Distância

Distância em linha reta ou euclidiana

Em um modelo euclidiano do espaço físico, a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une, o caminho mais curto possível entre eles. Essa é a acepção usual de distância na física clássica, inclusive na mecânica newtoniana.

A distância em linha reta é formalizada matematicamente como a distância euclidiana no plano euclidiano e no espaço tridimensional. Na geometria euclidiana, a distância entre dois pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é frequentemente indicada por ${\displaystyle |AB|}$. Na geometria analítica, a distância euclidiana é calculada com o teorema de Pitágoras. Em coordenadas cartesianas com eixos ortogonais e a mesma unidade de comprimento, a distância entre os pontos ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ no plano é dada por: $${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

De modo semelhante, dados os pontos ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ e ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ no espaço tridimensional, a distância entre eles é: $${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$$

A mesma ideia se estende a espaços euclidianos de dimensão mais alta.

Em uma única dimensão, se os pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ têm coordenadas reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, sua distância é $${\displaystyle d(A,B)=|a-b|.}$$

Distância do caminho mais curto sobre uma superfície curva

Para deslocamentos entre pontos da superfície da Terra, costuma interessar o caminho mais curto sobre a superfície, sem considerar obstáculos. O segmento de reta entre esses pontos pode passar pelo interior da Terra, inclusive pelo manto terrestre, conforme a separação entre eles. Em uma aproximação esférica da Terra, a distância sobre a superfície é dada pelo comprimento do menor arco de círculo máximo, chamado distância de grande círculo. Em cálculos geodésicos mais precisos, a Terra é aproximada por um elipsoide de referência, e a distância é obtida pela geodésica de menor comprimento sobre esse elipsoide.

Em uma superfície curva, uma geodésica generaliza a ideia de linha reta. Quando uma geodésica é o caminho de menor comprimento entre dois pontos, o comprimento de seu arco é a distância medida ao longo da superfície. Esse é, por exemplo, o conceito de distância adequado a uma formiga ou outra criatura cujo movimento esteja restrito à superfície.

Efeitos da relatividade

Na teoria da relatividade, fenômenos como a contração do comprimento e a relatividade da simultaneidade fazem com que distâncias medidas entre objetos dependam da escolha do referencial inercial. Para medir o comprimento de um objeto em movimento, as posições de suas extremidades devem ser determinadas simultaneamente no referencial adotado.

Em escalas cosmológicas, a interpretação das distâncias precisa levar em conta a expansão do Universo. A cosmologia emprega definições distintas, como distância comóvel, distância de diâmetro angular e distância de luminosidade. Isso não significa que o tamanho das galáxias ou de sistemas menores ligados pela gravidade acompanhe a expansão cosmológica.

Outras distâncias espaciais

Definições menos usuais de distância podem modelar determinadas situações físicas e são usadas na matemática teórica:

• Em deslocamentos por ruas, pode interessar a distância percorrida entre dois pontos, e não a distância em linha reta. Em uma planta ortogonal ideal, sem obstáculos ou restrições de circulação, o percurso mínimo entre esquinas é dado pela distância de Manhattan, a soma dos deslocamentos absolutos nas duas direções perpendiculares. Se os quarteirões forem quadrados e de mesmo tamanho, essa distância pode ser expressa pelo número mínimo de quarteirões percorridos.
• A distância de Chebyshev, também chamada distância de tabuleiro de xadrez, é o número mínimo de movimentos que um rei precisa fazer em um tabuleiro de xadrez vazio para ir de uma casa a outra, sem considerar restrições de xeque.

Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, essas distâncias fazem parte da família das distâncias de Minkowski, induzidas pelas ${\displaystyle p}$-normas. Para ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, a distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ é $${\displaystyle d_{p}(x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}.}$$ Quando ${\displaystyle p=1}$, obtém-se a distância de Manhattan, e quando ${\displaystyle p=2}$, a distância euclidiana. Para ${\displaystyle n\geq 2}$ e ${\displaystyle 0<p<1}$, a mesma fórmula não define uma métrica, pois a desigualdade triangular não é satisfeita em geral. No limite ${\displaystyle p\to \infty }$, a distância é $${\displaystyle d_{\infty }(x,y)=\max _{i}|x_{i}-y_{i}|,}$$ a distância de Chebyshev.

Distâncias estatísticas

Na estatística e na geometria da informação, as distâncias estatísticas medem o grau de diferença entre duas distribuições de probabilidade. Muitas dessas medidas são formalizadas como divergências, que não precisam satisfazer os axiomas de uma métrica. Famílias parametrizadas regulares de distribuições podem ser estudadas geometricamente como variedades estatísticas.

Um exemplo elementar é a divergência euclidiana quadrática ${\displaystyle \|p-q\|_{2}^{2}}$, também chamada distância euclidiana ao quadrado. Essa função não satisfaz, em geral, a desigualdade triangular e não é uma métrica. Ela é uma divergência de Bregman, e a minimização de somas de desvios quadráticos dá origem ao método dos mínimos quadrados.

Na teoria da informação, usa-se a entropia relativa, ou divergência de Kullback-Leibler. No simplexo das distribuições de probabilidade sobre um alfabeto finito com pelo menos dois elementos, ela é, a menos de um fator multiplicativo positivo, a única divergência não nula que pertence simultaneamente à classe das f-divergências e à classe das divergências de Bregman.

