Silnia

Wybrane wartości silni
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 10²⁵
50	~3,041 409 32 · 10⁶⁴
70	~1,197 857 167 · 10¹⁰⁰
100	~9,332 621 544 · 10¹⁵⁷
450	~1,733 368 733 · 10¹⁰⁰⁰
1000	~4,023 872 601 · 10²⁵⁶⁷
10 000	~2,846 259 681 · 10^{35 659}
100 000	~2,824 229 408 · 10^{456 573}
1 000 000	~8,263 931 688 · 10^{5 565 708}
10 000 000	~1,202 423 401 · 10^{65 657 059}
10¹⁰⁰	~10^{9,956 570 552 · 10¹⁰¹}

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich kolejnych dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. Często przyjmuje się także dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1, choć nie wynika to bezpośrednio z samej powyższej definicji.

Notacja

Do oznaczania silni liczby (naturalnej) $n$ , powszechnie stosuje się zapis $n!$ . Na przykład, dla liczb $1$ oraz $2$ , jest to odpowiednio: $1!$ oraz $2!$ . Zapis ten (np. dla liczb $1$ oraz $2$ ) odczytuje się w sposób (odpowiednio): „jeden silnia”, „dwa silnia” itd. (ogólnie także, dla $n!$ : „en silnia”).

Definicje silni

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

! : ℕ_{⩾ 0} \to ℕ_{⩾ 1}

Definicja 1

Silnią liczby naturalnej dodatniej $n$ nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz dodatkowo przyjmuje się $0! = 1$ , tj.

n! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n & dla n ⩾ 1 \end{matrix}

co można zapisać równoważnie używając greckiej litery $Π$ :

n! = \prod_{k = 1}^{n} k

Definicja 2

Definicja rekurencyjna silni:

n! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 \\ n \cdot (n - 1)! & dla n ⩾ 1 \end{matrix}

Przykłady

1! = 1

2! = 1 \cdot 2 = 2

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

Obliczanie komputerowe

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla $n = 13.$ Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla $n = 21.$

n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Problem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.

Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu

Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.

(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^{2}} + \dots)

(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych $n$ można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

\ln (n!) \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2 π n) .

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

n! = o (n^{n}),

gdzie $o$ to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości $n$ wartość $n!$ jest coraz mniejsza od $n^{n};$ formalnie wyraża to wzór:

lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n}} = 0

.

Symbol $lim_{n \to \infty}$ oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

n! = \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} e^{α_{n}},

gdzie wykładnik $α_{n}$ spełnia nierówności

\frac{1}{12 n + 1} ⩽ α_{n} ⩽ \frac{1}{12 n}

Właściwości

Podstawowa własność silni

n! = n \cdot (n - 1)!

Tempo wzrostu silni

Wzrost funkcji $n!$ wraz ze wzrostem $n$ jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji $e^{n}$ , ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki) $e^{e^{n}}$ .

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do $n^{n + 1 / 2} \approx n^{n},$ ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego $e^{n}$ .

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze $p_{i}, i = 1, 2, \dots, k$ takie że

n! = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{α_{i}} = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{α_{k}},

to wykładnik liczby pierwszej $p_{i}$ oblicza się ze wzoru

α_{i} = \sum_{j = 1}^{⌊ \log_{p_{i}} n ⌋} ⌊ \frac{n}{p_{i}^{j}} ⌋,

gdzie $⌊ x ⌋$ oznacza część całkowitą liczby $x .$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

f (n) = \sum_{i = 1}^{k} ⌊ \frac{n}{5^{i}} ⌋ = ⌊ \frac{n}{5^{1}} ⌋ + ⌊ \frac{n}{5^{2}} ⌋ + ⌊ \frac{n}{5^{3}} ⌋ + \dots + ⌊ \frac{n}{5^{k}} ⌋,

przy czym $k$ wyznacza się z nierówności

5^{k} ⩽ n < 5^{k + 1} .

Przykłady

(1) Dla $n = 26$ mamy $5^{2} < 26 < 5^{3}$ , czyli $k = 2;$ liczba $26!$ ma na końcu

f (26) = ⌊ \frac{26}{5} ⌋ + ⌊ \frac{26}{5^{2}} ⌋ = 5 + 1 = 6

zer.

Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż

26! = 403 291461 126605 635584 000000

(2) Jeżeli $n < 5,$ to nierówności są spełnione przez $k = 0;$ w tym wypadku mamy $f (n) = 0,$ co oznacza że silnie liczb $< 5$ nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!,$
geometria $n$ -wymiarowa, np. stosunek miary $n$ -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!,$
kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$ -elementowego jest równa $n! .$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Faktorion

Osobny artykuł: Faktorion.

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr danego systemu liczbowego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności w systemie dziesiętnym: $1$ , $2$ , $145$ i $40585$ .

Funkcja gamma

Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną

Γ (z + 1) = z \cdot Γ (z) .

