Funkcja σ

Funkcja σ (sigma), niekiedy $d (n)$ – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo: $σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.$

Sumę $k$ -tych potęg dzielników oznacza się przez $σ_{k} (n),$ na przykład $σ_{0} (n)$ to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie $σ (n) = 2 n$ nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność $σ (n) > 2 n$ nadmiarowymi, a nierówność $σ (n) < 2 n$ deficytowymi.

Twierdzenie

Jeśli $n \in ℕ$ ma rozkład na czynniki pierwsze postaci $n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{k}^{α_{k}},$ to

σ (n) = \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \cdot \frac{p_{2}^{α_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} \cdot \dots \cdot \frac{p_{k}^{α_{k} + 1} - 1}{p_{k} - 1} .

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby $n$ można przestawić w postaci:

d = p_{1}^{λ_{1}} p_{2}^{λ_{2}} \dots p_{k}^{λ_{k}},

gdzie:

λ_{i} \in ℤ, 0 ⩽ λ_{i} ⩽ α_{i} .

(1)

Ponieważ różnym układom liczb $λ_{1} \dots λ_{k}$ spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki $n,$ więc:

σ (n) = \sum p_{1}^{λ_{1}} p_{2}^{λ_{2}} \dots p_{k}^{λ_{k}},

(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

σ (n) = (1 + p_{1}^{1} + \dots + p_{1}^{α_{1}}) (1 + p_{2}^{1} + \dots + p_{2}^{α_{2}}) \dots (1 + p_{k}^{1} + \dots + p_{k}^{α_{k}}) .

Z kolei $i$ -ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie $p_{i},$ więc

1 + p_{i}^{1} + \dots + p_{i}^{α_{i}} = \frac{p_{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1} .

Stąd teza.

Bibliografia

Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: Monografie Matematyczne (19). [dostęp 2009-01-05].
Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 7.