Elasticidade

Na mecânica do contínuo e na ciência dos materiais, elasticidade é a propriedade de um corpo de recuperar o tamanho e a forma originais depois que são retiradas as forças que o deformaram. Objetos sólidos sofrem deformação quando submetidos a cargas. Se a resposta permanecer elástica, o objeto recupera a forma e o tamanho iniciais depois que a carga é retirada. Esse comportamento difere da plasticidade, na qual parte da deformação permanece após o descarregamento.

As causas físicas do comportamento elástico diferem entre os materiais. Nos metais e em outros sólidos cristalinos, as distâncias entre os átomos e, em certos casos, os ângulos das ligações mudam sob a ação de forças. A energia elástica aumenta e, com a retirada da carga dentro do regime elástico, os átomos retornam às posições relativas de equilíbrio. Na borracha e em outros polímeros, grande parte da força restauradora pode decorrer das mudanças de conformação das cadeias poliméricas, mecanismo estudado pela elasticidade da borracha.

No regime elástico linear, a lei de Hooke estabelece uma relação de proporcionalidade entre tensão e deformação. Para uma mola ideal, essa relação pode ser escrita entre a força aplicada e o alongamento. O limite de proporcionalidade não coincide necessariamente com o fim de todo comportamento elástico. Um material pode continuar recuperando sua forma mesmo depois que sua curva tensão-deformação deixa de ser linear. A elasticidade perfeita, sem deformação permanente nem dissipação de energia durante um ciclo de carregamento e descarregamento, é uma idealização e não exige uma relação linear. Materiais reais possuem uma faixa de comportamento elástico e podem sofrer deformação plástica ou ruptura quando submetidos a carregamentos maiores.

Na engenharia, a elasticidade é caracterizada por módulos elásticos, como o módulo de Young, o módulo volumétrico e o módulo de cisalhamento. Eles relacionam tensão e deformação para diferentes modos de carregamento. Um módulo maior corresponde a maior resistência à deformação do tipo considerado, não necessariamente a uma maior deformação recuperável. A unidade dessas grandezas no Sistema Internacional de Unidades é o pascal, Pa. O limite elástico é a maior tensão para a qual a deformação ainda é recuperável após o descarregamento. O limite de escoamento caracteriza o início do escoamento plástico ou, quando determinado por um critério convencional, a tensão correspondente a uma deformação permanente especificada.

Visão geral

Quando um material elástico é deformado por uma força externa, surgem tensões internas que se opõem à deformação. Se a carga for retirada dentro do regime elástico, o material recupera sua configuração inicial. Há diferentes módulos elásticos, entre eles o módulo de Young, o módulo de cisalhamento e o módulo volumétrico. Cada um corresponde a um tipo de deformação. O módulo de Young aplica-se ao alongamento ou à contração sob tensão uniaxial, enquanto o módulo de cisalhamento se aplica ao cisalhamento. Esses módulos caracterizam a resposta dos sólidos a tais carregamentos. O módulo volumétrico também se aplica a líquidos e gases.

Em um sólido, a deformação elástica pode envolver mudanças de forma e de volume. Um fluido em equilíbrio não sustenta uma tensão de cisalhamento estática, de modo que sua resposta elástica de equilíbrio é volumétrica e pode ser caracterizada pelo módulo volumétrico.

A elasticidade dos materiais pode ser expressa por uma curva tensão-deformação, que relaciona a tensão, isto é, a força interna por unidade de área, à deformação relativa. Quando a resposta é suficientemente regular, uma relação não linear pode ser aproximada localmente por uma relação linear por meio de uma série de Taylor, desprezando os termos de ordem superior. A lei de Hooke generalizada expressa uma relação linear entre os tensores de tensão e deformação e pode ser formulada para materiais isotrópicos ou anisotrópicos. Essa aproximação costuma ser suficiente para pequenas deformações de muitos metais e materiais cristalinos. A elasticidade não linear é necessária para representar grandes deformações de materiais semelhantes à borracha mesmo quando a resposta permanece inteiramente elástica.

