Splot Dirichleta

Splot Dirichleta – dla funkcji arytmetycznych f i g jest to funkcja określona wzorem

(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (d) g (n / d),

gdzie suma rozciąga się po wszystkich dodatnich dzielnikach d liczby n.

Własności algebraiczne

(1) Zbiór funkcji arytmetycznych ze zwykłym dodawaniem i splotem Dirichleta jako mnożeniem tworzy pierścień przemienny z jednością określoną jako

ε (n) = {\begin{matrix} 1, & gdy n = 1 \\ 0, & gdy n \neq 1. \end{matrix}

(2) Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę ze splotem Dirichleta jako działaniem grupowym. Oznacza to, że:

splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną;
splot Dirichleta jest działaniem łącznym;
dla każdej funkcji multiplikatywnej f istnieje taka funkcja multiplikatywna g, że f * g = ε, gdzie ε oznacza element neutralny.

WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07] .
AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .
AndrzejA. Nowicki AndrzejA., Funkcje arytmetyczne, Wydawnictwo Naukowe OWSIiZ, 2012, ISBN 978-83-88629-71-6, OCLC 840295292 [dostęp 2022-07-07] .

JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., O funkcjach arytmetycznych i splocie Dirichleta, „Delta”, marzec 1989, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-08-11] .
Dirichlet convolution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].