Arcocoseno

In matematica, in particolare in trigonometria, l'arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo $[0, π]$ .

Notazione

La notazione matematica dell'arcocoseno è $\arccos$ ; è comune anche la scrittura $\cos^{- 1}$ . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

Proprietà

L'arcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $[- 1, 1]$ :

\arccos : [- 1, 1] \to [0, π] .

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto $(0, \frac{π}{2})$ , essendo $\arccos x = π - \arccos (- x)$ .

La derivata della funzione arcocoseno è:

\frac{d}{d x} \arccos x = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .

La serie di Taylor corrispondente è:

\arccos x = \frac{π}{2} - \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{- \frac{1}{2}}{k}) (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1} = \frac{π}{2} - x - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{40} x^{5} - \frac{5}{112} x^{7} - \dots .

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

\arccos (- x) = π - \arccos x

.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:

\arccos x_{1} + \arccos x_{2} = {\begin{matrix} \arccos (x_{1} x_{2} - \sqrt{1 - x_{1}^{2}} \sqrt{1 - x_{2}^{2}}) & x_{1} + x_{2} \geq 0 \\ 2 π - \arccos (x_{1} x_{2} - \sqrt{1 - x_{1}^{2}} \sqrt{1 - x_{2}^{2}}) & x_{1} + x_{2} < 0 \end{matrix}

\arccos x_{1} - \arccos x_{2} = {\begin{matrix} - \arccos (x_{1} x_{2} + \sqrt{1 - x_{1}^{2}} \sqrt{1 - x_{2}^{2}}) & x_{1} \geq x_{2} \\ \arccos (x_{1} x_{2} + \sqrt{1 - x_{1}^{2}} \sqrt{1 - x_{2}^{2}}) & x_{1} < x_{2} \end{matrix}

.

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.

Note

↑ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 218
↑ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
↑ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 376

Bibliografia

Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

arcocoseno, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

arcocoséno, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

arccos, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

arcocoséno, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

arcocoséno, su sapere.it, De Agostini.

arcocoseno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Inverse Cosine, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186

[2] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460

[3] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 218

[4] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295

[5] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239

[6] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 376

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