Funzione lipschitziana

In analisi matematica, una funzione lipschitziana è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata, nel senso che il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz. È una condizione più forte della continuità, e prende il suo nome da quello del matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

La lipschitzianità gioca un ruolo chiave nell'unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie. Si tratta, infatti, di una condizione centrale nel teorema di Picard-Lindelöf, che garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione per una certa condizione iniziale. Un tipo speciale di continuità di Lipschitz, detta contrazione, viene utilizzata nel teorema delle contrazioni (un teorema di punto fisso).

Si verifica la seguente catena di inclusioni per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ $α$ -Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con $0 < α \leq 1.$

Si ha inoltre: continuità di Lipschitz ⊆ continuità assoluta ⊆ variazione limitata ⊆ differenziabilità quasi ovunque

Il concetto può essere introdotto in generale in spazi metrici. Una sua generalizzazione è data dal concetto di funzione hölderiana.

La condizione di Lipschitz

Spazi normati

Una funzione $𝐟 : Ω \subseteq ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ si dice lipschitziana su $Ω$ se esiste una costante $K \geq 0$ tale che:

\frac{‖ 𝐟 (𝐱) - 𝐟 (𝐲) ‖}{‖ 𝐱 - 𝐲 ‖} \leq K, \forall 𝐱, 𝐲 \in Ω, 𝐱 \neq 𝐲 .

La più piccola costante $K \geq 0$ che soddisfa tale disuguaglianza è detta costante di Lipschitz.

Spazi metrici

Dati due spazi metrici $(X_{1}, d_{1})$ e $(X_{2}, d_{2})$ . Una funzione $f : X_{1} \to X_{2}$ soddisfa la condizione di Lipschitz se esiste una costante $K > 0$ tale che, per ogni scelta di due punti $x, y$ in $X_{1}$ si abbia:

d_{2} (f (x), f (y)) \leq K d_{1} (x, y) .

Proprietà

Una funzione derivabile $f : I \subset ℝ \to ℝ$ è lipschitziana se e solo se la sua derivata prima è limitata. In questo caso, la costante di Lipschitz è $K = sup | f^{'} (x) |$ .
Se una funzione $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ è lipschitziana e differenziabile, allora esiste una costante $K$ tale per cui la jacobiana soddisfi: $‖ J_{f} (x) ‖ \leq K, \forall x \in U$ .
Il rapporto incrementale di una funzione lipschitziana è limitato.
In generale, se una funzione è lipschitziana allora è anche continua, ma non è detto che sia derivabile; tuttavia, le funzioni $f : I \subset ℝ \to ℝ$ lipschitziane sono assolutamente continue e in quanto tali derivabili quasi-ovunque nell'intervallo di definizione per il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Se vale la condizione più forte: esiste una costante $K \geq 1$ tale che

\frac{1}{K} ‖ x_{1} - x_{2} ‖ \leq ‖ f (x_{1}) - f (x_{2}) ‖ \leq K ‖ x_{1} - x_{2} ‖,

allora la funzione si dice bilipschitziana. Una funzione bilipschitziana è un omeomorfismo sull'immagine e quindi in particolare iniettiva.

La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.
Una funzione lipschitziana è uniformemente continua (il che a sua volta implica f continua). Queste due implicazioni si visualizzano meglio confrontando le seguenti definizioni dei tre tipi di continuità:
- Continuità semplice: $\forall x \forall ε \exists δ : | f (x) - f (x + δ) | < ε$ .
- Continuità uniforme: $\forall ε \exists δ : \forall x | f (x) - f (x + δ) | < ε$ .
- Continuità secondo Lipschitz: $\exists K : \forall x \forall ε | f (x) - f (x + \frac{ε}{K}) | < ε$ .

Note

↑ Lipschitz, condizione di, su treccani.it.
↑ P. M. Soardi, p. 198.

Bibliografia

Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Napoli, Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, Milano, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Lipschitz Function, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Funzione lipschitziana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Lipschitz, condizione di, su treccani.it.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Lipschitz, condizione di, su treccani.it.

[2] P. M. Soardi, p. 198.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy