Cerchi di Yff

Nella geometria del triangolo, cerchi di Yff sono due triplette di cerchi di Johnson (cioè congruenti e intersecantesi in un unico punto) di cui ogni cerchio è tangente a due lati del triangolo. Per il teorema di Johnson inoltre ciascuna tripletta individua anche un cerchio di Johnson-Yff.

Due triplette

Esistono due tipi di cerchi di Yff:

i primi, con centri indicati con Y sono contenuti interamente all'interno del perimetro del triangolo, il loro punto d'incontro è X(55) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1478);
i secondi, concentri indicati con Z sono semplicemente tangenti ai lati o ai loro prolungamenti, il loro punto d'incontro è X(56) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1479);

noti inoltre, l'inraggio r e il circumraggio R i loro raggi dei cerchi di Yff o Johnson-Yff sono:

ρ_{Y} = \frac{R r}{R + r}

;

ρ_{Z} = \frac{R r}{R - r}

il rapporto fra i due raggi è: $\frac{R - r}{R + r}$

per quanto riguarda invece le coordinate trilineari dei centri queste diventano

O_{a} \frac{2 Δ - (b + c) ρ}{a} : ρ : ρ

O_{b} ρ : \frac{2 Δ - (a + c) ρ}{b} : ρ

O_{c} ρ : ρ : \frac{2 Δ - (a + b) ρ}{c}

in cui basta semplicemente cambiare con il raggio ρ omologo.

Centri

X(55)

X₍₅₅₎ è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a(s - a) : b(s - b) : c(s - c)

coordinate baricentriche

a²(s - a) : b²(s - b) : c²(s - c)

il punto è anche il centro di omotetia del triangolo tangenziale, del triangolo intangente, ed extangente.

X(56)

X₍₅₆₎ è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a/(s - a) : b/(s - b) : c/(s - c).

coordinate baricentriche

a²/(s - a) : b²/(s - b) : c²/(s - c)

X(1478)

X₍₁₄₇₈₎ è il centro del cerchio di Johnson-Yff di prima specie che forma con i punti Y_a, Y_b, Y_b, un sistema ortico; le sue coordinate trilineari:

f(A,B,C) : f(B,C,A) : f(C,A,B),

coordinate baricentriche:

(sin α)f(A,B,C) : (sin β)f(B,C,A) : (sin γ)f(C,A,B)

dove f(A,B,C) = 1 + 2 cos B cos C.

X(1479)

Note

1 2 S è il semiperimetro

Voci correlate

Cerchi di Johnson

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Yff Circles, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) (EN) Clark Kimberling, X₅₅, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₅₆, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₁₄₇₈, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₁₄₇₉, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.

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