Ponieważ $Γ (1) = 1$ , więc z powyższego wynika

Γ (n + 1) = n!

dla wszystkich liczb naturalnych $n .$

Funkcja $Γ$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna

Osobny artykuł: Silnia podwójna.

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n .$ Silnię podwójną oznacza się $n!! .$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

n!! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 lub n = 1 \\ n \cdot (n - 2)!! & dla n ⩾ 2 \end{matrix}

Przykład:

8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384

9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

Własności podwójnej silni:

n! = n!! (n - 1)!!

(2 n)!! = 2^{n} n!

(2 n + 1)!! = \frac{(2 n + 1)!}{(2 n)!!} = \frac{(2 n + 1)!}{2^{n} n!}

Zależność od funkcji gamma:

(2 n - 1)!! = Γ (n + \frac{1}{2}) (\frac{2^{n}}{\sqrt{π}})

gdyż

Γ (n + \frac{1}{2}) = \sqrt{π} \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n}} .

Silnia wielokrotna

Osobny artykuł: Silnia wielokrotna.

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną $n!!!$ , poczwórną $n!^{(4)}$ i ogólnie, silnię $k$ -tą, $k = 1, 2, \dots$ , którą oznaczamy symbolem $n!^{(k)} .$ Definiuje się ją następująco:

n!^{(k)} = {\begin{matrix} 1 & gdy n = 0 \\ n & gdy 0 < n ⩽ k \\ n \cdot (n - k)!^{(k)} & gdy n > k \end{matrix}

Czyli np.:

n! = n (n - 1) (n - 2) \dots 2 \cdot 1

n!! = n (n - 2) (n - 4) \dots

n!!! = n (n - 3) (n - 6) \dots

n!^{(4)} = n (n - 4) (n - 8) \dots

Przypisy

↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
1 2 3 4 Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 191.
↑ Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).
↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 192.
↑ Abramowitz i Stegun 1970 ↓, s. 255.
1 2 Weisstein i Doublefactorial ↓.
↑ Weisstein i Multifactorial ↓.

Bibliografia

M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington 1970, str. 255 .
I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019, str. 191-193. .
Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Double Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26] (ang.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multifactorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26] (ang.).
How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022 (ang.).
http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)

Wybrane wartości silni
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 10²⁵
50	~3,041 409 32 · 10⁶⁴
70	~1,197 857 167 · 10¹⁰⁰
100	~9,332 621 544 · 10¹⁵⁷
450	~1,733 368 733 · 10¹⁰⁰⁰
1000	~4,023 872 601 · 10²⁵⁶⁷
10 000	~2,846 259 681 · 10^{35 659}
100 000	~2,824 229 408 · 10^{456 573}
1 000 000	~8,263 931 688 · 10^{5 565 708}
10 000 000	~1,202 423 401 · 10^{65 657 059}
10¹⁰⁰	~10^{9,956 570 552 · 10¹⁰¹}

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz przyjmuje się dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1.

Stosuje się zapis $n!,$ $2!$ itd., który odczytuje się „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Definicje silni

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

! : ℕ_{⩾ 0} \to ℕ_{⩾ 1}

Definicja 1

Silnią liczby naturalnej dodatniej $n$ nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz dodatkowo przyjmuje się $0! = 1$ , tj.

n! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n & dla n ⩾ 1 \end{matrix}

co można zapisać równoważnie używając greckiej litery $Π$ :

n! = \prod_{k = 1}^{n} k

Definicja 2

Definicja rekurencyjna silni:

n! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 \\ n \cdot (n - 1)! & dla n ⩾ 1 \end{matrix}

Przykłady

1! = 1

2! = 1 \cdot 2 = 2

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

Obliczanie komputerowe

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla $n = 13.$ Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla $n = 21.$

n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Problem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.

Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu

Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.

(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^{2}} + \dots)

(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych $n$ można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

\ln (n!) \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2 π n) .

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

n! = o (n^{n}),

gdzie $o$ to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości $n$ wartość $n!$ jest coraz mniejsza od $n^{n};$ formalnie wyraża to wzór:

lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n}} = 0

.

Symbol $lim_{n \to \infty}$ oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

n! = \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} e^{α_{n}},

gdzie wykładnik $α_{n}$ spełnia nierówności

\frac{1}{12 n + 1} ⩽ α_{n} ⩽ \frac{1}{12 n}

Właściwości

Podstawowa własność silni

n! = n \cdot (n - 1)!

Tempo wzrostu silni

Wzrost funkcji $n!$ wraz ze wzrostem $n$ jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji $e^{n}$ , ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki) $e^{e^{n}}$ .

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do $n^{n + 1 / 2} \approx n^{n},$ ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego $e^{n}$ .

