Rigidez

Sistemas com mais de um grau de liberdade

As deflexões de um corpo elástico podem envolver mais de um grau de liberdade. Por exemplo, uma seção de uma viga horizontal pode sofrer um deslocamento vertical e uma rotação em relação ao eixo não deformado. Nos modelos usuais de vigas no espaço, um nó pode ter seis graus de liberdade, três translações e três rotações. Esse número depende do modelo adotado, não sendo uma propriedade geral de qualquer ponto de um meio contínuo.

Para um sistema elástico linear com ${\displaystyle n}$ graus de liberdade, em equilíbrio estático, a relação entre cargas e deslocamentos pode ser escrita com uma matriz de rigidez ${\displaystyle \mathbf {K} }$, de dimensão ${\displaystyle n\times n}$:

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {K} \mathbf {u} }$$

O vetor ${\displaystyle \mathbf {F} }$ reúne as forças e os momentos aplicados, e ${\displaystyle \mathbf {u} }$ reúne os deslocamentos e as rotações correspondentes.

Os termos da diagonal da matriz são as rigidezes diretas de cada grau de liberdade. Os termos fora da diagonal são as rigidezes de acoplamento entre graus de liberdade diferentes, no mesmo ponto ou em pontos distintos, ou entre movimentos na mesma direção em pontos distintos. Os coeficientes da matriz também podem ser chamados de coeficientes de influência.

Para um corpo com mais de um grau de liberdade, a razão entre uma força e o deslocamento na sua direção não fornece, em geral, um termo diagonal da matriz. A força aplicada pode produzir deslocamentos em outras direções, que também entram na relação entre cargas e deslocamentos.

Para determinar uma coluna da matriz, impõe-se um deslocamento ou uma rotação em um único grau de liberdade e mantêm-se os demais nulos. A força ou o momento necessário no grau de liberdade deslocado, dividido pelo deslocamento ou pela rotação correspondente, fornece o termo da diagonal. As forças ou os momentos de reação nos demais graus de liberdade, divididos pelo mesmo deslocamento ou rotação, fornecem os termos de acoplamento dessa coluna.

Na elasticidade linear, o tensor de elasticidade expressa a relação entre as componentes de tensão e de deformação específica em um material. Seus coeficientes são propriedades constitutivas do material, enquanto a matriz de rigidez de uma estrutura também depende de sua geometria.

Rigidez não linear

Uma mola pode ser projetada para apresentar rigidez variável ao longo de seu deslocamento. Quando a relação entre força e deslocamento não é linear, distinguem-se a rigidez secante, calculada a partir da origem escolhida, e a rigidez tangente, calculada em um ponto da curva:

$${\displaystyle k_{\mathrm {sec} }={\frac {F(\delta )}{\delta }}}$$ $${\displaystyle k_{\mathrm {tan} }={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \delta }}}$$

A rigidez secante relaciona a força total ao deslocamento total. A rigidez tangente relaciona pequenas variações dessas grandezas em torno de uma configuração. Para uma mola linear sem pré-carga, as duas coincidem.

Rigidez axial

Para uma barra prismática, de material homogêneo e elástico linear, submetida à tração ou à compressão axial com pequenas deformações, a rigidez é:

$${\displaystyle k={\frac {EA}{L}}}$$

em que:

• ${\displaystyle E}$ é o módulo de elasticidade à tração, ou módulo de Young.
• ${\displaystyle A}$ é a área inicial da seção transversal, perpendicular ao eixo da barra.
• ${\displaystyle L}$ é o comprimento inicial da barra, medido ao longo de seu eixo.

A expressão pressupõe que ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle A}$ sejam constantes ao longo da barra, com força axial uniforme e sem restrição à deformação lateral. Mantidas a geometria e as condições de carregamento, o módulo de Young pode ser usado para comparar a rigidez axial de componentes feitos de materiais diferentes. Ele não substitui a razão ${\displaystyle F/\delta }$.

Rigidez à torção

Para uma barra prismática retilínea, de material homogêneo, isotrópico e elástico linear, sob torção uniforme, a rigidez à torção é:

$${\displaystyle k_{\theta }={\frac {GJ}{L}}}$$

em que:

• ${\displaystyle G}$ é o módulo de cisalhamento do material.
• ${\displaystyle J}$ é a constante de torção da seção.
• ${\displaystyle L}$ é o comprimento da barra.

O produto ${\displaystyle GJ}$ caracteriza a rigidez torsional da seção e tem unidade ${\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ^{2}}$. A razão ${\displaystyle GJ/L}$ relaciona o momento aplicado ao ângulo de torção da barra inteira e é expressa em ${\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} /\mathrm {rad} }$. A expressão supõe torção de Saint-Venant, com empenamento livre das seções. Quando o empenamento é restringido, a relação entre momento e rotação pode exigir termos adicionais.

Rigidez à flexão

Na teoria de vigas, o produto ${\displaystyle EI}$ é chamado de rigidez à flexão. O fator ${\displaystyle I}$ é o momento de inércia de área da seção transversal em relação ao eixo de flexão. O produto ${\displaystyle EI}$ tem unidade ${\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ^{2}}$ e relaciona o momento fletor à curvatura da viga.

A rigidez que relaciona uma força transversal a um deslocamento também depende do comprimento da viga, dos apoios e da posição da carga. Para vigas prismáticas com ${\displaystyle EI}$ constante, no regime elástico linear, com pequenas deflexões e deformação por cisalhamento desprezível, obtêm-se os seguintes casos:

Rigidez à translação em dois casos de flexão

Configuração	Deslocamento no ponto de aplicação da força	Rigidez ${\displaystyle k=F/\delta }$
Viga em balanço, engastada em uma extremidade e submetida a uma força transversal na extremidade livre	${\displaystyle \delta ={\frac {FL^{3}}{3EI}}}$	${\displaystyle k={\frac {3EI}{L^{3}}}}$
Viga simplesmente apoiada, com força concentrada no centro de um vão de comprimento ${\displaystyle L}$	${\displaystyle \delta ={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$	${\displaystyle k={\frac {48EI}{L^{3}}}}$

Sob as mesmas hipóteses, se a viga em balanço receber somente um momento na extremidade livre, sem restrição ao deslocamento transversal dessa extremidade, sua rotação será ${\displaystyle \theta =ML/(EI)}$. A rigidez rotacional correspondente será ${\displaystyle k_{\theta }=EI/L}$, distinta da rigidez à translação produzida por uma força transversal.

Rigidez de placas

Na teoria de placas delgadas, a rigidez à flexão de uma placa homogênea e isotrópica, de material elástico linear e com espessura uniforme ${\displaystyle h}$, é:

$${\displaystyle D={\frac {Eh^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}$$

Nessa expressão, ${\displaystyle \nu }$ é o coeficiente de Poisson do material. A grandeza ${\displaystyle D}$ tem unidade ${\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} }$ e entra nas relações entre os momentos por unidade de comprimento e as curvaturas da placa.