Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali $𝒱, 𝒲$ e un operatore lineare $ℒ : 𝒱 \to 𝒲$ , ad ogni tensore $T \in 𝐓_{q}^{p} (𝒲)$ associa un tensore dello stesso tipo su $𝒱$ . Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di $𝒱, 𝒲$ si considerino due varietà lisce $ℳ, 𝒩$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare $ℒ$ un'applicazione liscia $Φ : ℳ \to 𝒩$ e al tensore $T$ un campo tensoriale liscio su $𝒩$ .

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione $Φ$ ) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.

Esempi

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano $ℳ, 𝒩$ due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, $Φ : ℳ \to 𝒩$ e $f : 𝒩 \to ℝ$ . Il pull-back di $f$ tramite $Φ$ che si denoterà $Φ^{*} f : ℳ \to ℝ$ risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

f \circ Φ = f (Φ) .

Ora consideriamo due spazi vettoriali $𝒱, 𝒲$ con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali $𝒱^{*}, 𝒲^{*}$ ; sia $α \in 𝒲^{*}$ e $ℒ : 𝒱 \to 𝒲,$ allora il pull-back di $α$ tramite $ℒ$ definito come $ℒ^{*} : 𝒲^{*} \to 𝒱^{*},$ cioè $ℒ^{*} α \in 𝒱^{*}$ e tale che per ogni $v \in 𝒱$ sia così definito:

⟨ v, ℒ^{*} α ⟩ := ⟨ ℒ v, α ⟩ .

L'operatore $ℒ^{*}$ prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back, cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo $(0, 0)$ , cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo $(0, 1)$ su $𝒲$ .

Pull-back di tensori (0,p)

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo $(0, 1)$ ed anche in questo caso gli spazi vettoriali $𝒱, 𝒲$ potranno non avere la stessa dimensione e quindi $ℒ$ non essere invertibile. Consideriamo $T \in 𝐓_{p}^{0} (𝒲),$ allora si definisce $ℒ^{*} T \in 𝐓_{p}^{0} (𝒱)$ in questo modo: dati $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{p} \in 𝒱$ si ha

ℒ^{*} T (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{p}) := T (ℒ v_{1}, ℒ v_{2}, \dots, ℒ v_{p}) .

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se si considera l'applicazione multilineare così definita:

ϕ : 𝒲^{*} \times 𝒲^{*} \times \dots \times 𝒲^{*} \to \otimes^{p} 𝒱^{*}

ϕ (β^{1}, \dots, β^{p}) = ℒ^{*} β^{1} \otimes \dots \otimes ℒ^{*} β^{p},

con $β^{i} \in 𝒲^{*},$ per $i = 1, \dots, p,$ , per la proprietà universale di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

\otimes^{p} ℒ^{*} : \otimes^{p} 𝒲^{*} \to \otimes^{p} 𝒱^{*}

tale che

\otimes^{p} ℒ^{*} (β^{1} \otimes \dots \otimes β^{p}) = ℒ^{*} β^{1} \otimes \dots \otimes ℒ^{*} β^{p} .

Ora ricordando che ogni $T \in 𝐓_{p}^{0} (𝒲)$ , data una base $η_{i} \in 𝒲^{*},$ per $i = 1, \dots, p,$ di $𝒲^{*}$ , ammette un'unica scrittura del tipo $T^{i_{1}, \dots, i_{p}} η_{i_{1}} \otimes \dots \otimes η_{i_{p}}$ , dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora si considerano due varietà lisce $ℳ, 𝒩$ con dimensione rispettivamente $m$ e $n,$ un'applicazione $Φ : ℳ \to 𝒩$ liscia e un campo tensoriale $T \in 𝐓_{p}^{0} 𝒩$ liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trasferire" il campo tensoriale su $ℳ$ .

Ogni applicazione $Φ$ liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata $T Φ : T ℳ \to T 𝒩$ , tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di $ℳ$ , in un punto $M$ , fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di $𝒩$ nel punto immagine $Φ (M)$ . Questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione $Φ$ .

Grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti $Φ^{*} T \in 𝐓_{p}^{0} ℳ$ è così definito:

Φ^{*} T |_{M} (X_{1}, \dots, X_{p}) = T |_{Φ (M)} (T Φ X_{1}, \dots, T Φ X_{p}),

dove $M$ è un punto sulla varietà $ℳ$ e $X_{1}, \dots, X_{p} \in T ℳ$ .

Pull-back di tensori arbitrari

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso si hanno due spazi vettoriali $𝒱, 𝒲$ con dimensione uguale, un isomorfismo $ℒ : 𝒱 \to 𝒲$ , e un tensore $T \in 𝐓_{q}^{p} 𝒲$ ; il pull-back, dati $β^{1}, \dots, β^{p} \in 𝒱^{*}$ e $v_{1}, \dots, v_{q} \in 𝒱$ , per definizione è

ℒ^{*} T (β^{1}, \dots, β^{p}, v_{1}, \dots, v_{q}) = T ({ℒ^{*}}^{- 1} β^{1}, \dots, {ℒ^{*}}^{- 1} β^{p}, ℒ v_{1}, \dots, ℒ v_{q}),

dove ${ℒ^{*}}^{- 1}$ indica l'inverso dell'aggiunto che esiste perché ${ℒ^{- 1}}^{*} = {ℒ^{*}}^{- 1},$ infatti

ℒ^{*} : 𝒲^{*} \to 𝒱^{*},

{ℒ^{*}}^{- 1} : 𝒱^{*} \to 𝒲^{*} .

Quindi la definizione è ben posta e nel caso di tensori $(0, q)$ coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta $ℳ, 𝒩$ devono la stessa dimensione e la funzione $Φ$ deve essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su $𝒩$ , il suo pull-back risulta essere

Φ^{*} T |_{M} (α^{1}, \dots, α^{p}, X_{1}, \dots, X_{q}) = T |_{Φ (M)} (T Φ^{* - 1} α^{1}, \dots, T Φ^{* - 1} α^{p}, T Φ X_{1}, \dots, T Φ X_{q}),

dove $T Φ$ indica sempre l'applicazione tangente e $α^{i} \in T^{*} ℳ X_{j} \in T ℳ$ .

Esempio

Si consideri il pull-back di un campo vettoriale $X \in T 𝒩$ ; da quanto detto risulta:

Φ^{*} X = T Φ^{- 1} X \in ℳ .

Sia ora $γ : I \in ℝ \to 𝒩$ tale che $\frac{d γ}{d t} = X, \forall t \in I,$ e $γ (0) = N_{0}$ , cioè la soluzione del problema di Cauchy su $𝒩$ con dato iniziale $N_{0}$ .

Allora si ha che $Φ^{- 1} \circ γ$ è soluzione del problema di Cauchy su $ℳ$ con dato iniziale $M_{0} = Φ^{- 1} (N_{0})$ del campo vettoriale $Φ^{*} X$ . Quindi se ora si considera il flusso $Ψ_{t}^{X}$ indotto dal campo vettoriale $X$ su $𝒩$ , il rispettivo flusso del campo vettoriale $T Φ^{- 1} X$ su $ℳ$ risulta essere $Φ^{- 1} \circ Ψ_{t}^{X} \circ Φ$ .

Espressione sulle basi del pull-back

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti, cioè indipendenti dalla scelta di basi.

In questa sezione si mostra invece qual è l'espressione del pull-back sulle basi. Siano $e_{1}, \dots, e_{n} \in 𝒱$ e $η^{1}, \dots, η^{n} \in 𝒱^{*}$ una base su $𝒱$ e la rispettiva base duale su $𝒱^{*}$ , e siano $f_{1}, \dots, f_{n} \in 𝒲$ e $φ^{1}, \dots, φ^{n} \in 𝒲^{*}$ una base su $𝒲$ e la duale su $𝒲^{*}$ . L'operatore $ℒ : 𝒱 \to 𝒲$ rispetto a queste basi ha rappresentazione