Para um potencial suave com matriz hessiana positiva definida, a divergência de Bregman induz uma geometria com duas conexões afins duais e planas. Nessa geometria existe uma forma generalizada do teorema de Pitágoras, usada em problemas de projeção e otimização.

Entre outras distâncias estatísticas estão a distância de Mahalanobis e a distância energética.

Distâncias de edição

Na ciência da computação, distâncias de edição, métricas de cadeias e outras medidas de dissimilaridade entre cadeias de caracteres quantificam o quanto elas diferem. Por exemplo, na distância de Levenshtein com custo unitário para cada edição, as palavras "dog" e "dot", que diferem por apenas uma letra, estão mais próximas entre si do que "dog" e "cat". Essas medidas são usadas em corretores ortográficos, comparação aproximada de texto e teoria de códigos.

Entre elas estão a distância de Levenshtein, a distância de Hamming, a distância de Lee e a distância de Jaro-Winkler. Apesar do nome, a distância de Jaro-Winkler não é uma métrica no sentido matemático, pois não satisfaz em geral a desigualdade triangular.

Distância na teoria dos grafos

Em um grafo não direcionado e sem pesos, a distância entre dois vértices é o número de arestas do caminho mais curto entre eles. Se não existir um caminho que os una, convenciona-se que a distância é infinita. Em um grafo conexo, essa distância define uma métrica sobre os vértices.

Se o grafo representar uma rede social, a teoria dos seis graus de separação corresponde à hipótese de que pessoas podem ser ligadas por caminhos curtos de relações pessoais, tradicionalmente expressos como seis graus de separação. O número de Erdős e o número de Bacon, que contam quantas relações de colaboração separam uma pessoa do matemático Paul Erdős e do ator Kevin Bacon, respectivamente, também são distâncias em grafos cujas arestas representam colaborações matemáticas ou artísticas.

Nas ciências sociais

Na psicologia, na geografia humana e nas ciências sociais, a distância pode ser entendida como uma descrição qualitativa de uma experiência subjetiva, sem exigir uma medição numérica objetiva. A distância psicológica, por exemplo, reúne maneiras pelas quais um objeto pode estar afastado do próprio indivíduo em dimensões como tempo, espaço, distância social e hipoteticidade. Na sociologia, a distância social expressa a separação entre indivíduos ou grupos sociais na sociedade em dimensões como classe social, raça ou etnia, gênero e sexualidade.

Distância percorrida

A distância percorrida por um objeto é o comprimento do caminho que ele efetivamente percorre, como a distância caminhada ao atravessar um labirinto ou a distância indicada por um marco quilométrico ou um odômetro. O trajeto pode formar uma curva fechada, que começa e termina no mesmo ponto, como o de uma bola lançada verticalmente para cima que retorna ao ponto de lançamento ou o da Terra ao completar uma órbita idealizada. Nesse caso, a distância percorrida pode ser positiva, embora o deslocamento total seja zero. Na matemática, a distância percorrida é formalizada como o comprimento do arco da trajetória.

A distância percorrida é sempre não negativa. Em um movimento ao longo de uma reta, o deslocamento pode receber um sinal positivo ou negativo, conforme a orientação escolhida para o eixo. Somar esses deslocamentos com seus sinais não equivale, em geral, a somar as distâncias percorridas.

Em um movimento circular de raio ${\displaystyle r}$, uma volta completa corresponde a um arco de comprimento ${\displaystyle 2\pi r}$. Essa relação é usada no projeto de veículos e engrenagens e em odometria. Para uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície plana, seu centro avança ${\displaystyle 2\pi r}$ a cada volta. Se o raio for 1 unidade de comprimento, esse avanço é de ${\displaystyle 2\pi }$ unidades de comprimento.

Deslocamento e distância dirigida

O deslocamento na física clássica mede a mudança de posição de um objeto durante um intervalo de tempo. A distância é uma grandeza escalar, enquanto o deslocamento é uma grandeza vetorial. Seu módulo é a distância em linha reta entre as posições inicial e final, e sua direção e seu sentido indicam a mudança de posição.

O vetor que mede a diferença entre duas posições, a posição relativa, às vezes é chamado de distância dirigida. Para pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ com vetores posição ${\displaystyle \mathbf {r} _{A}}$ e ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}}$, ele é $${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}.}$$ Seu módulo é a distância euclidiana entre os pontos. Ao trocar o ponto inicial pelo final, o vetor muda de sinal, mas seu módulo permanece o mesmo.

Distância com sinal

Na matemática e em suas aplicações, a função distância com sinal, também chamada campo de distância com sinal ou SDF, associa a um ponto ${\displaystyle x}$ a distância até a fronteira ${\displaystyle \operatorname {Fr} (\Omega )}$ de um conjunto ${\displaystyle \Omega }$, acrescentando um sinal que depende de o ponto estar no interior ou no exterior do conjunto. Para uma fronteira não vazia, se ${\displaystyle d}$ é a métrica do espaço, o valor absoluto da função é $${\displaystyle d\left(x,\operatorname {Fr} (\Omega )\right)=\inf _{y\in \operatorname {Fr} (\Omega )}d(x,y).}$$

Em uma das convenções, a função assume valores positivos no interior de ${\displaystyle \Omega }$, zero na fronteira e valores negativos no exterior. A convenção oposta, com valores negativos no interior e positivos no exterior, também é usada. A função recebe ainda os nomes função distância orientada e campo de distância orientado.