Sob tensões maiores, os materiais podem apresentar comportamento plástico. Nesse regime, parte da deformação permanece depois que a tensão é retirada. A forma da curva tensão-deformação depende do material e do intervalo de carregamento. Em muitos elastômeros, a curva de tensão nominal em função do alongamento tem forma de S. Sua inclinação pode diminuir numa faixa inicial e aumentar em grandes alongamentos, quando o material se torna mais difícil de estirar. Em muitos metais, a inclinação durante a deformação plástica é menor que a inclinação inicial do trecho elástico. Isso não significa que o módulo elástico tenha diminuído na mesma proporção. O encruamento pode fazer com que a continuação da deformação plástica exija tensões crescentes.

A resposta elástica também ocorre em certos fluidos não newtonianos, entre eles os fluidos viscoelásticos. Neles, armazenamento elástico de energia e dissipação viscosa coexistem, e a resposta depende da duração e da velocidade da deformação. O número de Deborah compara um tempo característico de relaxação do material com o tempo característico do processo observado. Uma solicitação rápida em relação à relaxação pode produzir uma resposta predominantemente elástica. Em tempos longos em relação à relaxação, um fluido viscoelástico pode apresentar escoamento predominantemente viscoso. A amplitude da deformação também pode alterar a resposta, mas uma deformação maior não implica, por si só, comportamento mais viscoso.

Como a elasticidade de um material é formulada por relações entre tensão e deformação, as duas grandezas precisam ser definidas de maneira compatível. Uma classe de relações trata de materiais elásticos sob pequenas deformações. Outra admite deformações finitas e contém a primeira como caso limite.

Para pequenas deformações e pequenas rotações, pode-se usar o tensor tensão de Cauchy como medida de tensão e o tensor de deformação infinitesimal como medida de deformação. O comportamento recebe o nome de elasticidade linear quando a relação constitutiva entre essas medidas também é linear. As formulações de elasticidade finita permitem trabalhar com grandes rotações e distorções, além de anisotropia intrínseca ou induzida. Modelos de materiais elásticos de Cauchy e de materiais hipoelásticos usam relações constitutivas distintas para tratar a resposta mecânica nessas condições.

Em situações mais gerais, podem ser empregadas diferentes medidas de tensão. Uma formulação de elasticidade finita pode usar uma medida de deformação conjugada em trabalho à medida de tensão escolhida. A contração entre a tensão e a taxa de deformação correspondente deve reproduzir a potência das forças internas, com todas as grandezas expressas em relação ao mesmo volume, inicial ou deformado. Essa potência entra no balanço de energia interna. Em um processo adiabático sem fontes internas de calor, a variação da energia interna decorre do trabalho mecânico.

Unidades

Sistema Internacional

A unidade do SI para os módulos elásticos e para as grandezas de tensão é o pascal, Pa. O pascal equivale a um newton por metro quadrado, unidade também usada para pressão, e tem dimensão L⁻¹⋅M⋅T⁻².

Para muitos materiais usados em engenharia, os módulos elásticos têm valores da ordem de gigapascais, GPa, equivalentes a 10⁹ Pa.

Elasticidade linear

Para pequenas deformações, muitos materiais apresentam uma relação aproximadamente linear entre tensão e deformação. Em sistemas como as molas, uma relação linear pode ser estabelecida entre a força aplicada e o deslocamento. Essas relações recebem o nome de lei de Hooke. Uma formulação dependente da geometria foi publicada por Robert Hooke em 1676 na forma do anagrama latino "ceiiinosssttuv". Hooke publicou a solução em 1678, "Ut tensio, sic vis", isto é, "como a extensão, assim a força".

Para uma mola ideal em equilíbrio, a lei pode ser escrita como uma relação entre a intensidade da força de tração aplicada $F$ e o deslocamento de extensão correspondente $x$ :

F=kx,

em que $k$ é a constante elástica da mola. A força restauradora exercida pela mola atua no sentido oposto ao deslocamento. Para um corpo sob tensão uniaxial e pequenas deformações, a relação pode ser escrita entre a tensão de tração $\sigma$ e a deformação $\varepsilon$ :

\sigma =E\varepsilon ,

em que $E$ é o módulo de Young.