ℒ e_{i} = ℒ_{i}^{j} f_{j},

con $j$ indice di riga e $i$ di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein (per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza $ℒ^{*}$ si rappresenta

ℒ^{*} φ^{i} = ℒ_{j}^{i} η^{j}

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente $(ℒ^{*} T)_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}}$ su tale base risulta

ℒ^{*} T (η^{i_{1}}, \dots, η^{i_{q}}, e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{p}},) = T (ℒ_{r_{1}}^{- 1 i_{1}} φ^{r_{1}}, \dots, ℒ_{r_{p}}^{- 1 i_{p}} φ^{r_{p}}, ℒ_{j_{1}}^{s_{1}} f_{s_{1}}, \dots, ℒ_{j_{q}}^{s_{q}} f_{s_{q}}) = ℒ_{r_{1}}^{- 1 i_{1}} \dots ℒ_{r_{p}}^{- 1 i_{p}} T_{s_{1} \dots s_{q}}^{r_{1} \dots r_{p}} ℒ_{j_{1}}^{s_{1}} \dots ℒ_{j_{q}}^{s_{q}},

dove $T_{s_{1} \dots s_{q}}^{r_{1} \dots r_{p}} = T (φ^{i_{1}}, \dots, φ^{i_{p}}, f_{j_{1}}, \dots, f_{j_{q}}) .$

Notiamo che se $𝒲 = 𝒱$ , allora $ℒ$ è l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensori rispetto al cambio di base.

Composizione del pull-back

Sia data una terza varietà $Q$ e un diffeomorfismo $Ψ : 𝒩 \to 𝒬,$ allora il pull-back di un campo tensoriale $T \in 𝐓_{q}^{p} Q$ su $ℳ$ è il pull-back della composizione di funzioni $Ψ \circ Φ$ che è un diffeomorfismo tra $ℳ$ e $𝒬$ e dato che l'applicazione tangente $T (Ψ \circ Φ) = T Ψ \circ T Φ$ , si ha la seguente relazione:

(Ψ \circ Φ)^{*} T = Φ^{*} Ψ^{*} T .

Da questa relazione, dato che il pull-back della funzione identità è l'identità, si ha:

Φ^{- 1 *} = Φ^{* - 1} .

Pull-back commuta con la derivata esterna

Date due varietà $ℳ, 𝒩$ , una funzione liscia $Φ : ℳ \to 𝒩$ , una q-forma $θ$ su $ℳ$ , si ha la seguente uguaglianza:

Φ^{*} 𝐝 θ = 𝐝 Φ^{*} θ,

dove $𝐝$ indica la derivata esterna.

Si noti che è un'uguaglianza tra $(q + 1)$ -forme su $ℳ$ , difatti questa relazione è verificata se è vera l'uguaglianza tra:

Φ^{*} d f = d Φ^{*} f,

dove $f$ è una funzione scalare liscia su $𝒩$ (quindi può essere vista come una 0-forma su $𝒩$ ). Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

Φ^{*} d f = d f \circ T Φ = d (f \circ Φ) .

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una $q$ -forma $Ω = ω_{i_{1} \dots i_{q}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{q}}$ è:

d Ω = \frac{\partial ω_{i_{1} \dots i_{q}}}{\partial x^{j}} d x^{j} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{q}},

con $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{q},$ e $ω : 𝒩 \to ℝ$ liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Pull-back e derivata di Lie

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore $T$ lungo un campo vettoriale $X$ , vi è la seguente relazione:

ℒ_{Φ^{*} X} Φ^{*} T = Φ^{*} ℒ_{X} T .

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che $Φ^{* - 1}$ non dipende dal tempo; da cui:

ℒ_{Φ^{*} X} Φ^{*} T = \frac{d}{d t} Φ^{*} Ψ_{t}^{X *} Φ^{- 1 *} Φ^{*} T = Φ^{*} \frac{d}{d t} Ψ_{t}^{X *} T = Φ^{*} ℒ_{X} T .

Bibliografia

Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993. Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1. For generalizations to infinite dimensions.
Lang, S., Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98593-0. For generalizations to infinite dimensions.

Voci correlate

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