Dominio semplice

Dominio normale rispetto all'asse x

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle x}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle y}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle x}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}.}$

Dominio normale rispetto all'asse y

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle y}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle x}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle y}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}.}$

Dominio normale rispetto al piano (x,y)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (x,y)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y.}$

Dominio normale rispetto al piano (y,z)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (y,z)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

Dominio normale rispetto al piano (z,x)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (z,x)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" ${\displaystyle D}$ e compreso tra le funzioni ${\displaystyle a(x,y)}$e ${\displaystyle b(x,y)}$:

${\displaystyle T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}}$, con ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}.}$

In generale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ il numero dei domini semplici è dato dalla relazione ${\displaystyle n!}$, ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${\displaystyle C^{1}}$. Inoltre un dominio regolare ${\displaystyle N}$ è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari ${\displaystyle N_{i}}$, a due a due privi di punti interni in comune:

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}.}$

Orientamento della frontiera

Sia ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ dominio regolare, convenzionalmente si dice che ${\displaystyle \partial D}$ è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}}$ tali che i versori normali ${\displaystyle N_{1}(t),\dots ,N_{k}(t)}$ canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con ${\displaystyle +\partial D}$.