Em três dimensões, a relação geral entre tensão e deformação linear envolve um tensor de quarta ordem, o tensor de rigidez. Sistemas com simetrias suficientes, como uma barra unidimensional submetida a tração axial, podem ser reduzidos a formas escalares da lei de Hooke.

Para um material isotrópico e linear, apenas duas constantes elásticas independentes são necessárias. Se forem escolhidos o módulo de Young $E$ e o coeficiente de Poisson $\nu$ , o módulo de cisalhamento $G$ e o módulo volumétrico $K$ podem ser escritos como

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}

e

K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}.

No regime de pequenas deformações, o coeficiente de Poisson é o negativo da razão entre a deformação transversal e a longitudinal em um ensaio sob tensão uniaxial:

\nu =-{\frac {\varepsilon _{\mathrm {transversal} }}{\varepsilon _{\mathrm {longitudinal} }}}.

Para materiais com coeficiente de Poisson positivo, o alongamento de uma barra é acompanhado por contração transversal, enquanto sua compressão produz expansão transversal. No limite ideal de incompressibilidade de um sólido isotrópico, $\nu$ tende a $1/2$ e o módulo volumétrico tende ao infinito. Nesse limite, a restrição de volume constante precisa ser imposta separadamente.

No carregamento uniaxial elástico linear, a partir de um estado sem tensão e para pequenas deformações, a densidade de energia de deformação elástica armazenada por unidade de volume é

w={\frac {1}{2}}\sigma \varepsilon ={\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}.

Em um processo elástico ideal e reversível, essa energia é devolvida durante o descarregamento.

A linearidade da relação constitutiva e a linearidade geométrica são conceitos distintos. Um material pode obedecer a uma relação constitutiva linear, escrita com medidas de tensão e deformação adequadas, e ainda exigir uma formulação geometricamente não linear quando deslocamentos ou rotações deixam de ser pequenos. Nesse caso, a geometria deformada precisa ser levada em conta mesmo que as deformações locais permaneçam pequenas.

Elasticidade finita

O comportamento elástico de objetos submetidos a deformações finitas pode ser formulado por modelos de material elástico de Cauchy, material hipoelástico e material hiperelástico. O gradiente de deformação ${\boldsymbol {F}}$ é uma medida básica da teoria das deformações finitas.

Materiais elásticos de Cauchy

Para um material elástico de Cauchy sem restrições internas, a tensão em um ponto material depende do estado de deformação presente, não do caminho percorrido para atingi-lo. Mantida a temperatura, o tensor tensão de Cauchy ${\boldsymbol {\sigma }}$ pode ser escrito como função do gradiente de deformação:

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}).

Em geral, não basta escrever a tensão de Cauchy como função de um único tensor de deformação espacial sem considerar a orientação do material. Em um meio anisotrópico, uma extensão vertical e uma extensão horizontal de mesma intensidade seguida por uma rotação de 90 graus podem produzir o mesmo tensor espacial de deformação, mas orientações diferentes dos eixos materiais. A relação constitutiva precisa conservar essa informação para calcular corretamente a tensão.

Mesmo quando a tensão em um material elástico de Cauchy depende somente do estado de deformação, o trabalho realizado pelas tensões pode depender da trajetória de deformação. A definição de elasticidade de Cauchy admite modelos não conservativos, nos quais esse trabalho depende da trajetória, e modelos conservativos de materiais hiperelásticos, nos quais a tensão pode ser obtida de uma função escalar de energia.

Materiais hipoelásticos

Um modelo hipoelástico formula a resposta do material por uma equação constitutiva em taxas. Na formulação em que a taxa de tensão depende apenas da tensão presente e do gradiente de velocidade, são impostas as seguintes condições:

Fixado o estado inicial, a tensão de Cauchy ${\boldsymbol {\sigma }}$ no instante $t$ depende da sequência de configurações percorridas pelo corpo, mas não da rapidez com que essa sequência foi percorrida.
Existe uma função tensorial $G$ tal que
${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}}),$

em que ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ é a derivada material do tensor tensão de Cauchy e ${\boldsymbol {L}}$ é o tensor espacial de gradiente de velocidade.

