Espaço conexo

Em topologia, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

Definição

Uma cisão de um espaço topológico $X$ é uma decomposição $X=A\cup B$ em dois abertos disjuntos. Todo espaço admite sempre a cisão trivial em que $A=X$ e $B=\emptyset$ . Um espaço topológico chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.

Equivalências

Os subconjuntos $\emptyset$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$ . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ não-vazio aberto e fechado em $X$ , então $X$ é desconexo.

Exemplos

$\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos, enquanto $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
Em $\mathbb {R}$ , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.
$\mathbb {R} -\{0\}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ .

Propriedades

A imagem de um espaço conexo por uma aplicação contínua é conexa. Em particular, todo espaço homeomorfo a um espaço conexo é também conexo.
A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.
O produto cartesiano de dois espaços, equipado com a topologia produto, é conexo se, e somente se, ambos são conexos.
O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Componentes conexas

Mesmo que um espaço $X$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.

A componente conexa $C_{x}$ é o maior subconjunto conexo que contém $x\in X$ . Para quaisquer dois pontos de $X$ , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.

Por exemplo, para $\mathbb {R} -\{0\}$ , a componente conexa de $-1$ é $(-\infty ,0)$ e a componente conexa de $1$ é $(0,+\infty )$ . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.

Propriedades

Toda componente conexa de $X$ é um conjunto fechado em $X$ .
Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um e as componentes conexas do outro. Sendo assim, dois espaços homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas, ou seja, a quantidade de componentes conexas de um espaço é um invariante topológico.

Conexo por caminhos

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.

Um caminho num conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de $X$ . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho $f$ tal que esses pontos estejam na imagem de $f$ . Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Por exemplo, no $\mathbb {R} ^{2},$ o gráfico da função $f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}$ para $0<x\leq 1$ com a origem $(0,0)$ é conexo mas não é conexo por caminhos.

Propriedades

A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.[carece de fontes]
A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.[carece de fontes]
Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.
No $\mathbb {R} ^{n}$ , um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.

Ver também

Conexidade simples

Referências

1 2 3 Lima 1981, p. 54.
↑ Lima 1981, p. 55.
↑ Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
1 2 Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
1 2 Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
↑ Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
1 2 3 4 5 6 7 Lima 1981, p. 63.
↑ Lima 1981, p. 59.
1 2 Lima 1981, pp. 59-60.
1 2 Lima 1981, p. 61.
↑ Lima 1981, p. 60.
↑ Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

Bibliografia

Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

[FOOTNOTELima198154-1] 1 2 3 Lima 1981, p. 54.

[FOOTNOTELima198155-2] Lima 1981, p. 55.

[FOOTNOTELima198155Teorema_31-3] Lima 1981, p. 55, Teorema 31.

[FOOTNOTELima198155Teorema_30-4] 1 2 Lima 1981, p. 55, Teorema 30.

[FOOTNOTELima198157Teorema_33-5] 1 2 Lima 1981, p. 57, Teorema 33.

[FOOTNOTELima198159Teorema_35-6] Lima 1981, p. 59, Teorema 35.

[FOOTNOTELima198163-7] 1 2 3 4 5 6 7 Lima 1981, p. 63.

[FOOTNOTELima198159-8] Lima 1981, p. 59.

[FOOTNOTELima198159-60-9] 1 2 Lima 1981, pp. 59-60.

[FOOTNOTELima198161-10] 1 2 Lima 1981, p. 61.

[FOOTNOTELima198160-11] Lima 1981, p. 60.

[FOOTNOTELima198161Teorema_36-12] Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

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