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze $p_{i}, i = 1, 2, \dots, k$ takie że

n! = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{α_{i}} = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{α_{k}},

to wykładnik liczby pierwszej $p_{i}$ oblicza się ze wzoru

α_{i} = \sum_{j = 1}^{⌊ \log_{p_{i}} n ⌋} ⌊ \frac{n}{p_{i}^{j}} ⌋,

gdzie $⌊ x ⌋$ oznacza część całkowitą liczby $x .$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

f (n) = \sum_{i = 1}^{k} ⌊ \frac{n}{5^{i}} ⌋ = ⌊ \frac{n}{5^{1}} ⌋ + ⌊ \frac{n}{5^{2}} ⌋ + ⌊ \frac{n}{5^{3}} ⌋ + \dots + ⌊ \frac{n}{5^{k}} ⌋,

przy czym $k$ wyznacza się z nierówności

5^{k} ⩽ n < 5^{k + 1} .

Przykłady

(1) Dla $n = 26$ mamy $5^{2} < 26 < 5^{3}$ , czyli $k = 2;$ liczba $26!$ ma na końcu

f (26) = ⌊ \frac{26}{5} ⌋ + ⌊ \frac{26}{5^{2}} ⌋ = 5 + 1 = 6

zer.

Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż

26! = 403 291461 126605 635584 000000

(2) Jeżeli $n < 5,$ to nierówności są spełnione przez $k = 0;$ w tym wypadku mamy $f (n) = 0,$ co oznacza że silnie liczb $< 5$ nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!,$
geometria $n$ -wymiarowa, np. stosunek miary $n$ -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!,$
kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$ -elementowego jest równa $n! .$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Faktorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.

Funkcja gamma

Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną

Γ (z + 1) = z \cdot Γ (z) .

Ponieważ $Γ (1) = 1$ , więc z powyższego wynika

Γ (n + 1) = n!

dla wszystkich liczb naturalnych $n .$

Funkcja $Γ$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna

Osobny artykuł: Silnia podwójna.

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n .$ Silnię podwójną oznacza się $n!! .$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

n!! = {\begin{matrix} 1 & dla n = 0 lub n = 1 \\ n \cdot (n - 2)!! & dla n ⩾ 2 \end{matrix}

Przykład:

8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384

9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

Własności podwójnej silni:

n! = n!! (n - 1)!!

(2 n)!! = 2^{n} n!

(2 n + 1)!! = \frac{(2 n + 1)!}{(2 n)!!} = \frac{(2 n + 1)!}{2^{n} n!}

Zależność od funkcji gamma:

(2 n - 1)!! = Γ (n + \frac{1}{2}) (\frac{2^{n}}{\sqrt{π}})

gdyż

Γ (n + \frac{1}{2}) = \sqrt{π} \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n}} .

Silnia wielokrotna

Osobny artykuł: Silnia wielokrotna.

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną $n!!!$ , poczwórną $n!^{(4)}$ i ogólnie, silnię $k$ -tą, $k = 1, 2, \dots$ , którą oznaczamy symbolem $n!^{(k)} .$ Definiuje się ją następująco:

n!^{(k)} = {\begin{matrix} 1 & gdy n = 0 \\ n & gdy 0 < n ⩽ k \\ n \cdot (n - k)!^{(k)} & gdy n > k \end{matrix}

Czyli np.:

n! = n (n - 1) (n - 2) \dots 2 \cdot 1

n!! = n (n - 2) (n - 4) \dots

n!!! = n (n - 3) (n - 6) \dots

n^{(4)}! = n (n - 4) (n - 8) \dots

Przypisy

↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
1 2 3 4 Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 191.
↑ Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).
↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 192.
↑ Abramowitz i Stegun 1970 ↓, s. 255.
1 2 Weisstein i Doublefactorial ↓.
↑ Weisstein i Multifactorial ↓.

Bibliografia

M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington 1970, str. 255 .
I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019, str. 191-193. .
Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

Zobacz hasło silnia w Wikisłowniku

Zobacz publikację
tabelę początkowych wartości silni w Wikibooks

Zobacz publikację
kod źródłowy programu obliczającego silnię w Wikibooks

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Double Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26] (ang.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multifactorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26] (ang.).
How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022 (ang.).
http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)

[1] Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .

[CITEREFBronsztejnSiemiendiajew2019191-2] 1 2 3 4 Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 191.

[3] Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.

[4] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

[CITEREFBronsztejnSiemiendiajew2019192-5] Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 192.

[CITEREFAbramowitzStegun1970255-6] Abramowitz i Stegun 1970 ↓, s. 255.

[CITEREFWeissteinDoublefactorial-7] 1 2 Weisstein i Doublefactorial ↓.

[CITEREFWeissteinMultifactorial-8] Weisstein i Multifactorial ↓.

[9] Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .

[CITEREFBronsztejnSiemiendiajew2019191-10] 1 2 3 4 Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 191.

[11] Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.

[12] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

[CITEREFBronsztejnSiemiendiajew2019192-13] Bronsztejn i Siemiendiajew 2019 ↓, s. 192.

[CITEREFAbramowitzStegun1970255-14] Abramowitz i Stegun 1970 ↓, s. 255.

[CITEREFWeissteinDoublefactorial-15] 1 2 Weisstein i Doublefactorial ↓.

[CITEREFWeissteinMultifactorial-16] Weisstein i Multifactorial ↓.