Matrice jacobiana

In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi. La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale.

Definizione

Sia $𝐟 : U \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ una funzione definita su un insieme aperto $U$ dello spazio euclideo $ℝ^{n}$ . La matrice jacobiana della funzione $𝐟$ in $𝐱 = (x_{1}, \dots, x_{n})$ è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in $𝐱$ :

J 𝐟 = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}], (J 𝐟)_{i j} = \frac{\partial f_{i} (𝐱)}{\partial x_{j}} .

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

J_{j} = \nabla_{j} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} .

In particolare, dette:

{𝐞_{j}}_{1 \leq j \leq n} {𝐮_{i}}_{1 \leq i \leq m},

le basi canoniche di $ℝ^{n}$ e $ℝ^{m}$ rispettivamente, il $j$ -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (𝐟 \cdot 𝐞_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial f_{i} (𝐱)}{\partial x_{j}} \cdot 𝐮_{i}

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate parziali. La funzione $𝐟$ è detta differenziabile in un punto $𝐱^{'}$ del dominio se esiste una applicazione lineare $𝐋 : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ tale che valga l'approssimazione:

𝐟 (𝐱^{'} + Δ 𝐱) - 𝐟 (𝐱^{'}) = 𝐋 (𝐱^{'}) Δ 𝐱 + 𝐫 (Δ 𝐱)

dove il resto $𝐫 (Δ 𝐱)$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $Δ 𝐱$ . Se la funzione $𝐟$ è differenziabile in $𝐱^{'}$ , allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana $J_{𝐟 (𝐱^{'})}$ di $f$ in $𝐱^{'}$ è la matrice associata all'applicazione lineare $𝐋 (𝐱^{'})$ rispetto alle basi canoniche di $ℝ^{n}$ e $ℝ^{m}$ :

\begin{matrix} 𝐋 (𝐱^{'}) Δ 𝐱 & = J 𝐟 (𝐱^{'}) \cdot Δ 𝐱 \\ = \sum_{i = 1}^{m} [\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial f_{i} (𝐱^{'})}{\partial x_{j}} Δ x_{j}] \cdot 𝐮_{i} \\ = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}] \cdot Δ 𝐱 \end{matrix}

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in $ℝ^{n}$ .

Casi notevoli

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$ , la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

Se $m = 1$ , la jacobiana si riduce a un vettore $n$ -dimensionale, chiamato gradiente di $f$ in $𝐱$ . In tal caso si ha:

L (𝐱) = \nabla f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (𝐱)}{\partial x_{i}} \cdot 𝐞_{i}

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

Se $n = 1$ , la funzione $f$ parametrizza una curva in $ℝ^{m}$ , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

Se $m = n = 1$ , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce a un numero, cioè la derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da $ℝ^{n}$ in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando a ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano

Se $m = n$ , allora $f$ è una funzione dallo spazio $n$ -dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di $f$ nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione $f$ differenziabile con continuità è invertibile vicino a $𝐱^{'}$ se lo jacobiano in $𝐱^{'}$ è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in $𝐱^{'}$ è positivo $f$ preserva l'orientazione vicino a $𝐱^{'}$ , mentre se il determinante è negativo $f$ inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in $𝐱^{'}$ fornisce il fattore del quale la funzione $f$ espande o riduce i volumi vicino a $𝐱^{'}$ : per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio

Lo jacobiano della funzione $f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ con componenti:

{\begin{matrix} f_{1} = 5 x_{2} \\ f_{2} = 4 x_{1}^{2} - 2 \sin (x_{2} x_{3}) \\ f_{3} = x_{2} x_{3} \end{matrix}

è:

| \begin{matrix} 0 & 5 & 0 \\ 8 x_{1} & - 2 x_{3} \cos (x_{2} x_{3}) & - 2 x_{2} \cos (x_{2} x_{3}) \\ 0 & x_{3} & x_{2} \end{matrix} | = - 8 x_{1} | \begin{matrix} 5 & 0 \\ x_{3} & x_{2} \end{matrix} | = - 40 x_{1} x_{2}

Da questo si vede che $f$ inverte l'orientazione vicino a quei punti dove $x_{1}$ e $x_{2}$ hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da $x_{1} = 0$ e da $x_{2} = 0$ . Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto $(1, 1, 1)$ e si applica $f$ a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Note

↑ Rudin, p. 213.
↑ Rudin, p. 217.

Bibliografia

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203.
Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate

Collegamenti esterni

matrice jacobiana, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Jacobian, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Matrice jacobiana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Rudin, p. 213.

[2] Rudin, p. 217.

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