e il tempo di perdita di fase ${\displaystyle T_{\phi }}$, dove viene meno l'informazione della fase relativa tra i due autostati. La somma di questi due effetti porta alla definizione del tempo di decoerenza del qubit come:

${\displaystyle {\frac {1}{T_{2}}}={\frac {1}{2T_{1}}}+{\frac {1}{T_{2}}}}$

A seconda della particolare piattaforma fisica con cui il qubit è implementato, il tempo di coerenza può spaziare dalle decine di μs, come nel caso dei superconduttori, a diversi minuti, come per le trappole ioniche.

Operazioni logiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Porta quantistica.

Un'operazione di calcolo su un qubit corrisponde alla trasformazione da uno stato quantico di partenza a un altro stato. Tale operazione è analoga alle porte logiche classiche, e prende dunque il nome di porta quantistica. Matematicamente, le porte quantistiche sono descritte da matrici unitarie, e possono agire su uno o più qubit. Le porte a singolo qubit più comuni sono le porte X, Y, Z di Pauli e la porta di Hadamard. Le prime tre corrispondono a rotazioni di ${\displaystyle \pi }$ radianti attorno al corrispettivo asse della sfera di Bloch, mentre l'ultima permette di creare una sovrapposizione dei due stati con peso uguale. A differenza della controparte classica, le porte quantistiche sono sempre reversibili: è possibile risalire allo stato di input dato l'output. La dimensione della matrice di una porta che agisce su n qubit è ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$.

Superconduttori

I qubit superconduttori sfruttano una giunzione Josephson per generare un sistema a due livelli per effetto tunnel quando attraversati da correnti alternate nelle microonde a temperature criogeniche. I materiali generalmente utilizzati sono il niobio e l'alluminio.

Trappole ioniche

Tramite dei laser specializzati è possibile confinare nello spazio gli ioni e sfruttarne i livelli energetici discretizzati per fabbricare un qubit.

Quantum dot

Lo stesso argomento in dettaglio: Quantum dot.

Le proprietà di confinamento quantistico degli elettroni permettono di alterare i suoi livelli energetici, generando un atomo artificiale che può essere utilizzato per il qubit.

Qubit topologici

I qubit topologici sfruttano le proprietà di quasiparticella degli elettroni attraverso appositi circuiti semiconduttori.

Computazione quantistica

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