Funkcja Mertensa

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:

M (n) = \sum_{1 ⩽ k ⩽ n} μ (k),

gdzie $μ (k)$ jest funkcją Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej $k$ zachodzi $μ (k) ⩽ 1,$ zatem $M (n) ⩽ n$ .

Przypuszczenie Mertensa

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego $n$

| M (n) | < \sqrt{n}

.

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między $1 0^{16}$ a $e^{3.21 \times 1 0^{64}}$ . Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego $ϵ > 0$ poniższego wzoru:

M (n) = O (n^{\frac{1}{2} + ϵ})

.

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem $+ 1$ i $- 1,$ to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

\int_{0}^{x} \frac{d u}{\ln (u)} + O (x^{θ} \ln (x)),

gdzie theta oznacza półpłaszczyznę

ℜ (s) > θ,

gdzie

s

to argument funkcji dzeta Riemanna.

Wzory

Związek pomiędzy funkcją dzeta Riemanna a funkcją Mertensa wynika ze wzoru

\frac{1}{ζ (s)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{μ (n)}{n^{s}} .

$M (n) = \sum_{a \in ℱ_{n}} e^{2 π i a},$ gdzie $ℱ_{n}$ oznacza $n$ -ty ciąg Fareya.
M(n) to wyznacznik $n$ -tej macierzy Redheffera, w której $a_{i j} = 1,$ gdy $j = 1$ lub $i$ dzieli $j,$ a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji

Osoba	Rok	Granica obliczeń
Mertens	1897	10⁴
von Sterneck	1897	1,5×10⁵
von Sterneck	1901	5×10⁵
von Sterneck	1912	5×10⁶
Neubauer	1963	10⁸
Cohen, Dress	1979	7,8×10⁹
Dress	1993	10¹²
Lioen, van de Lune	1994	10¹³
Kotnik, van de Lune	2003	10¹⁴
Hurst	2016	10¹⁶

Przypisy

↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
1 2 3 4 5 6 TadejT. Kotnik TadejT., Jan van deJ. Lune Jan van deJ., On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10] .
1 2 3 4 5 GregG. Hurst GregG., Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10] .
1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ J.J. Pintz J.J., An effective disproof of the Mertens conjecture, 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang.).

Bibliografia

Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)

[1] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[:0-2] 1 2 3 4 5 6 TadejT. Kotnik TadejT., Jan van deJ. Lune Jan van deJ., On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10] .

[:1-3] 1 2 3 4 5 GregG. Hurst GregG., Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10] .

[:2-4] 1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[5] J.J. Pintz J.J., An effective disproof of the Mertens conjecture, 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang.).