Spirale

Lunghezza

Nota la funzione ${\displaystyle r(\theta )}$ con la quale varia il modulo del vettore posizione, è possibile parametrizzare la curva nel piano ${\displaystyle XY}$ con le coordinate polari ${\displaystyle (x,y)=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })}$, e quindi svolgere l'integrale curvilineo per determinare la lunghezza ${\displaystyle l}$ della curva ${\displaystyle C=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })}$, in cui ricordiamo che ${\displaystyle r=f(\theta )}$:

${\displaystyle l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}|C'(\theta )|\mathrm {d} \theta .}$

Derivando la funzione ${\displaystyle C}$ abbiamo che

${\displaystyle C'(\theta )=(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta },r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta }),}$

e prendendone il modulo:

${\displaystyle |C'(\theta )|={\sqrt {(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta })^{2}+(r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta })^{2}}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })+r^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )+r^{2}(\theta )}}.}$

Integrando quindi tra gli angoli ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$ l'espressione trovata, che sarebbe il modulo della tangente alla curva spirale, si ottiene la lunghezza della curva stessa:

${\displaystyle l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}(\theta )+r'^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta .}$

Spirale sferica

Una spirale sferica (lossodromia) è la curva su una sfera tracciata da una nave che viaggia da un polo a un altro mantenendo un angolo fisso (ma non un angolo retto) rispetto ai meridiani, cioè mantenendo la stessa direzione. La curva ha infinite rivoluzioni, con distanza decrescente man mano che si avvicina a ciascuno dei poli.