Forma sesquilineare

In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale. Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo $ℂ$ è una funzione

ϕ : V \times V \to ℂ

che associa ad ogni coppia di elementi $𝐯$ e $𝐰 \in V$ lo scalare $ϕ (𝐯, 𝐰) \in ℂ$ .

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

$ϕ (𝐱 + 𝐲, 𝐳 + 𝐰) = ϕ (𝐱, 𝐳) + ϕ (𝐱, 𝐰) + ϕ (𝐲, 𝐳) + ϕ (𝐲, 𝐰),$
$ϕ (a 𝐱, 𝐲) = a ϕ (𝐱, 𝐲),$
$ϕ (𝐱, a 𝐲) = \bar{a} ϕ (𝐱, 𝐲),$

con $a \in ℂ$ e $𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐰 \in 𝕍$ .

In altre parole, per ogni $𝐳$ in $V$ fissato, le applicazioni

𝐰 \mapsto ϕ (𝐰, 𝐳) e 𝐰 \mapsto ϕ (𝐳, 𝐰)

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana

Data una qualsiasi forma sesquilineare $ϕ$ su $V$ , è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare $ϕ^{†}$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

ϕ^{†} (𝐰, 𝐳) = \overline{ϕ (𝐳, 𝐰)}

e si ha

(ϕ^{†})^{†} = ϕ .

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare $ϕ : V \times V \to ℂ$ tale che

ϕ (𝐰, 𝐳) = \overline{ϕ (𝐳, 𝐰)} .

La forma hermitiana standard sullo spazio $ℂ^{n}$ è definita nel modo seguente:

ϕ (𝐰, 𝐳) = \sum_{i = 1}^{n} {\overline{z}}_{i} w_{i} .

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

ϕ = \frac{1}{2} (ϕ + ϕ^{†}) + \frac{1}{2} (ϕ - ϕ^{†}) .

Prodotto interno

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:

ϕ (0, 0) = 0, ϕ (𝐳, 𝐳) > 0

se $𝐳 \neq 0$ . Un prodotto hermitiano è sovente indicato con $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ , e uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare $ε : V \times V \to ℂ$ tale che:

ε (𝐰, 𝐳) = - \overline{ε (𝐳, 𝐰)},

ossia

ε = - ε^{†} .

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

ε = i \cdot ϕ

dove $i$ è l'unità immaginaria e $ϕ$ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata

Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita. Sia

B = (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n})

una base di $V$ . Ogni forma hermitiana $ϕ$ è rappresentata da una matrice hermitiana $H$ definita come

H_{i, j} = ϕ (𝐯_{i}, 𝐯_{j})

e vale la relazione

ϕ (𝐰, 𝐳) = [𝐰]_{B}^{t} H \overline{[𝐳]_{B}}

dove $[𝐯]_{B}$ è il vettore in $C^{n}$ delle coordinate di $𝐯$ rispetto a $B$ . D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base $B$ .

Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

Q (z) = ϕ (z, z) .

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Note

↑ S. Lang, Pag. 197.
1 2 Hoffman, Kunze, Pag. 271.
↑ S. Lang, Pag. 158.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlate

Collegamenti esterni

forma sesquilineare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Forma sesquilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] S. Lang, Pag. 197.

[inner-2] 1 2 Hoffman, Kunze, Pag. 271.

[3] S. Lang, Pag. 158.

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