Independência linear

Independência linear em conjuntos de vectores

Suponhamos que ${\displaystyle \left\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\right\}}$ é um conjunto de vectores de ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$, em que ${\displaystyle n\leq m}$ e

${\displaystyle {\vec {v_{1}}}={\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots \\v_{m1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\vec {v_{2}}}={\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\\\vdots \\v_{m2}\end{bmatrix}},\ldots ,}$ ${\displaystyle {\vec {v_{n}}}={\begin{bmatrix}v_{1n}\\v_{2n}\\\vdots \\v_{mn}\end{bmatrix}}.}$

Ainda, fixemos as constantes ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in \mathbb {R} }$, tais que

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+k_{2}{\vec {v_{2}}}+\ldots +k_{n}{\vec {v_{n}}}={\vec {0}}.}$

Por definição, se ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=\ldots =k_{n}=0}$ for a única possibilidade para que a equação anterior seja verdadeira, então os vectores ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}}$ serão linearmente independentes. Por outro lado, se qualquer uma das constantes admitir um valor diferente de zero, então o conjunto de vectores será linearmente dependente.

Observe que podemos reescrever a equação

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+k_{2}{\vec {v_{2}}}+\ldots +k_{n}{\vec {v_{n}}}={\vec {0}}}$

como

${\displaystyle k_{1}{\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots \\v_{m1}\end{bmatrix}}+k_{2}{\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\\\vdots \\v_{m2}\end{bmatrix}}+\ldots +k_{n}{\begin{bmatrix}v_{1n}\\v_{2n}\\\vdots \\v_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Efetuando as multiplicações, teríamos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}v_{11}\\k_{1}v_{21}\\\vdots \\k_{1}v_{m1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{2}v_{12}\\k_{2}v_{22}\\\vdots \\k_{2}v_{m2}\end{bmatrix}}+\ldots +{\begin{bmatrix}k_{n}v_{1n}\\k_{n}v_{2n}\\\vdots \\k_{n}v_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

que também poderia ser representada como segue

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Assim, temos uma equação matricial da forma ${\displaystyle M{\vec {k}}={\vec {0}}}$, em que

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\vec {k}}={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{n}\end{bmatrix}}}$ e ${\displaystyle {\vec {0}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Observe que a solução trivial (${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {0}}}$) é válida. Porém, é preciso descobrir se tal solução é única. Para isso, podemos resolver o sistema por meio de operações elementares nas linhas da matriz aumentada

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}&0\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}&0\end{bmatrix}}}$

Logo, o conjunto de vectores será linearmente independente, caso o sistema linear tenha unicamente a solução trivial (todas as constantes valendo ${\displaystyle 0}$), ou seja, se o sistema for classificado como possível e determinado (SPD). Porém, se houverem infinitas soluções, de modo que o sistema seja classificado como possível e indeterminado (SPI), então o conjunto de vectores será linearmente dependente.

Sendo assim, em ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$, é possível descobrir se um conjunto de vectores é linearmente independente ou não por meio da resolução de um sistema homogêneo.

Independência linear em colunas de matrizes

A partir de uma matriz ${\displaystyle M}$, pode-se verificar se suas colunas são linearmente independentes. Uma forma de realizar esta verificação, é por meio de uma equação da forma

${\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}},}$

a qual representa um sistema homogêneo na forma matricial, de modo que podemos definir se existem soluções não triviais para ${\displaystyle {\vec {x}}}$. Se houverem vectores não nulos para ${\displaystyle {\vec {x}}}$ satisfazendo a equação ${\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}}}$, então segue que as colunas de ${\displaystyle M}$ são linearmente dependentes. Porém, caso a única solução seja ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$, então segue que as colunas de ${\displaystyle M}$ são linearmente independentes.

Vector nulo

Qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo será linearmente dependente, mesmo que tal conjunto seja unitário, isto é, mesmo que tenha apenas um vector.

Por exemplo, suponha que ${\displaystyle {\vec {u}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ e ${\displaystyle {\vec {w}}}$ sejam vectores não nulos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e que ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$, ${\displaystyle k_{3}}$ e ${\displaystyle k_{4}}$ sejam constantes reais. Ainda, seja ${\displaystyle {\vec {0}}}$ o vector nulo de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de modo que

${\displaystyle k_{1}{\vec {u}}+k_{2}{\vec {v}}+k_{3}{\vec {w}}+k_{4}{\vec {0}}={\vec {0}}.}$

Observe que fixando ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=k_{3}=0}$, podemos variar ${\displaystyle k_{4}}$ sem alterar o resultado da combinação, ou seja, as soluções para o sistema são infinitas. Generalizando esse raciocínio para uma quantidade arbitrária de vetores podemos concluir que qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo é um conjunto linearmente dependente.

Vectores múltiplos

Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes. Isso decorre do fato de que, se existe algum vector do conjunto que é múltiplo de outro vector, então ele pode ser expresso como combinação linear dos demais vectores.

Por exemplo, sejam ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R^{2}} }$, com ${\displaystyle {\vec {u}}=(2a_{1},2a_{2}),}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=(a_{1},a_{2})}$e ${\displaystyle {\vec {w}}=(3a_{1},2a_{2})}$. Note que ${\displaystyle {\vec {u}}=2(a_{1},a_{2})=2{\vec {v}}}$, ou seja, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ são múltiplos e, portanto, temos a possível combinação linear ${\displaystyle {\vec {u}}=2{\vec {v}}+0{\vec {w}}}$. Logo, o conjunto ${\displaystyle \left\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\right\}}$ é linearmente dependente.

Número de vectores

Em um espaço vectorial de dimensão finita, se o número de vectores do conjunto a ser verificado for superior à dimensão do espaço vetorial, então o conjunto será linearmente dependente. Assim, um conjunto com ${\displaystyle n}$ vectores em ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ é linearmente dependente se ${\displaystyle n>m}$.

De fato, seja ${\displaystyle V={\Big [}{\vec {v_{1}}}\quad {\vec {v_{2}}}\quad \ldots \quad {\vec {v_{n}}}{\Big ]}}$ uma matriz de ordem ${\displaystyle m\times n}$, com ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\in \mathbb {R^{m}} }$ e ${\displaystyle n>m}$. Note que a equação

${\displaystyle V{\vec {x}}={\vec {0}}}$

é equivalente a um sistema de ${\displaystyle m}$ equações e ${\displaystyle n}$ incógnitas. Como ${\displaystyle n>m}$, haverá um número superior de variáveis do que equações e, portanto, o sistema linear homogêneo terá infinitas soluções. Deste modo, a equação ${\displaystyle V{\vec {x}}={\vec {0}}}$ admite solução não trivial, caracterizando as colunas de ${\displaystyle V}$ como linearmente dependentes. Logo, os vectores ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\in \mathbb {R^{m}} }$ são linearmente dependentes.

Determinante

Quando o número de vectores de um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ for igual ao número de componentes de cada vector (${\displaystyle m}$), é possível utilizar o determinante para definir se o conjunto de vectores é linearmente dependente ou não.

Para realizar uma verificação a partir de um determinante, basta utilizar cada vector do conjunto como sendo uma coluna (ou linha) de uma matriz ${\displaystyle M}$ e, em seguida, calcular seu determinante. Se o resultado for igual a ${\displaystyle 0}$, então o conjunto de vectores será linearmente dependente. Por outro lado, caso o determinante seja diferente de ${\displaystyle 0}$, então o conjunto será linearmente independente. O conceito pode ser estendido para o caso de independência linear de colunas de matrizes quadradas.