Teorema de Riemann-Roch

Exemplos

O teorema será ilustrado escolhendo um ponto ${\displaystyle P}$ na superfície em questão e considerando a sequência de números

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

ou seja, a dimensão do espaço de funções que são holomorfas em todos os lugares exceto em ${\displaystyle P}$, onde a função pode ter um polo de ordem no máximo ${\displaystyle n}$. Para ${\displaystyle n=0}$, exige-se que as funções sejam inteiras, isto é, holomorfas em toda a superfície ${\displaystyle X}$. Pelo teorema de Liouville, tal função é necessariamente constante. Portanto, ${\displaystyle \ell (0)=1}$. Em geral, a sequência ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$ é uma sequência crescente.

Gênero um

O próximo caso é uma superfície de Riemann de gênero ${\displaystyle g=1}$, como um toro ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, onde ${\displaystyle \Lambda }$ é um reticulado bidimensional (um grupo isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$). Seu gênero é um: seu primeiro grupo de homologia singular é gerado livremente por dois laços, conforme mostrado na ilustração à direita. A coordenada complexa padrão ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle C}$ produz uma 1-forma ${\displaystyle \omega =dz}$ em ${\displaystyle X}$ que é holomorfa em todos os lugares, ou seja, não possui polos de forma alguma. Portanto, ${\displaystyle K}$, o divisor de ${\displaystyle \omega }$, é zero.

Nesta superfície, a sequência é

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

e isso caracteriza o caso ${\displaystyle g=1}$. De fato, para ${\displaystyle D=0}$, ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$, como foi mencionado acima. Para ${\displaystyle D=n\cdot P}$ com ${\displaystyle n>0}$, o grau de ${\displaystyle K-D}$ é estritamente negativo, de modo que o termo de correção é 0. A sequência de dimensões também pode ser derivada da teoria das funções elípticas.

Riemann-Roch para fibrados de linhas

Usando a estreita correspondência entre divisores e fibrados de linhas holomorfos em uma superfície de Riemann, o teorema também pode ser declarado de uma maneira diferente, mas equivalente: seja L um fibrado de linhas holomorfo em X. Seja ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ o espaço de seções holomorfas de L. Este espaço será de dimensão finita; sua dimensão é denotada por ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$. Seja K o fibrado canônico em X. Então, o teorema de Riemann-Roch afirma que

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

O teorema da seção anterior é o caso especial de quando L é um fibrado de pontos.

O teorema pode ser aplicado para mostrar que existem g seções holomorfas linearmente independentes de K, ou 1-formas em X, como se segue. Tomando L como o fibrado trivial, ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ uma vez que as únicas funções holomorfas em X são constantes. O grau de L é zero, e ${\displaystyle L^{-1}}$ é o fibrado trivial. Assim,

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

Portanto, ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$, provando que existem g 1-formas holomorfas.

Grau do fibrado canônico

Como o fibrado canônico ${\displaystyle K}$ tem ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$, aplicar Riemann-Roch a ${\displaystyle L=K}$ nos dá

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

o que pode ser reescrito como

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

portanto, o grau do fibrado canônico é ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$.

Teorema de Riemann-Roch para curvas algébricas

Cada item na formulação acima do teorema de Riemann-Roch para divisores em superfícies de Riemann possui um análogo na geometria algébrica. O análogo de uma superfície de Riemann é uma curva algébrica não-singular (lisa) C sobre um corpo k. A diferença na terminologia (curva vs. superfície) deve-se ao fato de que a dimensão de uma superfície de Riemann como uma variedade real é dois, mas como uma variedade complexa é um. A compacidade de uma superfície de Riemann tem como contraparte a condição de que a curva algébrica seja uma variedade completa, o que é equivalente a ser uma variedade projetiva. Sobre um corpo genérico k, não existe uma boa noção de (co)homologia singular. O chamado gênero geométrico é definido como

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

ou seja, como a dimensão do espaço de 1-formas (algébricas) globalmente definidas (veja Diferencial de Kähler). Finalmente, funções meromorfas em uma superfície de Riemann são localmente representadas como frações de funções holomorfas. Assim, elas são substituídas por funções racionais que são localmente frações de funções regulares. Dessa forma, escrevendo ${\displaystyle \ell (D)}$ para a dimensão (sobre k) do espaço de funções racionais na curva cujos polos em cada ponto não sejam piores do que o coeficiente correspondente em D, vale exatamente a mesma fórmula dada acima:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

onde C é uma curva algébrica projetiva não-singular sobre um corpo algebricamente fechado k. De fato, a mesma fórmula vale para curvas projetivas sobre qualquer corpo, exceto que o grau de um divisor precisa levar em conta as multiplicidades provenientes das possíveis extensões do corpo base e dos corpos residuais dos pontos que suportam o divisor. Finalmente, para uma curva própria sobre um anel artiniano, a característica de Euler do fibrado de linhas associado a um divisor é dada pelo grau do divisor (apropriadamente definido) mais a característica de Euler do feixe estrutural ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

A suposição de que a curva seja lisa pode ser relaxada: para uma curva (projetiva) sobre um corpo algebricamente fechado, cujos anéis locais sejam todos anéis de Gorenstein, a mesma afirmação acima é válida, desde que o gênero geométrico como definido acima seja substituído pelo gênero aritmético g_a, definido como

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$.

(Para curvas lisas, o gênero geométrico concorda com o aritmético). O teorema também foi estendido a curvas singulares genéricas (e a variedades de dimensões superiores).

Polinômio de Hilbert

Uma das importantes consequências do Riemann-Roch é que ele fornece uma fórmula para calcular o polinômio de Hilbert de fibrados de linhas em uma curva. Se um fibrado de linhas ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ é amplo, então o polinômio de Hilbert fornecerá o primeiro grau de ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ que dá uma imersão no espaço projetivo. Por exemplo, o feixe canônico ${\displaystyle \omega _{C}}$ tem grau ${\displaystyle 2g-2}$, o que fornece um fibrado de linhas amplo para o gênero ${\displaystyle g\geq 2}$. Se definirmos ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$ então a fórmula de Riemann-Roch fica

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

Fornecendo o grau ${\displaystyle 1}$ do polinômio de Hilbert de ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

Como o feixe tricanônico ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ é usado para imergir a curva, o polinômio de Hilbert

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

é geralmente considerado ao construir o esquema de Hilbert de curvas (e o espaço de moduli de curvas algébricas). Este polinômio é

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

e é chamado de polinômio de Hilbert de uma curva de gênero g.

Imersão pluricanônica

Analisando essa equação mais adiante, a característica de Euler se lê como

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

Já que ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

para ${\displaystyle n\geq 3}$, visto que seu grau é negativo para todos os ${\displaystyle g\geq 2}$, o que implica que não possui seções globais, existe uma imersão em algum espaço projetivo a partir das seções globais de ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$. Em particular, ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ fornece uma imersão em ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$ onde ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ já que ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$. Isso é útil na construção do espaço de moduli de curvas algébricas porque pode ser usado como o espaço projetivo para construir o esquema de Hilbert com o polinômio de Hilbert ${\displaystyle H_{C}(t)}$.

Gênero de curvas planas com singularidades

Uma curva algébrica plana e irredutível de grau d tem (d − 1)(d − 2)/2 − g singularidades, quando propriamente contadas. Segue-se que, se uma curva possui (d − 1)(d − 2)/2 singularidades diferentes, ela é uma curva racional e, portanto, admite uma parametrização racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

A fórmula de Riemann-Hurwitz que trata de mapas (ramificados) entre superfícies de Riemann ou curvas algébricas é uma consequência do teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiais

O teorema de Clifford sobre divisores especiais também é uma consequência do teorema de Riemann-Roch. Ele afirma que, para um divisor especial (ou seja, de tal forma que ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$) que satisfaça ${\displaystyle \ell (D)>0}$, vale a seguinte desigualdade:

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

Demonstração para curvas algébricas

A afirmação para curvas algébricas pode ser provada usando a dualidade de Serre. O inteiro ${\displaystyle \ell (D)}$ é a dimensão do espaço de seções globais do fibrado de linhas ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ associado a D (cf. divisor de Cartier). Em termos de coomologia de feixes, temos portanto ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$, e de modo análogo ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$. Mas a dualidade de Serre para variedades projetivas não-singulares no caso particular de uma curva afirma que ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ é isomorfo ao dual ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$. O lado esquerdo é então igual à característica de Euler do divisor D. Quando D = 0, achamos que a característica de Euler para o feixe estrutural é ${\displaystyle 1-g}$ por definição. Para provar o teorema para um divisor genérico, pode-se então prosseguir adicionando pontos um a um ao divisor e garantir que a característica de Euler se transforme de acordo com o lado direito.

Demonstração para superfícies de Riemann compactas

O teorema para superfícies de Riemann compactas pode ser deduzido da versão algébrica usando o Teorema de Chow e o princípio GAGA: de fato, toda superfície de Riemann compacta é definida por equações algébricas em algum espaço projetivo complexo. (O teorema de Chow diz que qualquer subvariedade analítica fechada de um espaço projetivo é definida por equações algébricas, e o princípio GAGA diz que a coomologia de feixes de uma variedade algébrica é a mesma que a coomologia de feixes da variedade analítica definida pelas mesmas equações).

Pode-se evitar o uso do teorema de Chow argumentando de forma idêntica à prova no caso das curvas algébricas, mas substituindo ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ pelo feixe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ de funções meromorfas h tais que todos os coeficientes do divisor ${\displaystyle (h)+D}$ sejam não-negativos. Aqui, o fato de que a característica de Euler se transforma da maneira desejada quando se adiciona um ponto ao divisor pode ser deduzido a partir da sequência exata longa induzida pela sequência exata curta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

onde ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ é o feixe arranha-céu (skyscraper sheaf) em P, e a aplicação ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ retorna o ${\displaystyle -k-1}$-ésimo coeficiente de Laurent, onde ${\displaystyle k=D(P)}$.