Campo (física)

Gravitação newtoniana

A gravitação newtoniana é uma teoria clássica de campos na qual a força gravitacional é uma interação mútua entre duas massas.

Todo corpo de massa M produz um campo gravitacional g, que expressa sua ação sobre outros corpos com massa. Em um ponto r do espaço, o campo gravitacional de M corresponde à razão entre a força F que M exerce sobre uma pequena massa de prova m, situada em r, e a própria massa de prova:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

A condição de que m seja muito menor que M garante que sua presença tenha um efeito desprezível sobre o comportamento de M.

Para uma fonte pontual de massa M, a lei da gravitação universal fornece

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

em que ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ é um vetor unitário ao longo da reta que une M a m, orientado de M para m. O campo gravitacional de M é, então,

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

A igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, verificada experimentalmente com altíssima precisão, implica que a intensidade do campo gravitacional é igual à aceleração sofrida por uma partícula. Esse é o ponto de partida do princípio da equivalência, que leva à relatividade geral.

Como a força gravitacional F é conservativa, o campo gravitacional g pode ser reescrito como o gradiente negativo de uma função escalar, o potencial gravitacional Φ(r):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Eletromagnetismo

Michael Faraday foi o primeiro a perceber o alcance do conceito de campo como grandeza física em suas investigações sobre o magnetismo. Ele compreendeu que os campos elétrico e magnético, além de determinarem o movimento das partículas, tinham uma realidade física independente, pois transportavam energia.

Essas ideias levaram James Clerk Maxwell a formular a primeira teoria de campos unificada da física, com a introdução de equações para o campo eletromagnético. Suas versões modernas são chamadas equações de Maxwell.

Magnetostática

Ver artigo principal: Magnetostática

Uma corrente constante I que percorre um caminho ℓ cria um campo B, que exerce força sobre partículas carregadas próximas em movimento. A expressão dessa força difere da expressão da força elétrica apresentada acima. A força exercida por I sobre uma carga próxima q, com velocidade v, é

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

em que B(r) é o campo magnético, calculado a partir de I pela lei de Biot-Savart:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Em geral, o campo magnético não é conservativo e não pode ser escrito em termos de um potencial escalar. Ele pode, porém, ser expresso por um potencial vetorial A(r):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ).}$

Eletrodinâmica

Ver artigo principal: Eletromagnetismo

Em geral, na presença de uma densidade de carga ρ(r, t) e de uma densidade de corrente J(r, t), há um campo elétrico e um campo magnético, que variam no tempo. Eles são determinados pelas equações de Maxwell, um conjunto de equações diferenciais que relaciona diretamente E e B a ρ e J.

O sistema também pode ser expresso por seus potenciais escalar V e vetorial A. Um conjunto de equações integrais, conhecidas como potenciais retardados, permite calcular V e A a partir de ρ e J. A partir deles, os campos elétrico e magnético são obtidos pelas relações

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

No fim do século XIX, o campo eletromagnético era entendido como um conjunto de dois campos vetoriais no espaço. Na formulação relativística, ele é um único campo tensorial antissimétrico de segunda ordem no espaço-tempo.

Gravitação na relatividade geral

A teoria da gravitação de Einstein, chamada relatividade geral, é outro exemplo de teoria de campos. Nela, o campo principal é o tensor métrico, um campo tensorial simétrico de segunda ordem no espaço-tempo. Essa formulação substitui a lei da gravitação universal de Newton.

Ondas como campos

As ondas podem ser expressas por campos físicos que variam no espaço e no tempo. Nas ondas eletromagnéticas, as perturbações dos campos se propagam com velocidade finita. O campo em um ponto depende do estado da fonte em um instante anterior, correspondente ao tempo necessário para a propagação, de modo compatível com a causalidade. Para ondas esféricas que se propagam sem perda de energia em três dimensões, a amplitude diminui com o inverso da distância à fonte, enquanto a intensidade diminui com o inverso do quadrado da distância.

No estudo das ondas eletromagnéticas, usam-se os conceitos de campo óptico e de limites de campo próximo e campo distante para a difração. As teorias de campos da óptica são abrangidas pela teoria do campo eletromagnético de Maxwell.

As ondas de gravidade na superfície da água podem ser expressas por um campo de altura.

Dinâmica dos fluidos

A dinâmica dos fluidos usa campos de pressão, densidade e velocidade, relacionados pelas leis de conservação da energia e da quantidade de movimento. A equação de continuidade da massa expressa a conservação da massa: $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (rho\mathbf {u} )=0.}$$ As equações de Navier-Stokes expressam a conservação da quantidade de movimento no fluido e são obtidas pela aplicação das leis de Newton ao fluido: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} .}$$ Quando são dadas a densidade ${\displaystyle \rho }$, a pressão ${\displaystyle p}$, o tensor de tensões desviadoras ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ do fluido e as forças externas por unidade de massa b, o campo vetorial a determinar é a velocidade de fluxo u.

Elasticidade

A elasticidade linear é definida por equações constitutivas entre campos tensoriais:

${\displaystyle \sigma _{ij}=L_{ijkl}\varepsilon _{kl},}$

em que ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ são as componentes do tensor tensão de Cauchy, de dimensões ${\displaystyle 3\times 3}$, e ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ são as componentes do tensor de deformação infinitesimal, também de dimensões ${\displaystyle 3\times 3}$. O tensor de elasticidade ${\displaystyle L_{ijkl}}$ é de quarta ordem e tem 81 componentes. Na formulação com energia de deformação, as simetrias reduzem esse número a, no máximo, 21 componentes independentes.

Termodinâmica e equações de transporte

Se a temperatura T for uma grandeza intensiva expressa por uma função unívoca e diferenciável do espaço tridimensional, ela será um campo escalar, com ${\displaystyle T=T(\mathbf {r} )}$. O gradiente de temperatura será, então, o campo vetorial definido por ${\displaystyle \nabla T}$. Na condução térmica, o campo de temperatura entra na lei de Fourier:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T,}$

em que q é o campo de fluxo de calor e k é a condutividade térmica.

Os gradientes de temperatura e de pressão também são usados na meteorologia.

Simetrias dos campos

Uma forma de classificar um campo clássico ou quântico é pelas simetrias que ele apresenta. As simetrias físicas costumam ser divididas em dois tipos.

Teoria estatística de campos

A teoria estatística de campos procura estender o paradigma das teorias de campos aos sistemas de muitos corpos e à mecânica estatística. Como nos casos anteriores, ela pode ser formulada a partir de um número infinito de graus de liberdade.

Assim como a mecânica estatística tem pontos em comum com a mecânica quântica e a clássica, a teoria estatística de campos tem relações com as teorias quânticas e clássicas de campos. A proximidade é maior com as teorias quânticas, com as quais compartilha muitos métodos. Um exemplo é a teoria de campo médio.

Campos aleatórios contínuos

Os campos aleatórios são famílias de variáveis aleatórias indexadas, por exemplo, pelos pontos do espaço. Eles permitem estudar campos sujeitos a flutuações, como as flutuações térmicas. Dependendo do modelo, suas realizações podem ser funções diferenciáveis, funções menos regulares ou distribuições, sem valores definidos em cada ponto. Um exemplo desta última situação é o campo livre gaussiano em duas ou mais dimensões.

Na formulação por campos aleatórios generalizados, usam-se funções de teste como índices. A cada função de teste corresponde uma variável aleatória, e cada realização do campo é uma aplicação linear contínua dessas funções nos números reais. Quando as funções de teste pertencem ao espaço de Schwartz, obtém-se uma distribuição temperada aleatória. O valor atribuído a uma função de teste pode ser entendido como uma medida do campo suavizada com esse peso. Essa definição permite trabalhar com o campo mesmo quando não há valores pontuais bem definidos.