Notacja Diraca

Wstęp

 Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy: ${\displaystyle {\vec {A}}\in V={\mathcal {L}}(\mathbb {R} )\$ :\ \dim V=3.}

Wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}=A_{1}{\vec {e}}_{1}+A_{2}{\vec {e}}_{2}+A_{3}{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

gdzie wektory ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (gdzie ${\displaystyle \mathbb {F} }$ to np. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} }$), wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

${\displaystyle {\vec {A}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Jednak ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń ${\displaystyle L_{2}}$.

Notacja ket

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: ${\displaystyle |A\rangle .}$ Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},}$

co można zapisać w skrócie

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle }$ oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}.}$

Iloczyn skalarny i notacja ket

 Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

${\displaystyle \langle A|B\rangle ={\text{iloczyn skalarny bra }}\langle A|{\text{ z ket }}|B\rangle .}$

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń ${\displaystyle \{|\psi \rangle \}}$)

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+A_{3}^{*}B_{3},}$

gdzie ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy ${\displaystyle {\vec {A}}={\vec {B}},}$ iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

${\displaystyle \langle A|A\rangle =|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+|A_{3}|^{2}.}$

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

${\displaystyle \langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right),}$

gdzie ${\displaystyle \langle A|}$ nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a ${\displaystyle |B\rangle }$ to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\ldots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}.}$

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

${\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}.}$

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|,}$

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},}$

otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Bra jako operator liniowy na ket

 Osobny artykuł: Moduł dualny#Przestrzenie liniowe.

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.