Maple

Funcionalidades básicas

O usuário pode inserir expressões na notação matemática tradicional e criar interfaces personalizadas. O Maple permite fazer cálculos numéricos com precisão arbitrária, cálculos simbólicos e visualizações, como nos exemplos apresentados adiante.

A linguagem de programação do Maple tem tipagem dinâmica e permite escrever programas no estilo imperativo, com uma sintaxe semelhante à de Pascal e variáveis de escopo léxico. Há interfaces para outras linguagens, como C, C#, Fortran, Java, MATLAB e Visual Basic, e para o Microsoft Excel.

O Maple oferece suporte ao MathML 2.0, um formato do W3C para representar e interpretar expressões matemáticas, inclusive para exibi-las em páginas da internet. Também permite converter expressões escritas na notação matemática tradicional em código para o sistema de composição tipográfica LaTeX.

Arquitetura

O Maple tem um pequeno núcleo, escrito em C, que implementa sua linguagem de programação. A maior parte dos recursos está em bibliotecas de diferentes origens. Muitas dessas bibliotecas são escritas na própria linguagem Maple, e seu código-fonte pode ser consultado. Os cálculos numéricos também utilizam as bibliotecas numéricas NAG, as bibliotecas ATLAS e a GMP.

Os diferentes recursos do programa exigem dados numéricos em formatos distintos. As expressões simbólicas são armazenadas na memória como grafos acíclicos dirigidos. A interface padrão e a interface de calculadora são escritas em Java.

Integração

Para calcular a integral

${\displaystyle \int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)\,dx,}$

usa-se o comando:

restart;
int(cos(x/a), x);

O resultado é:

${\displaystyle a\sin \left({\frac {x}{a}}\right).}$

Determinante

Para calcular o determinante de uma matriz, define-se primeiro a matriz:

restart;
M := Matrix([[1,2,3], [a,b,c], [x,y,z]]);  # matriz de exemplo

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}.}$

O comando seguinte calcula seu determinante:

LinearAlgebra:-Determinant(M);

${\displaystyle bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb.}$

Expansão em série

A expansão da tangente hiperbólica em torno de zero é obtida com:

restart;
series(tanh(x), x = 0, 15);

${\displaystyle {\begin{aligned}x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}&+{\frac {62x^{9}}{2835}}-{\frac {1382x^{11}}{155925}}\\&+{\frac {21844x^{13}}{6081075}}+{\mathcal {O}}\left(x^{15}\right).\end{aligned}}}$

Resolução numérica de equações

O código seguinte calcula numericamente as raízes reais de um polinômio de grau elevado:

restart;
f := x^53-88*x^5-3*x-5 = 0:
fsolve(f);

O programa retorna:

-1.097486315, -.5226535640, 1.099074017

O mesmo comando permite resolver sistemas de equações:

f := cos(x+y)^2 + exp(x)*y + cot(x-y) + cosh(z+x) = 0:
g := x^5 - 8*y = 2:
h := x + 3*y - 77*z = 55:
fsolve({f,g,h});

Uma solução numérica é:

{x = -2.080507182, y = -5.122547821, z = -0.9408850733}

Gráfico de uma função de uma variável

O comando seguinte traça o gráfico de ${\displaystyle x\sin(x)}$ para ${\displaystyle x}$ entre −10 e 10:

restart;
plot(x*sin(x), x = -10..10);

Gráfico de uma função de duas variáveis

Para traçar o gráfico de ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ com ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ entre −1 e 1, usa-se:

restart;
plot3d(x^2+y^2, x = -1..1, y = -1..1);

Animação de funções

• Animação de uma função de duas variáveis:

${\displaystyle f={\frac {2k^{2}}{\cosh ^{2}\left(xk-4k^{3}t\right)}}.}$

restart;
f := 2*k^2/cosh(x*k - 4*k^3*t)^2:
plots:-animate(subs(k = 0.5, f), x = -30..30, t = -10..10,
               numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);

• Animação de uma função de três variáveis:

restart;
plots:-animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x = -Pi..Pi, y = -Pi..Pi, t = 1..2);

• Animação de um percurso de câmera por um gráfico tridimensional:

restart;
M := Matrix([[400,400,200], [100,100,-400], [1,1,1]], datatype = float[8]):
plot3d(1, x = 0..2*Pi, y = 0..Pi, axes = none,
       coords = spherical, viewpoint = [path = M]);

Transformada de Laplace

• Transformada de Laplace:

restart;
f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);

${\displaystyle \left(1+At+Bt^{2}\right)e^{ct}.}$

inttrans:-laplace(f, t, s);

${\displaystyle {\frac {1}{s-c}}+{\frac {A}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2B}{(s-c)^{3}}}.}$

• Transformada inversa de Laplace:

inttrans:-invlaplace(1/(s-a), s, x);

${\displaystyle e^{ax}.}$

Transformada de Fourier

Para calcular a transformada de Fourier da função seno, usa-se:

restart;
inttrans:-fourier(sin(x), x, w);

${\displaystyle \mathrm {I} \pi \left[\operatorname {Dirac} (w+1)-\operatorname {Dirac} (w-1)\right].}$

Equações integrais

Para encontrar funções ${\displaystyle f}$ que satisfaçam a equação integral

${\displaystyle f(x)-3\int _{-1}^{1}\left(xy+x^{2}y^{2}\right)f(y)\,dy=h(x),}$

usa-se o código:

restart;
eqn := f(x)-3*Int((x*y+x^2*y^2)*f(y), y = -1..1) = h(x):
intsolve(eqn, f(x));

O resultado é:

${\displaystyle f(x)=\int _{-1}^{1}\left(-15x^{2}y^{2}-3xy\right)h(y)\,dy+h(x).}$