Essas condições não tornam a hipoelasticidade uma generalização automática de todo modelo elástico. Materiais elásticos isotrópicos com relação tensão-deformação invertível podem ser representados por equações hipoelásticas, mas essa equivalência não se estende a todos os materiais anisotrópicos. A inclusão de um modelo hiperelástico depende de sua relação constitutiva e das condições de integrabilidade da equação em taxas.

A forma em taxas, por si só, não garante a existência de um potencial de energia. Em modelos não integráveis, a tensão e o trabalho podem depender da trajetória, e um ciclo que retorna à deformação inicial pode ter trabalho resultante não nulo.

A função $G$ também deve respeitar a objetividade material. Formulações hipoelásticas costumam empregar taxas objetivas de tensão, que levam em conta a rotação do material e permitem escrever a lei constitutiva de maneira independente do movimento do observador. Essas taxas são usadas em procedimentos numéricos de atualização da tensão.

Materiais hiperelásticos

Materiais hiperelásticos, também chamados materiais elásticos de Green, são modelos conservativos derivados de uma função densidade de energia de deformação $W$ . Nas expressões a seguir, $W$ é a energia por unidade de volume da configuração de referência, e não por unidade de volume deformado. Para um material sem restrições internas, o tensor tensão de Cauchy pode ser escrito como

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\mathsf {T}},\qquad J:=\det {\boldsymbol {F}}>0.

O fator $J$ é a razão entre o volume deformado e o volume de referência.

Nessa formulação, $W$ é escrito como função do gradiente de deformação ${\boldsymbol {F}}$ . Quando se impõe a objetividade material, o potencial pode ser escrito como função do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita:

{\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {F}}.

A tensão pode então ser escrita como

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\boldsymbol {F}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\mathsf {T}}.

Em um material estritamente incompressível, a restrição $J=1$ exige um termo adicional:

{\boldsymbol {\sigma }}=-p{\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {F}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\mathsf {T}},

em que ${\boldsymbol {I}}$ é o tensor identidade e $p$ é um multiplicador de pressão. Esse multiplicador é determinado pelas equações de equilíbrio e pelas condições de contorno, não apenas pela deformação. Em uma formulação termoelástica isotérmica, $W$ pode ser expresso como densidade de energia livre de Helmholtz por unidade de volume de referência, a temperatura fixa.

Aplicações

A elasticidade linear é usada no projeto e na análise de estruturas como vigas, colunas, placas, cascas e compósitos descritos pela teoria sanduíche. Ela também fornece parte da base matemática da mecânica da fratura.

Em problemas com geometrias, carregamentos ou condições de contorno que dificultam uma solução analítica, as equações da elasticidade podem ser aproximadas por métodos numéricos, entre eles o método dos elementos finitos. Esse procedimento é empregado na análise de componentes estruturais e mecânicos, inclusive corpos tridimensionais de geometria irregular.

A hiperelasticidade é usada para calcular a resposta de objetos feitos de elastômeros, como juntas de vedação, e de materiais biológicos, como tecidos moles. Funções de energia de deformação também são usadas para modelar a elasticidade de membranas celulares, como as dos glóbulos vermelhos.

Fatores que afetam a elasticidade

Em um sólido isotrópico cujo módulo de Young do material maciço seja conhecido, a elasticidade efetiva depende da porosidade. Um material mais poroso costuma apresentar menor rigidez. A fração ocupada pelos poros, sua distribuição por tamanho e a natureza do fluido que os preenche alteram a resposta elástica. Quando é preciso representar de forma acoplada a deformação do esqueleto sólido e o movimento ou a pressão do fluido nos poros, empregam-se modelos de poroelasticidade.

Fissuras em uma matriz isotrópica podem reduzir os módulos elásticos efetivos e tornar a resposta anisotrópica. Em modelos com uma distribuição diluída de fissuras paralelas e abertas, a redução depende da direção do carregamento. Sua intensidade também depende do tamanho, da orientação e da densidade numérica das fissuras. Não há uma regra geral segundo a qual o módulo de Young sempre diminua mais rapidamente que o módulo de cisalhamento. A redução da rigidez, isoladamente, também não determina a fragilidade do material.

Na escala microscópica, a relação entre tensão e deformação pode ser formulada a partir da energia livre de Helmholtz, uma função de estado termodinâmica. Em condições isotérmicas, as tensões de um modelo hiperelástico são obtidas por derivadas dessa energia em relação à deformação. A minimização da energia livre deve respeitar as condições térmicas e as restrições mecânicas impostas ao material.

Em sólidos cristalinos, a elasticidade de pequenas deformações é em grande parte energética. O deslocamento dos átomos em relação às posições de equilíbrio mecânico altera a energia potencial das interações. Perto de um equilíbrio estável, o potencial pode ser aproximado localmente por uma função quadrática, produzindo uma força restauradora aproximadamente linear para deslocamentos pequenos. Em redes poliméricas semelhantes à borracha, a contribuição entrópica pode predominar. O estiramento reduz o número de conformações acessíveis às cadeias de moléculas, e a agitação térmica favorece o retorno a configurações mais enroladas e de maior entropia.

A distância de equilíbrio entre as partículas e a forma do potencial de interação afetam os módulos elásticos. A distância, isoladamente, não determina o módulo volumétrico. Em cálculos atomísticos de materiais inorgânicos próximos de 0 K, esse módulo pode ser obtido da curvatura da energia em função do volume, avaliada no estado considerado.

O efeito da temperatura sobre a elasticidade depende do material e do mecanismo elástico. Nos sólidos cristalinos, a dilatação térmica e as vibrações da rede cristalina dependem da forma do potencial interatômico, e os termos não harmônicos desse potencial permitem que os módulos variem com a temperatura. No regime borrachoso de certos polímeros, a contribuição entrópica pode fazer o módulo de cisalhamento aumentar com a temperatura.

Ver também

Elastografia, técnica de imagem que estima propriedades elásticas de tecidos
Resiliência (ciência dos materiais), capacidade de absorver e devolver energia durante a deformação elástica
Rigidez, resistência de um corpo à deformação produzida por uma carga
Ductilidade, capacidade de sofrer deformação plástica antes da ruptura

Notas

↑ A descrição constitutiva de um material deve ser separada da geometria e da forma do corpo feito com esse material. A forma elementar da lei de Hooke usa uma constante de mola que depende das dimensões e da geometria do objeto e, por isso, não é por si só uma propriedade intrínseca do material.

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Ligações externas

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v d e Tópicos sobre mecânica do contínuo
Divisões	Mecânica dos sólidos Mecânica dos fluidos Acústica Vibração Dinâmica de corpo rígido
Leis e Definições	Leis Conservação da massa Conservação do momento linear Navier-Stokes Bernoulli Poiseuille Arquimedes Pascal Conservação da energia Desigualdade de Clausius–Duhem Definições Tensão Tensor tensão de Cauchy Medidas de deformação Medidas de tensão Deformação Deformações infinitesimais Grandes deformações
Mecânica dos sólidos e mecânica estrutural	Sólidos Elasticidade linear Lei de Hooke Transverse isotropy Ortotropia hyperelasticity Membrane elasticity Equação de estado Hugoniot JWL hypoelasticity Elasticidade de Cauchy Viscoelasticidade Fluência Concrete creep Plasticidade Rock mass plasticity Viscoplasticidade Critério de escoamento Bresler-Pister Contato mecânico Frictionless Frictional Teoria de falha dos materiais Drucker stability Teoria de falha dos materiais Fadiga Mecânica da fratura J-integral Compact tension specimen Mecânica do dano Johnson–Holmquist damage model Estruturas Flexão Momento fletor Flexão de placas Sandwich theory
Mecânica dos fluidos	Fluidos Hidrostática Dinâmica dos fluidos Equações de Navier-Stokes Princípio de Bernoulli Lei de Poiseuille Empuxo Viscosidade Newtoniana Non-Newtoniana Princípio de Archimedes Princípio de Pascal Pressão Líquidos Tensão superficial Capilaridade Gases Atmosfera Lei de Boyle-Mariotte Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei geral dos gases Plasma
Acústica	Acoustic theory Aeroacústica
Reologia	Viscoelasticidade Smart fluids Magnetorheological Electrorheological Ferrofluidos Reometria Reômetro
Cientistas	Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes
Prêmios	Medalha Eringen Medalha William Prager