Teorema della media integrale

In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione sia un valore incluso nell'intervallo immagine.

Il teorema

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione $f$ su un intervallo $[a, b]$ (in cui $f$ è continua) calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di $N + 1$ punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in $N$ sottointervalli $[x_{k}, x_{k + 1}],$ con $k = 0, \dots, N,$ tutti di lunghezza $(b - a) / N$ e si calcola la media:

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i}) = \frac{1}{b - a} \sum_{i = 1}^{N} \frac{b - a}{N} f (x_{i}) .

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità $N$ sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

che viene chiamato media integrale di $f$ .

Il teorema afferma che se $f : [a, b] \to ℝ$ è continua (quindi integrabile) allora esiste almeno un valore $c \in [a, b]$ tale che:

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) .

In modo equivalente:

\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) f (c) .

Dimostrazione

Essendo $f$ continua in $[a, b]$ , per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo $M$ e di minimo $m$ su $[a, b]$ , quindi si ha:

m \leq f (x) \leq M .

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

\int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x .

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

\int_{a}^{b} m d x = m \int_{a}^{b} d x = m (b - a)

e analogamente:

\int_{a}^{b} M d x = M \int_{a}^{b} d x = M (b - a) .

Si ottiene quindi:

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a),

ovvero, se $b > a$ :

m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M .

Per il teorema dei valori intermedi $f$ deve assumere in $[a, b]$ tutti i valori compresi tra:

sup_{[a, b]} f = M e inf_{[a, b]} f = m,

quindi, in particolare, esiste almeno una $c \in [a, b]$ tale che:

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Bibliografia

Enrico Giusti, Analisi matematica 1, 3ª ed., Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.

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